x dm，则一个正方体的表面积为6
x2 dm2.根据题意，得10×6
x2=1500，整理，得
x2=25.根据平方根的意义，得
x=±5. 即
x1=5，不合2=-5.(x题意，舍去)答：其中一个盒子的棱长为5 dm.
学 习 新 知一桶油漆可刷的面积为1500 dm2,张明用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？解：设其中一个盒子的棱长为


2
2
x=4；(2)
(1)4.x= +解：（1）根据平方根的意义得
� ∴2
x= ，
x1=2，（2=-2.x2）根据平方根的意义得x+1= ，
� ∴2
x+1=2或1+x=-2，∴
x1=1，考：2 =-3. 思x方程的左右两边满足什么形式时，利用平方根的意义，可以直接开平方解一元二次方程？
. 1.根据平方根的意义，解下列方程：(1)


2
xx2同？移项+-=思考下列问题并回答： (1)方程（边相）与方程（1）的区别是什么？方程(1)左边可以化简成完全平方式，方程）2）左边不是完全平方式.(2)把常数项移项，如何把方程（2）的左边化成与方程（1（的左，得.032
x2＋2＝3，根据等式的性质，方x程两边同时加1可以化成与（1）的左边相同. 
2.解下列方程：（1）（2）2214xx++=；


x+1)2=4,∴
，∴+1= xx+1=2或+x1=-2，（2）原方程可化为 ，
�2
x1=1，32 =-x. 解：（1）原方程可化为（
2
x2x14
2
(1)4x+=，，即∴
，∴+1= xx+1=2或
∴� 2
x+1=-2，
x1=1，x2 =-3.
（3）能不能配方后解方程？配方后用直接开平方法可以求解.∴


2
(xm)n(m）（4）2，的形式，再求出（的根.⑴（3）方程n，数常是n0)
2
2
xx+=-065；
xx+=248；
3
2
2
xx +-=根据完全平方公式填空： (1)x2+2x+( )2=(x+x__ )2 ； （2）x2-4x+( )2=(x- _ )2；（3）x2-6x+( )2=( )2； (4)x2+x+( )2=( )2.11223x-3+0.
xx=-124；
4
1
1
2
2
做一做先把下列方程化为


2
x2x149
2
(1)49x=+， ∴
，∴+1=±7xx+1=7或x+1=-7，∴
x1=6，.2 =-8x（2）原方程可化为 即
2
xx-4416+=，2
(-2)16x=，∴
x-2= ，∴或-x=42x-2=-4，
� ∴ 4
x1=6，x2 =-2.
解：（1）原方程可化为 ,即


2
x，即-6x94
2
(-3)4x=， ∴
x-3= ，∴或-x=23x-3=-2，
�∴ 2
x1=5， 2x=1.（4）原方程可化为
1
1
2
2
xx++=1，即
()1x+=111222xxx，\+�\++=1,=1或=-1,
4
2
12
\xx=,=-.
12
23
（3）原方程可化为


归纳总结： 通过配方，把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方，另一边是常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.


（4）解出方程的根.配方法解一元二次方程的步骤：（1）移项（常数项移到方程右边）；（2） 配方（方程两边都加上一次项系数的一半的平方）；（3）开平方；


2
2
xx--=01011；
xx得：⑴移项，+-=（1）（2）解0.12
2
xx -=配方，得1011.
222
xx-+=+105115，即
2
（开平方两边 ），得x=-.635
x所-=�以56.
12xx=11,=-1.
例1 用配方法解下列方程：


2
xx+=21.
222
xx++=+2111，
2
(1)2.x+=
x�所以+=1212.
xx.=,=2-1-2+1-
(2)移项，得 配方，得即 两边开平方，得


2
2410.xx1+=（+）该方程能不能按上边的方法先移项，然后直接配方？观察方程移项后，二次项系数不为1，所以不能直接配方.（2）观察该方程和上边方程有什么区别？二次项系数不为1.（3）如何把二次项系数化为1？根据等式的基本性质，方程两边同时除以二次项系数可得.(4)根据上边的分析，尝试完成解方程.
做一做 用配方法解方程：


1
2配方，得x2+2x+1＝－ +1，
1
2（x+1）2= ,∴x+1=± ，
1
2∴x1=-1+ ，x2=-1- .
2
2
22
22
解：移项，得2x2+4x＝－1， 二次项系数化为1，得x2+2x＝－ ，


2
236.xx解：=.+移项，并将二次项系数化为1，得
3
2
xx即-=-配方，得 ,.3
2
22
333

2
x3x

222

2
33
��
x-=.
��
24
��两边开平方，得
33
x-=�.
22
33-
33+
x=所以.
x=，
2
1
2
2
例2 用配方法解方程：


知识拓展1.直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，主要解形如（ax＋b）2= c（c≥0）的一元二次方程，解方程的理论依据是平方根的定义.2.利用直接开平方法解一元二次方程时，要注意开方的结果.3.方程（ax＋b）2= c中，当c＜0时，方程没有实数根.


5.用配方法解一元二次方程，实质就是对一元二次方程变形，转化成直接开平方法所需要的形式.配方为了降次，利用平方根的定义把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.4．配方法是对二次项和一次项配方，所以一般先把常数项移到方程右边，再利用等式的性质将方程两边都加上一次项系数一半的平方（二次项系数必须为1）.


