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(学案)平面向量基本定理及坐标表示.docx
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平面向量基本定理及坐标表示【第一学时】学习重难点学习目标核心素养平面向量基本定理理解平面向量基本定理及其意义,了解向量基底的含义数学抽象平面向量基本定理的应用掌握平面向量基本定理,会用基底表示平面向量数学抽象、数学运算【学习过程】一、问题导学预习教材内容,思考以下问题:1.基底中两个向量可以共线吗?2.平面向量基本定理的内容是什么?二、合作探究1.平面向量基本定理的理解例1:设e1,e2是不共线的两个向量,给出下列四组向量:①e1与e1+e2;②e1-2e2与e2-2e1;③e1-2e2与4e2-2e1;④e1+e2与e1-e2.其中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号).解析:①设e1+e2=λe1,则无解,所以e1+e2与e1不共线,即e1与e1+e2能作为一组基底.②设e1-2e2=λ(e2-2e1),则(1+2λ)e1-(2+λ)e2=0,则无解,所以e1-2e2与e2-2e1不共线,即e1-2e2与e2-2e1能作为一组基底.③因为e1-2e2=-(4e2-2e1), 1 / 14


.BF=BA+AD+DF=-AB+AD+AB=b-a
.互动探究:(1)变问法:本例条件不变,试用基底{a,b}表示AG.解:由平面几何知识知BG=BF,故AG=AB+BG=AB+BF=a+=a+b-a=a+b
.(2)变条件:若将本例中的向量“AB,AD”换为“CE,CF”,即若CE=a,CF=b,试用基底{a,b}表示向量DE,BF.解:DE=DC+CE=2FC+CE=-2CF+CE=-2b+a
.BF=BC+CF=2EC+CF=-2CE+CF=-2a+b
. 2 / 14
所以e1-2e2与4e2-2e1共线,即e1-2e2与4e2-2e1不能作为一组基底.④设e1+e2=λ(e1-e2),则(1-λ)e1+(1+λ)e2=0,则无解,所以e1+e2与e1-e2不共线,即e1+e2与e1-e2能作为一组基底.答案:③2.用基底表示平面向量例2:如图所示,在▱ABCD中,点E,F分别为BC,DC边上的中点,DE与BF交于点G,若AB=a,AD=b,试用基底{a,b}表示向量DE,BF.解:DE=DA+AB+BE=-AD+AB+BC=-AD+AB+AD=a-b


.2.变条件:若本例中的点N为AC的中点,其他条件不变,求AP∶PM与BP∶PN.解:如图,设BM=e1,CN=e2,则AM=AC+CM=-2e2-e1,BN=BC+CN=2e1+e2.因为A,P,M和B,P,N分别共线,所以存在实数λ,μ使得AP=λAM=-λe1-2λe2,BP=μBN=2μe1+μe2. 3 / 14
3.平面向量基本定理的应用例3:如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM与BP∶PN.解:设BM=e1,CN=e2,则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=BC+CN=2e1+e2.因为A,P,M和B,P,N分别共线,所以存在实数λ,μ使得AP=λAM=-λe1-3λe2,BP=μBN=2μe1+μe2.故BA=BP+PA=BP-AP=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.而BA=BC+CA=2e1+3e2,由平面向量基本定理,得解得所以AP=AM,BP=BN,所以AP∶PM=4∶1,BP∶PN=3∶2.互动探究:1.变问法:在本例条件下,若CM=a,CN=b,试用a,b表示CP.解:由本例解析知BP∶PN=3∶2,则NP=NB,CP=CN+NP=CN+NB=b+(CB-CN)=b+a-b=b+a


故BA=BP+PA=BP-AP=(λ+2μ)e1+(2λ+μ)e2.而BA=BC+CA=2e1+2e2,由平面向量基本定理,得解得所以AP=AM,BP=BN,所以AP∶PM=2,BP∶PN=2.三、学习小结平面向量基本定理条件e1,e2是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a = λ1e1+ λ2e2基底若e1,e2不共线,把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底四、精炼反馈1.如图在矩形ABCD中,若BC=5e1,DC=3e2,则OC=(  )A.(5e1+3e2)B.(5e1-3e2)C.(3e2-5e1)D.(5e2-3e1)解析:选A.OC=AC=(BC+AB)=(BC+DC)=(5e1+3e2).2.已知非零向量OA,OB不共线,且2OP=xOA+yOB,若PA=λAB(λ∈R),则x,y满足的关系是(  )A.x+y-2=0B.2x+y-1=0C.x+2y-2=0D.2x+y-2=0解析:选A.由PA=λAB,得OA-OP=λ(OB-OA),即OP=(1+λ)OA-λOB.又2OP=xOA+yOB,所以消去λ得x+y=2.3.如图,在平行四边形ABCD中,设AC=a,BD=b,试用基底{a,b}表示AB,BC.解:法一:设AC,BD交于点O,则有AO=OC=AC=a,BO= 4 / 14


