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平面向量基本定理及坐标表示【第一课时】二、新知探究1．平面向量基本定理的理解例1：设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2．其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________（写出满足条件的序号）．解析：①设e1＋e2＝λe1，则无解，所以e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2能作为一组基底．②设e1－2e2＝λ（e2－2e1），则（1＋2λ）e1－（2＋λ）e2＝0，则无解，所以e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1能作为一组基底．③因为e1－2e2＝－（4e2－2e1），所以e1－2e2与4e2－2e1共线，即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一组基底．④设e1＋e2＝λ（e1－e2），则（1－λ）e1＋（1＋λ）e2＝0，则无解，所以e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2能作为一组基底．答案：③规律方法：对基底的理解（1）两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．（2）一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这个基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．2．用基底表示平面向量例2：如图所示，在▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若AB＝a，AD＝b，试用基底{a，b}表示向量DE，BF． 1 / 15
．BF＝BA＋AD＋DF＝－AB＋AD＋AB＝b－a
．互动探究（1）变问法：本例条件不变，试用基底{a，b}表示AG．解：由平面几何知识知BG＝BF，故AG＝AB＋BG＝AB＋BF＝a＋＝a＋b－a＝a＋b
．（2）[变条件]若将本例中的向量“AB，AD”换为“CE，CF”，即若CE＝a，CF＝b，试用基底{a，b}表示向量DE，BF．解：DE＝DC＋CE＝2FC＋CE＝－2CF＋CE＝－2b＋a
．BF＝BC＋CF＝2EC＋CF＝－2CE＋CF＝－2a＋b
．规律方法：用基底表示向量的两种方法（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．（2）通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．3．平面向量基本定理的应用例3：如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN．解：设BM＝e1，CN＝e2，则AM＝AC＋CM＝－3e2－e1，BN＝BC＋CN＝2e1＋e2．因为A，P，M和B，P，N分别共线，所以存在实数λ，μ使得AP＝λAM＝－λe1－3λe2，BP＝μBN＝2μe1＋μe2． 2 / 15
解：DE＝DA＋AB＋BE＝－AD＋AB＋BC＝－AD＋AB＋AD＝a－b
．2．变条件：若本例中的点N为AC的中点，其他条件不变，求AP∶PM与BP∶PN．解：如图，设BM＝e1，CN＝e2，则AM＝AC＋CM＝－2e2－e1，BN＝BC＋CN＝2e1＋e2．因为A，P，M和B，P，N分别共线，所以存在实数λ，μ使得AP＝λAM＝－λe1－2λe2，BP＝μBN＝2μe1＋μe2．故BA＝BP＋PA＝BP－AP＝（λ＋2μ）e1＋（2λ＋μ）e2．而BA＝BC＋CA＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理，得解得所以AP＝AM，BP＝BN，所以AP∶PM＝2，BP∶PN＝2．规律方法：若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量（一般需建立两个不同的向量表达式），再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得． 3 / 15
故BA＝BP＋PA＝BP－AP＝（λ＋2μ）e1＋（3λ＋μ）e2．而BA＝BC＋CA＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得解得所以AP＝AM，BP＝BN，所以AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2．互动探究1．变问法：在本例条件下，若CM＝a，CN＝b，试用a，b表示CP．解：由本例解析知BP∶PN＝3∶2，则NP＝NB，CP＝CN＋NP＝CN＋NB＝b＋（CB－CN）＝b＋a－b＝b＋a
．所以AB＝AO＋OB＝AO－BO＝a－b，BC＝BO＋OC＝a＋b
．法二：设AB＝x，BC＝y，则AD＝BC＝y，又所以解得x＝a－b，y＝a＋b， 4 / 15
