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湘教版八年级下册数学:2.4三角形的中位线(共25张PPT).ppt
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作者很懒没有写任何内容
2.4 三角形的中位线


(一) 连结三角形顶点和它对边中点所得的 线段,是三角形的中线.如图,D为BC的中点,则AD为△ABC的中线.


三角形的中位线
那么,如图连结三角形两边BC与AC的中点的线段DE还是三角形的中线吗?我们可以给这样的线段一个名字——


D,E,F分别为△CBA 三边中点, 所以,
DF,DE,F分别是三角形的三条中位线.E图2-37新课导入新课导入新课导入新课导入
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 如图2-37,


,BC的长 各是多少?你能作出什么猜测? 2. 位置关系:用三角板和直尺把边直线BC平移,看看能否和直线EF重合?你能猜测EF与BC
的位置关系吗?图2-38思考?若EF是三角形ABC的中位线,EF与BC有怎样的关系呢?探究
1. 数量关系: 量一量,EF


EF= cm,B
C= cm,猜测12EFBC.=这些猜测正确吗?我们来进行证明.
我猜测EF∥BC. 我量得


∥BC 且
图2-38已知:如图,在 ABC中,点E,F分别是AB,AC的中点。求证:EF


如图,将△AEF绕点F旋转180°,设点E的像为点G,易知点A的像是点C,点F的像还是点F,且E,F,G在一条直线上.因为旋转不改变图形的形状和大小,所以有 CG=AE=BE,GF=EF,∠G=∠AEF.则 AE∥CG. (内错角相等,两直线平行)即 BE∥CG.又 BE=CG,所以四边形BCGE是平行四边形.(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)图2-39证法一:


EF ﹦12BC.所以 .你还能不同你还能不同的方法加以的方法加以证明吗证明吗??
所以EG=BC,EG∥BC.(平行四边形的对边平行且相等)又因为EF=GF,图2-39∥从而


∥交EF的延长线于点G∵CGAB
∥,∴∠A=1
∠又AF=CF,∠2=3

∴△AFECFG △≌ ∴ AE=CG,EF=GF又BE=AE,∴B E CG∴四边形BCGE是平行四边形∴EG// BC 且GF=EF= BC
1∥从而
2
EF ﹦12BC.
CFEGBA返回123证法二:过点C作CGAB


∠,∴△AFECFG
≌△∴∠A=1
∠, AE=CG∴CGAB
∥又∵ AE=CG且BE=AE,∴B E=CG∴四边形BCGE是平行四边形∴EG// BC 且GF=EF= BC
1∥从而
2
EF ﹦12BC.
图2-39证法三:延长EF至点G,使FG=EF,连接CG。∵AF=CF且∠AFE=CFG


结论 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.由此得到三角形的中位线定理:


A
EF
∵EF是A△BC的中位线
∴EF且BC ∥ (位置关系)(数量关系)
B
C
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.数学语言:



例例典例分析典例分析典例分析典例分析
如图,顺次连结四边形ABCD各边中点E,F,G,H,得到的四边形EFGH是平行四边形吗?为什么?


1
且,EFAC因此HG ∥AC.=
2
1
HGAC=.
2
∥HG ,且EF= HG.所以四边形EFGH是平行四边形.所以EF∥AC,且
解 证法一:连结AC.由于EF是△ABC的一条中位线,又因HG是△ DAC的一条中位线,于是EF


∥D,且 因此HG ∥AC,且
∥G , 且EH= FG.所以四边形EFGH是平行四边形.所以EHB
解 证法二:连结BD.由于EH是△ABD的一条中位线,又因HG是△ DAC的一条中位线,于是EH F


∥D又因HG是△ DAC的一条中位线,因此 FG ∥BD所以 EHFG
∥同理 EFHG
∥所以四边形EFGH是平行四边形.
解 证法三:连结AC,BD.如图。由于EH是△ABD的一条中位线,所以 EHB


实问:?例2. A、B两点被池塘隔开,如何才能知道它们之间的距离呢?BACMN答:A、B两点的距离是40m。因为MN是△ABC的中位线,利用三角形中位线性质得MN等于AB的一半,所以AB为MN的2倍,等于40m.在AB外选一点C,连结AC和BC,并分别找出AC和BC的中点M、N,如果测得MN = 20m,那么A、B两点的距离是多少?为什么?


1. 已知△ABC的各边长度分别为3 cm, 3.4cm,4cm,求连结各边中点所构成 的△DEF的周长.答:5.2 cm.练习


ABC的边AB ,,BCCA的中点分别是
D,E,F.
(1)四边形ADEF是平行四边形吗?为什么? 答:四边形ADEF是平行四边形. 因为 所以四边形ADEF是平行四 边形.(两组对边分别相等的四边 形是平行四边形)1==21==2DEACAF EFABAD, ,2. 如图,


(2)四边形ADEF的周长等于AB+AC吗? 为什么? +++1111+++2222+. 答:等于 ADDEEFAF = ABACABAC = AB AC .


拓展: 证明:过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边已知:如图,在 ABC中,DE // BC交AC于点E。求证:AE=EC


∠AEH=∠CEF ,所以:所以:AE=EC
证明:作EF// AB交BC于点F,连DF,作AH //BF,交EF的延长线与点H。则易得四边形ADEH,四边形DBFE都为平行四边形所以:AD=EH,DB=EF。又因:AD=DB,所以:EH=EF。又∠1=∠2 ,


通过这节课的学习,你有哪些收获?课后小结课后小结课后小结课后小结


1.P57,A,1,3题。2.选做 B组 6题。课后作业课后作业课后作业课后作业