.所以AB=AO+OB=AO-BO=a-b,BC=BO+OC=a+b
.法二:设AB=x,BC=y,则AD=BC=y,又所以解得x=a-b,y=a+b,即AB=a-b,BC=a+b
.【第二学时】学习重难点学习目标核心素养平面向量的坐标表示理解向量正交分解以及坐标表示的意义数学抽象、直观想象平面向量加、减运算的坐标表示掌握两个向量的和、差及向量数乘的坐标运算法则数学运算平面向量数乘运算的坐标表示理解坐标表示的平面向量共线的条件,并会解决向量共线问题数学运算、逻辑推理【学习过程】一、问题导学预习教材内容,思考以下问题:1.怎样分解一个向量才为正交分解?2.如何求两个向量和、差的向量的坐标?3.一个向量的坐标与有向线段的起点和终点坐标之间有什么关系? 5 / 14
OD=BD=b


4.若a=(x,y),则λa的坐标是什么?二、合作探究1.平面向量的坐标表示例1:已知O是坐标原点,点A在第一象限,|OA|=4,∠xOA=60°,(1)求向量OA的坐标;(2)若B(,-1),求BA的坐标.解:(1)设点A(x,y),则x=|OA|cos 60°=4cos 60°=2,y=|OA|sin 60°=4sin 60°=6,即A(2,6),所以OA=(2,6).(2)BA=(2,6)-(,-1)=(,7).2.平面向量的坐标运算例2:(1)已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),若c满足3a-2b+c=0,则c=(  )A.(-23,-12)B.(23,12)C.(7,0)D.(-7,0)(2)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且CM=3CA,CN=2CB,求点M,N的坐标.解:(1)选A.因为a=(5,2),b=(-4,-3),且c满足3a-2b+c=0,所以c=2b-3a=2(-4,-3)-3(5,2)=(-8-15,-6-6)=(-23,-12).(2)法一:因为A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4), 6 / 14


所以CA=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8),CB=(3,-1)-(-3,-4)=(6,3).因为CM=3 CA,CN=2 CB,所以CM=3(1,8)=(3,24),CN=2(6,3)=(12,6).设M(x1,y1),N(x2,y2),所以CM=(x1+3,y1+4)=(3,24),CN=(x2+3,y2+4)=(12,6),所以解得所以M(0,20),N(9,2).法二:设O为坐标原点,则由CM=3 CA,CN=2 CB,可得OM-OC=3(OA-OC),ON-OC=2(OB-OC),所以OM=3 OA-2 OC,ON=2 OB-OC.所以OM=3(-2,4)-2(-3,-4)=(0,20),ON=2(3,-1)-(-3,-4)=(9,2).所以M(0,20),N(9,2).3.向量坐标运算的综合应用例3:已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),及OP=OA+tAB.(1)t为何值时,点P在x轴上?点P在y轴上?点P在第二象限?(2)四边形OABP能为平行四边形吗?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.解:(1)OP=OA+tAB=(1,2)+t(3,3)=(1+3t,2+3t).若点P在x轴上,则2+3t=0,所以t=-.若点P在y轴上,则1+3t=0,所以t=-.若点P在第二象限,则所以-<t<-.(2)OA=(1,2),PB=(3-3t,3-3t).若四边形OABP为平行四边形,则OA=PB,所以该方程组无解.故四边形OABP不能为平行四边形. 7 / 14


互动探究:变问法:若保持本例条件不变,问t为何值时,B为线段AP的中点?解:由OP=OA+tAB,得AP=tAB.所以当t=2时,AP=2AB,B为线段AP的中点.4.向量共线的判定(1)已知向量a=(1,-2),b=(3,4).若(3a-b)∥(a+kb),则k=________.(2)已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),判断AB与AC是否共线?如果共线,它们的方向相同还是相反?解:(1)3a-b=(0,-10),a+kb=(1+3k,-2+4k),因为(3a-b)∥(a+kb),所以0-(-10-30k)=0,所以k=-.故填-.(2)因为AB=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),AC=(2-(-1),5-(-1))=(3,6),因为2×6-3×4=0,所以AB∥AC,所以AB与AC共线.又AB=AC,所以AB与AC的方向相同.互动探究:变问法:若本例(1)条件不变,判断向量(3a-b)与(a+kb)是反向还是同向?解:由向量(3a-b)与(a+kb)共线,得k=-,所以3a-b=(3,-6)-(3,4)=(0,-10),a+kb=a-b=(1,-2)-(3,4)==(0,-10),所以向量(3a-b)与(a+kb)同向.5.三点共线问题(1)已知OA=(3,4),OB=(7,12),OC=(9,16),求证:点A,B,C共线;(2)设向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),求当k为何值时,A,B,C三点共线. 8 / 14


解:(1)证明:由题意知AB=OB-OA=(4,8),AC=OC-OA=(6,12),所以AC=AB,即AB与AC共线.又因为AB与AC有公共点A,所以点A,B,C共线.(2)法一:因为A,B,C三点共线,即AB与AC共线,所以存在实数λ(λ∈R),使得AB=λAC.因为AB=OB-OA=(4-k,-7),AC=OC-OA=(10-k,k-12),所以(4-k,-7)=λ(10-k,k-12),即解得k=-2或k=11.所以当k=-2或k=11时,A,B,C三点共线.法二:由已知得AB与AC共线,因为AB=OB-OA=(4-k,-7),AC=OC-OA=(10-k,k-12),所以(4-k)(k-12)+7(10-k)=0,所以k2-9k-22=0,解得k=�
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