＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．对于a0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．（2）代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p0，则x>q或x0Δ＝0Δ0）的图象ax2＋bx＋c＝0（a>0）的根有两个不相等的实数根x1，x2（x10（a>0）的解集{x|xx2}{x|x≠－}Rax2＋bx＋c0）的解集{x|x10时，解形如ax2＋bx＋c>0（≥0）或ax2＋bx＋c0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围．②方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．基础自测：1．下列不等式中是一元二次不等式的是（ ）A．a2x2＋2≥0B．0解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．答案：C2．不等式x（x＋1）≤0的解集为（ ）A．[－1，＋∞）B．[－1，0）C．（－∞，－1]D．[－1，0]解析：解不等式得－1≤x≤0，故选D．答案：D3．函数y＝的定义域为（ ）A．[－7，1]B．（－7，1）C．（－∞，－7]∪[1，＋∞）D．（－∞，－7）∪（1，＋∞）解析：由7－6x－x2>0，得x2＋6x－70的解集．（2）求不等式9x2－6x＋1>0的解集．（3）求不等式－x2＋2x－3>0的解集．解析：（1）对于方程x2－5x＋6＝0，因为Δ>0，所以它有两个实数根．解得x1＝2，x2＝3．画出二次函数y＝x2－5x＋6的图象（图1），结合图象得不等式x2－5x＋6>0的解集为{x| 2 / 8


x3}．（2）对于方程9x2－6x＋1＝0，因为Δ＝0，所以它有两个相等的实数根，解得x1＝x2＝．画出二次函数y＝9x2－6x＋1的图象（图2），结合图象得不等式9x2－6x＋1>0的解集为（3）不等式可化为x2－2x＋30的解集．教材反思我们以求解可化成ax2＋bx＋c>0（a>0）形式的不等式为例，用框图表示其求解过程．跟踪训练1：解下列不等式：（1）x2－7x＋12>0；（2）－x2－2x＋3≥0； 3 / 8


（3）x2－2x＋10的解集为{x|20的解集为{x|20，即x2－x＋>0，解得x，所以不等式cx2＋bx＋a0的解集为{x|20的解集．解析：因为x2＋px＋q0即为－x2＋x＋1>0，整理得x2－x－60的解集为{x|－20．解析：对于方程2x2＋ax＋2＝0，其判别式Δ＝a2－16＝（a＋4）（a－4）．①当a>4或a0，方程2x2＋ax＋2＝0的两根为x1＝（－a－），x2＝（－a＋）． 4 / 8


写出一元二次不等式的解集．跟踪训练3　
解关于x的不等式x2－（a＋a2）x＋a3>0．解析：原不等式可变形为（x－a）·（x－a2）>0，则方程（x－a）（x－a2）＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2，（1）当aa2，此时原不等式的解集为{x|xa2}；（2）当0a2，即xa，此时原不等式的解集为{x|xa}；（3）当a>1时，有a2>a，即xa2，此时原不等式的解集为{x|xa2}；（4）当a＝0时，有x≠0；∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；（5）当a＝1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；综
上可知：当a1时，原不等式的解集为{x|xa2}；当0a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．→→→题型
四：一元二次不等式的实际应用[经典例题]例4：
厂某工的固成定本为3万元，该工厂每生产100台某产品的产生成本为1万元，设生产该产品x（
百台），其总成本）g为x（万元（总成本＝固定成本＋生产成本），并且销售收入）（xr
满足r（x）＝假
定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：（1）要
使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？（2）
工厂生产多少台产品时盈利最大？解析：（1）
依xg（题意得）＝x＋3，设利润（f（x），则f函数为x）＝r（x）－g（x），所以f（x）＝要
使工厂有盈利f（x，则有）>0，因为f（x）>0⇒或⇒或⇒或则3＜x≤7或7＜x＜10.5，即3＜x＜10.5，所以要
使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台
小于1050台的范围内当（2）．3＜x≤7时，f（x）＝－0.5（x－6）2＋4.5，故当x＝6时，f（x）有最大值4.5，而当x＞7时，f（x）＜10.5－7＝3.5，所以当
工厂生产600台产品时盈利最大．（1）求
利润回f（x）⇒解不等式f（函数）>0⇒x答实际问题． 5 / 8
∴原不等式的解集为．②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，∴原不等式的解集为{x|x≠1}．④当－40时，讨论相应一元二次方程两根的大小；（4）最后按照系数中的参数取值范围，


第回1）题所求范围，分类讨论求函数最值（⇒答实际问题．方法归纳：解不等式应用题的
四步骤：（1）
审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．（2）
设：引（3进数学符号，用不等式表示不等关系．）求：解不等式．（4）答：
回答实际问题．特
别提醒踪的“实际含义”．跟：确定答案时应注意变量具有训练4：
农贸公司某按元每担200收购某农产品，按并100元纳每又税10元（称征税率
为10个百分点），计划可收购a担万，政府为了购这收购公司多收鼓励种农产品，决定将
征税率降低x（x≠0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．（1）
写出税收y（万元）与x的函数关系式；（2）要
使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．解析：（1）
降低税率后的税率（10为－x）%，农产品的收购为a（1＋量2x%）万担，收购总金额
为200a（1＋2x%）依
题意得，y＝200a（1＋2x%）（10－x）%＝a（100＋2x）（10－x）（00的解集为（ ）A．B．C．∅D．R解析：因为Δ＝（－2）2－4×3×1＝－80恒成立，即不等式3x2－2x＋1>0的解集为R．答案：D2．
设m＋n>0，则关于x的不等式（m－x）（n＋x）>0的解集是（ ） 6 / 8
（2）根据


填空55．不等式（2x－题）（x＋3）600，即x2－50x＋600m}B．{x|－nn}D．{x|－m0可化为（x－m）（x＋n）0，得m>－n，则不等式（x－m）（x＋n）0的解集为，则a，c的值分别为（ ）A．a＝6，c＝1B．a＝－6，c＝－1C．a＝1，c＝1D．a＝－1，c＝－6解析：由题意知，方程ax2＋5x＋c＝0的两根为x1＝，x2＝，由根与系数的关系得x1＋x2＝＋＝－，x1·x2＝×＝．解得a＝－6，c＝－1．答案：B4．若不等式x2＋mx＋>0的解集为R，则实数m的取值范围是（ ）A．（2，＋∞）B．（－∞，2）C．（－∞，0）∪（2，＋∞）D．（0，2）解析：由题意知原不等式对应方程的Δ于．解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝．结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为．9．若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集．解析：由题意知所以代
入cx2－bx＋不等式a>0中得ax2＋ax＋a>0（a0，则－a0，原不等式的解集为：{x|－a0；（2）x2－3x＋5>0；（3）4（2x2－2x＋1）>x（4－x）．解析：（1）x2＋2x－15>0⇔（x＋5）（x－3）>0⇔x3，所以不等式的解集是{x|x3}．（2）因为Δ＝（－3）2－4×1×5＝－114x－x2．∴原不等式等