三、课堂总结平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝ λ1e1＋ λ2e2基底若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底四、课堂检测1．如图在矩形ABCD中，若BC＝5e1，DC＝3e2，则OC＝（ ）A．（5e1＋3e2）B．（5e1－3e2）C．（3e2－5e1）D．（5e2－3e1）解析：选A．OC＝AC＝（BC＋AB）＝（BC＋DC）＝（5e1＋3e2）．2．已知非零向量OA，OB不共线，且2OP＝xOA＋yOB，若PA＝λAB（λ∈R），则x，y满足的关系是（ ）A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0解析：选A．由PA＝λAB，得OA－OP＝λ（OB－OA），即OP＝（1＋λ）OA－λOB．又2OP＝xOA＋yOB，所以消去λ得x＋y＝2．3．如图，在平行四边形ABCD中，设AC＝a，BD＝b，试用基底{a，b}表示AB，BC．解：法一：设AC，BD交于点O，则有AO＝OC＝AC＝a，BO＝OD＝BD＝b
．【第二课时】【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．怎样分解一个向量才为正交分解？2．如何求两个向量和、差的向量的坐标？3．一个向量的坐标与有向线段的起点和终点坐标之间有什么关系？4．若a＝（x，y），则λa的坐标是什么？二、新知探究1．平面向量的坐标表示例1：已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA|＝4，∠xOA＝60°，（1）求向量OA的坐标；（2）若B（，－1），求BA的坐标．解：（1）设点A（x，y），则x＝|OA|cos 60°＝4cos 60°＝2，y＝|OA|sin 60°＝4sin 60°＝6，即A（2，6），所以OA＝（2，6）．（2）BA＝（2，6）－（，－1）＝（，7）．规律方法：求点和向量坐标的常用方法（1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．（2）求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．2．平面向量的坐标运算例2：（1）已知向量a＝（5，2），b＝（－4，－3），若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝（ ）A．（－23，－12）B．（23，12）C．（7，0）D．（－7，0）（2）已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），且CM＝3 CA，CN＝2 CB，求点M，N的坐标．解：（1）选A．因为a＝（5，2），b＝（－4，－3），且c满足3a－2b＋c＝0，所以c 5 / 15
即AB＝a－b，BC＝a＋b
吗？若能，求出t的值；若不能，请说明＝解：（1）OP理由．OA＋tAB＝（1，2）＋t（3，3）＝（1＋3t，2＋3t）．若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－．若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－．若点P在第二象限，则 6 / 15
＝2b－3a＝2（－4，－3）－3（5，2）＝（－8－15，－6－6）＝（－23，－12）．（2）法一：因为A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），所以CA＝（－2，4）－（－3，－4）＝（1，8），CB＝（3，－1）－（－3，－4）＝（6，3）．因为CM＝3 CA，CN＝2 CB，所以CM＝3（1，8）＝（3，24），CN＝2（6，3）＝（12，6）．设M（x1，y1），N（x2，y2），所以CM＝（x1＋3，y1＋4）＝（3，24），CN＝（x2＋3，y2＋4）＝（12，6），所以解得所以M（0，20），N（9，2）．法二：设O为坐标原点，则由CM＝3 CA，CN＝2 CB，可得OM－OC＝3（OA－OC），ON－OC＝2（OB－OC），所以OM＝3 OA－2 OC，ON＝2 OB－OC．所以OM＝3（－2，4）－2（－3，－4）＝（0，20），ON＝2（3，－1）－（－3，－4）＝（9，2）．所以M（0，20），N（9，2）．规律方法：平面向量坐标（线性）运算的方法（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．（2）若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．（3）向量的线性坐标运算可类比数的运算进行．3．向量坐标运算的综合应用例3：已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），及OP＝OA＋tAB．（1）t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？（2）四边形OABP能为平行四边形
＜t＜（2－．）OA＝（1，2），PB＝（3－3t，3－3t）．若四边形OABP为平行四边形，则OA＝PB，所以该方程组无解．故四边形OABP不能为平行四边形．互动探究：变问法：若
保持t为何值时，本例条件不变，问B为线段AP的中点？解：由OP＝OA＋tAB，得AP＝tAB．所以
当t＝2时，AP＝2AB，B为线段AP的中点．求解
策略：向量中
含参数问题的求解策略（1）向量的坐标
