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2.5.3切线长定理
教学目标 1. 理解切线长的概念； 2. 通过探究、发现和证明，掌握切线长定理； 3. 能运用切线长定理解答问题； 4. 归纳运用切线长定理的解题解题规律，提高解题能力.
新知导入经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.1. 切线的判定定理是什么？圆的切线垂直于过切点的半径.2. 圆的切线有什么性质？3. 解决与切线问题，常作的辅助线及解题方法有哪些？口诀：连半径，想垂直；做垂直，思距离.
⊥，所以PA是⊙O的切线.
新知讲解 如图，将三角尺的一条直角边过⊙O外一点P及圆上一点A，另一条直角边过圆心O，然后作直线PA，则PA是⊙O的切线.用同样的方法作出切线PB。你能说出PA和PB是⊙O的切线的理由吗？说一说 因为PA经过半径OA的外端，且PAOA
新知讲解经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长。如图，线段PA，PB的长度是点P到⊙O的切线长。
新知讲解 在透明纸上画出右图，设PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，沿直线OP将图形对折，你发现了什么？探究
∠
新知讲解 我把图形沿直线OP对折后，发现线段PA与线段PB重合，∠APO与∠BPO重合。即PA=PB，∠APO=BPO.
新知讲解由此我们猜测：过圆外一点所作圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
△和RtPBO，△若能证明RtPAO
△≌PBO，△问题就解决了。
新知讲解我们的猜测是真的吗？如何证明？我们知道，解决与切线有关的问题可以连半径。连接OA，OB，如右图，得到RtPAO
∵PA，PB是⊙O的切线，∴
∠PAO=PBO=90为°，即△PAO和△PBO均∠直角三角形.又∵ OA= OB，OP= OP，
∴△PAO ≌PBO.△
∴PA=PB ， ∠APO=BPO.∠
新知讲解证明：连接OA，OB，如右图.
由此得到切线长定理： 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.新知讲解
⊥。因此要证CO∥BD，只要利用切线长定理证CO AB
⊥即可.OABCD
新知导入例5 如图，AD是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA和CB是⊙O的切线，A和B是切点，连接BD.求证：CO∥BD.分析：因为AD为直径，连接AB，那么∠ABD=90°，即BDAB
∵CA，CB是⊙O的切线，
OCA=CB，∠ACO=BC∴∠，
∴CO AB.O⊥ABCD
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，即 BDAB
⊥
∴CO∥BD.
新知导入证明：连接AB.
课堂总结1. 什么叫做切线长？经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长.2. 什么叫做切线长定理？过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
课堂总结3. 运用切线长定理解题时，有哪些常作的辅助线？连半径、作直径所对的圆周角、连两切点、连圆心与圆外两切线的公共点.4. 运用切线长定理时，常用到以前学过的哪些知识？直角三角形、等腰三角形和全等三角形的性质和判定等基本知识.
∴AD=AE，BC=BE，
∴AD+BC=AE+BE=AB.∴ 四边形ABCD的周长为：AD+BC+AE+BE+CD=AB+AB+CD=14.
巩固练习第72页课后练习第1、2题：1. 如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD，AB，BC相切，切点分别为D，E，C.设半圆的半径为2，AB=5，求四边形ABCD的周长.解：∵半圆O与AD，AB，BC相切，
∵是⊙O的切线，∴ PAPB.
⊥2. 在RtPAO
△中，利用锐角三角函数 求出∠AOP.3. 同理求出∠BOP，即可求∠AOB.巩固练习
2. 如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，点A，B为切点，若OP=4，PA=，求∠AOB的度数. 思路引导：1. PA
∴PAPB.⊥在RtPAO
△中，OP=4，PA=，
∴sinAOP===.∠
∴∠AOP=60° .同理得 ∠BOP=60°，
∴∠AOB=120°.巩固练习
解： ∵PA是⊙O的切线，
能力提升3. (资阳中考)如图，已知AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB=60°.(1)求∠BAC的度数；(2)若PA=1，求点O到AB的弦长.
∵切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，
∴PA=PB.又∵ ∠APB=60°，
∴△PAB是等边三角形.
∴∠PAB==60°.又∵ AC是⊙O的直径，
∴ACPAP，即∠⊥AC=90°.
∴∠BAC==30°.
能力提升解：(1) PA
∵连接OP，交AB于点D，则AD为点O到AB的距离.
OPA=PB，∠APO=BP∵∠，
∴PO垂直平分AB.由(1)可得AB=PA=1，则AD=.在RtPAB
△中， OABPCD
∴OD===.