3．解一元二次方程的基本思路：降次——把一元二次方程化为（x+h）2=k（k≥0）的形式后两边开平方，使原方程变为两个一元一次方程.课堂小结1.依据平方根的概念可解形如（ax＋b）2= c（c≥0）的一元二次方程.2. 通过配方，把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方，另一边是常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.


（5）求解（解一元一次方程）.4.用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）移项（把常数项移到方程的右边）；（2）把二次项系数化为1（方程两边同时除以二次项系数a）；（3）配方（方程两边都加上一次项系数的一半的平方）；（4）开平方（根据平方根意义，方程两边开平方）；


x2-6的值为12，则
x的值为（ ）33A.3 B. C.±3 D.-解析：由题意可得2
x2-6=12，移项，得2
，得2=18，系数化为1xx2=9，直接开平方，得
x=±3 ，故选C.C
检测反馈1. 如果代数式2


x）2=2的根是（ ）
2
2
2
2A.-1,3 B.1,-3 C.1- ，1+ D. -1， +1解析：直接开平方，得1-x=± ，即1-x= 或1-x=- ，解得x1=1- ，x2=1+ ，
2
2
2故选C.C
22
2.方程（1-


3.已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ） A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1 C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11解析：移项，得x2-8x=-15，两边同时加一次项系数一半的平方，得x2-8x+（-4）2=1，故选B.B


1
1
2222
a
2
4.6____=(____),__)__(__.xxxaa1++-+=-解析：二次项系数为+时，完全平方式中常数项是一次项系数一半的平方，故填9，3，1,.2a93
4


5.x2＋2x－5＝0配方后的方程为________．解析：移项，得x2＋2x＝5，两边同时加1，得x2＋2x+1＝6，配方得（x+1）2＝6，故填（x+1）2＝6.（x+1）2＝6


x2-4=+4x5； (2)3(x-1)2-6=0；（3）x
2+ 2x - 3=0； （4）9y2-18y-4=0. 解：（1）化简得（x-2）2=5，直接开平方得x-2= ± ，5所以x-2= 或 5x-2=- ，5解得
xx=+=-25,25.
12
6.用配方法解方程．（1）


2或x-1= ，所以
�即x-1=2
-2xx-2=-=+=3（3）移项，得x2+2x=3，两边同时加1，得x2+2x+1 4，配方得（x+1）2=4，∴x+1=2或x+1=-2，∴x1 =1,=x.21,21.
12
（2）移项得3（x-1）2=6，系数化为1，得（x-1）2=2，直接开平方得x-1= ，


44
9-1配方得（y9）2= ，
13
13
13
9∴y-1=
3∴y1 =1+ ，，
3或y-1=-
1313
3y2=1- .3
（4）移项，得9y2-18y=4，两边同时除以9，得y2-2y= ，两边同时加1，得y2-2y+1= +1，




学 习 新 知 韦达是16世纪法国最伟大的数学家之一，当比利时数学家提出一个一元45次的方程的求解问题向各国数学家挑战，法国国王把这个问题交给了韦达，韦达当时就得出一解，回家后一鼓作气，很快又得出22解，答案公布，震惊世界.像这种高次方程，有没有一个通法，也就是说：对于每个次数的一元方程能否找出一公式来求解，一直是各国数学家都想解决的一个问题.问题思考


x2+a+bxc=0（解：≠0），你能否用配方法的步骤求出它们的两根?a移项，得ax2+bx=-c，方程中的二次项系数化为1，得2
bc
xx+=-配方，得22224.�24bbbacxxaaa-��++=����即2224.24bbacxaa-��+=���.
aa
探究一 如果这个一元二次方程是一般形式


探究二问题1:一元二次方程（x+m）2=n一定有根吗？问题2：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）配方后的方程222424bbacxaa-��+=����一定有根吗？


a2＞0, ∴(1)当b2-4ac＞0时，
2
244baca-＞0，
2
bbac-4
x方程+=�有两个不相等的实数根：.
22aa
2
2
---bacb4
+--bacb4
x=.
2
x=，
1
2a
2a
∵4


2
b＝0，4ac
2
b＝0时，4ac
2
4a
2
b

方程x=0.有两个相等的实数根：

2a

b
xx==-⑶当.
12
2a
2
2
b4ac
b

2
b 而 ＜0时， ＜0， 4ca，x方程没有实数根.≥0

2
2a

4a
⑵当


2
axbxc=++0：⑴当
2
b当⑵＞0时，方程有两个不相等的实数根；4ca
2
b当⑶＝0时，方程有两个相等的实数根；4ca
2
b..＜0时，方程没有实数根4ca
对于一元二次方程


2
b一元二叫做次方程4ac
2
ax式的判别根.bxc0
b²-4≥ca0时，一元二次方程ax²+bx+0=c的两实数根可以用
2
bb4ac
x求出.这个式子叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.当
2a
我们把


a，b，c决定；
a，b，c的值，然后代入公式求解.强调：（1）用一元二次方程根的判别式可以判定一元二次方程根的情况；（2）一元二次方程的根由系数
（3）用公式法解一元二次方程时，先将方程化成一