含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置
会随之改变．（2）解答这类由
参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程（组），解这个方程（组），
就能达到解题的目的．4．向量共线的
判＝（1）已知向量a定（1，－2），b＝（3，4）．若（3a－b）∥（a＋kb），则k＝________．（2）已知A（－1，－1），B（1，3），C（2，5），
判如AB与AC是断共线？否果共线，它们
的方向相同还解：（1）3a是相反？－b＝（0，－10），a＋kb＝（1＋3k，－2＋4k），因为（3a－b）∥（a＋kb），所以0－（－10－30k）＝0，所以k＝－．故
填－（－（2）因为AB＝（1－．1），3－（－1））＝（2，4），AC＝（2－（－1），5－（－1））＝（3，6），因为2×6－3×4＝0，所以AB∥AC，所以AB与AC共线．又AB＝AC，所以AB与AC的方向相同．互动探究：�
．BF＝BA＋AD＋DF＝－AB＋AD＋AB＝b－a
．互动探究（1）变问法：本例条件不变，试用基底{a，b}表示AG．解：由平面几何知识知BG＝BF，故AG＝AB＋BG＝AB＋BF＝a＋＝a＋b－a＝a＋b
．（2）[变条件]若将本例中的向量“AB，AD”换为“CE，CF”，即若CE＝a，CF＝b，试用基底{a，b}表示向量DE，BF．解：DE＝DC＋CE＝2FC＋CE＝－2CF＋CE＝－2b＋a
．BF＝BC＋CF＝2EC＋CF＝－2CE＋CF＝－2a＋b
．规律方法：用基底表示向量的两种方法（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．（2）通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．3．平面向量基本定理的应用例3：如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN．解：设BM＝e1，CN＝e2，则AM＝AC＋CM＝－3e2－e1，BN＝BC＋CN＝2e1＋e2．因为A，P，M和B，P，N分别共线，所以存在实数λ，μ使得AP＝λAM＝－λe1－3λe2，BP＝μBN＝2μe1＋μe2． 2 / 15
解：DE＝DA＋AB＋BE＝－AD＋AB＋BC＝－AD＋AB＋AD＝a－b
．2．变条件：若本例中的点N为AC的中点，其他条件不变，求AP∶PM与BP∶PN．解：如图，设BM＝e1，CN＝e2，则AM＝AC＋CM＝－2e2－e1，BN＝BC＋CN＝2e1＋e2．因为A，P，M和B，P，N分别共线，所以存在实数λ，μ使得AP＝λAM＝－λe1－2λe2，BP＝μBN＝2μe1＋μe2．故BA＝BP＋PA＝BP－AP＝（λ＋2μ）e1＋（2λ＋μ）e2．而BA＝BC＋CA＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理，得解得所以AP＝AM，BP＝BN，所以AP∶PM＝2，BP∶PN＝2．规律方法：若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量（一般需建立两个不同的向量表达式），再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得． 3 / 15
故BA＝BP＋PA＝BP－AP＝（λ＋2μ）e1＋（3λ＋μ）e2．而BA＝BC＋CA＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得解得所以AP＝AM，BP＝BN，所以AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2．互动探究1．变问法：在本例条件下，若CM＝a，CN＝b，试用a，b表示CP．解：由本例解析知BP∶PN＝3∶2，则NP＝NB，CP＝CN＋NP＝CN＋NB＝b＋（CB－CN）＝b＋a－b＝b＋a
．所以AB＝AO＋OB＝AO－BO＝a－b，BC＝BO＋OC＝a＋b
．法二：设AB＝x，BC＝y，则AD＝BC＝y，又所以解得x＝a－b，y＝a＋b， 4 / 15
三、课堂总结平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝ λ1e1＋ λ2e2基底若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底四、课堂检测1．如图在矩形ABCD中，若BC＝5e1，DC＝3e2，则OC＝（ ）A．（5e1＋3e2）B．（5e1－3e2）C．（3e2－5e1）D．（5e2－3e1）解析：选A．OC＝AC＝（BC＋AB）＝（BC＋DC）＝（5e1＋3e2）．2．已知非零向量OA，OB不共线，且2OP＝xOA＋yOB，若PA＝λAB（λ∈R），则x，y满足的关系是（ ）A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0解析：选A．由PA＝λAB，得OA－OP＝λ（OB－OA），即OP＝（1＋λ）OA－λOB．又2OP＝xOA＋yOB，所以消去λ得x＋y＝2．3．如图，在平行四边形ABCD中，设AC＝a，BD＝b，试用基底{a，b}表示AB，BC．解：法一：设AC，BD交于点O，则有AO＝OC＝AC＝a，BO＝OD＝BD＝b