能力提升(2)
教学目标 1. 理解切线长的概念； 2. 通过探究、发现和证明，掌握切线长定理； 3. 能运用切线长定理解答问题； 4. 归纳运用切线长定理的解题解题规律，提高解题能力.
新知导入经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.1. 切线的判定定理是什么？圆的切线垂直于过切点的半径.2. 圆的切线有什么性质？3. 解决与切线问题，常作的辅助线及解题方法有哪些？口诀：连半径，想垂直；做垂直，思距离.
⊥，所以PA是⊙O的切线.
新知讲解 如图，将三角尺的一条直角边过⊙O外一点P及圆上一点A，另一条直角边过圆心O，然后作直线PA，则PA是⊙O的切线.用同样的方法作出切线PB。你能说出PA和PB是⊙O的切线的理由吗？说一说 因为PA经过半径OA的外端，且PAOA
新知讲解经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长。如图，线段PA，PB的长度是点P到⊙O的切线长。
新知讲解 在透明纸上画出右图，设PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，沿直线OP将图形对折，你发现了什么？探究
∠
新知讲解 我把图形沿直线OP对折后，发现线段PA与线段PB重合，∠APO与∠BPO重合。即PA=PB，∠APO=BPO.
新知讲解由此我们猜测：过圆外一点所作圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
△和RtPBO，△若能证明RtPAO
△≌PBO，△问题就解决了。
新知讲解我们的猜测是真的吗？如何证明？我们知道，解决与切线有关的问题可以连半径。连接OA，OB，如右图，得到RtPAO
∵PA，PB是⊙O的切线，∴
∠PAO=PBO=90为°，即△PAO和△PBO均∠直角三角形.又∵ OA= OB，OP= OP，
∴△PAO ≌PBO.△
∴PA=PB ， ∠APO=BPO.∠
新知讲解证明：连接OA，OB，如右图.
由此得到切线长定理： 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.新知讲解
⊥。因此要证CO∥BD，只要利用切线长定理证CO AB
⊥即可.OABCD
新知导入例5 如图，AD是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA和CB是⊙O的切线，A和B是切点，连接BD.求证：CO∥BD.分析：因为AD为直径，连接AB，那么∠ABD=90°，即BDAB
∵CA，CB是⊙O的切线，
OCA=CB，∠ACO=BC∴∠，
∴CO AB.O⊥ABCD
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，即 BDAB
⊥
∴CO∥BD.
新知导入证明：连接AB.
课堂总结1. 什么叫做切线长？经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长.2. 什么叫做切线长定理？过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
课堂总结3. 运用切线长定理解题时，有哪些常作的辅助线？连半径、作直径所对的圆周角、连两切点、连圆心与圆外两切线的公共点.4. 运用切线长定理时，常用到以前学过的哪些知识？直角三角形、等腰三角形和全等三角形的性质和判定等基本知识.
∴AD=AE，BC=BE，
∴AD+BC=AE+BE=AB.∴ 四边形ABCD的周长为：AD+BC+AE+BE+CD=AB+AB+CD=14.
巩固练习第72页课后练习第1、2题：1. 如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD，AB，BC相切，切点分别为D，E，C.设半圆的半径为2，AB=5，求四边形ABCD的周长.解：∵半圆O与AD，AB，BC相切，
∵是⊙O的切线，∴ PAPB.
⊥2. 在RtPAO
△中，利用锐角三角函数 求出∠AOP.3. 同理求出∠BOP，即可求∠AOB.巩固练习
2. 如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，点A，B为切点，若OP=4，PA=，求∠AOB的度数. 思路引导：1. PA
∴PAPB.⊥在RtPAO
△中，OP=4，PA=，
∴sinAOP===.∠
∴∠AOP=60° .同理得 ∠BOP=60°，
∴∠AOB=120°.巩固练习
解： ∵PA是⊙O的切线，
能力提升3. (资阳中考)如图，已知AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB=60°.(1)求∠BAC的度数；(2)若PA=1，求点O到AB的弦长.
∵切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，
∴PA=PB.又∵ ∠APB=60°，
∴△PAB是等边三角形.
∴∠PAB==60°.又∵ AC是⊙O的直径，
∴ACPAP，即∠⊥AC=90°.
∴∠BAC==30°.
能力提升解：(1) PA
∵连接OP，交AB于点D，则AD为点O到AB的距离.
OPA=PB，∠APO=BP∵∠，
∴PO垂直平分AB.由(1)可得AB=PA=1，则AD=.在RtPAB
△中， OABPCD
∴OD===.
能力提升(2)
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