．【第二课时】【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．怎样分解一个向量才为正交分解？2．如何求两个向量和、差的向量的坐标？3．一个向量的坐标与有向线段的起点和终点坐标之间有什么关系？4．若a＝（x，y），则λa的坐标是什么？二、新知探究1．平面向量的坐标表示例1：已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA|＝4，∠xOA＝60°，（1）求向量OA的坐标；（2）若B（，－1），求BA的坐标．解：（1）设点A（x，y），则x＝|OA|cos 60°＝4cos 60°＝2，y＝|OA|sin 60°＝4sin 60°＝6，即A（2，6），所以OA＝（2，6）．（2）BA＝（2，6）－（，－1）＝（，7）．规律方法：求点和向量坐标的常用方法（1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．（2）求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．2．平面向量的坐标运算例2：（1）已知向量a＝（5，2），b＝（－4，－3），若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝（ ）A．（－23，－12）B．（23，12）C．（7，0）D．（－7，0）（2）已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），且CM＝3 CA，CN＝2 CB，求点M，N的坐标．解：（1）选A．因为a＝（5，2），b＝（－4，－3），且c满足3a－2b＋c＝0，所以c 5 / 15
即AB＝a－b，BC＝a＋b
吗？若能，求出t的值；若不能，请说明＝解：（1）OP理由．OA＋tAB＝（1，2）＋t（3，3）＝（1＋3t，2＋3t）．若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－．若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－．若点P在第二象限，则 6 / 15
＝2b－3a＝2（－4，－3）－3（5，2）＝（－8－15，－6－6）＝（－23，－12）．（2）法一：因为A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），所以CA＝（－2，4）－（－3，－4）＝（1，8），CB＝（3，－1）－（－3，－4）＝（6，3）．因为CM＝3 CA，CN＝2 CB，所以CM＝3（1，8）＝（3，24），CN＝2（6，3）＝（12，6）．设M（x1，y1），N（x2，y2），所以CM＝（x1＋3，y1＋4）＝（3，24），CN＝（x2＋3，y2＋4）＝（12，6），所以解得所以M（0，20），N（9，2）．法二：设O为坐标原点，则由CM＝3 CA，CN＝2 CB，可得OM－OC＝3（OA－OC），ON－OC＝2（OB－OC），所以OM＝3 OA－2 OC，ON＝2 OB－OC．所以OM＝3（－2，4）－2（－3，－4）＝（0，20），ON＝2（3，－1）－（－3，－4）＝（9，2）．所以M（0，20），N（9，2）．规律方法：平面向量坐标（线性）运算的方法（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．（2）若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．（3）向量的线性坐标运算可类比数的运算进行．3．向量坐标运算的综合应用例3：已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），及OP＝OA＋tAB．（1）t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？（2）四边形OABP能为平行四边形
＜t＜（2－．）OA＝（1，2），PB＝（3－3t，3－3t）．若四边形OABP为平行四边形，则OA＝PB，所以该方程组无解．故四边形OABP不能为平行四边形．互动探究：变问法：若
保持t为何值时，本例条件不变，问B为线段AP的中点？解：由OP＝OA＋tAB，得AP＝tAB．所以
当t＝2时，AP＝2AB，B为线段AP的中点．求解
策略：向量中
含参数问题的求解策略（1）向量的坐标
含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置
会随之改变．（2）解答这类由
参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程（组），解这个方程（组），
就能达到解题的目的．4．向量共线的
判＝（1）已知向量a定（1，－2），b＝（3，4）．若（3a－b）∥（a＋kb），则k＝________．（2）已知A（－1，－1），B（1，3），C（2，5），
判如AB与AC是断共线？否果共线，它们
的方向相同还解：（1）3a是相反？－b＝（0，－10），a＋kb＝（1＋3k，－2＋4k），因为（3a－b）∥（a＋kb），所以0－（－10－30k）＝0，所以k＝－．故
填－（－（2）因为AB＝（1－．1），3－（－1））＝（2，4），AC＝（2－（－1），5－（－1））＝（3，6），因为2×6－3×4＝0，所以AB∥AC，所以AB与AC共线．又AB＝AC，所以AB与AC的方向相同．互动探究：�
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