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2.7 正多边形与圆
教学目标 1. 了解正多边形、圆的内接正多边形等概念； 2. 掌握用等分圆的方法作圆的内接正多边形； 3. 掌握内接正多边形的性质，并能用性质解答问题； 4. 培养作图能力，树立学习合作思想，养成合作习惯.
新知导入n边形的内角和等于(n-2)•180°，外角和等于360°.1. 正n边形的内角和定理及其推论是什么？圆内接四边形的对角互补.2. 圆内接四边形的内角有什么性质？ 那么利用圆可以作出怎样的多边形呢？利用圆的性质可以得出这些多边形的什么特殊性质呢？
新知讲解 每个多边形的各边都相等，各内角也相等. 如图2-57，这些多边形有什么共同特点？说一说
新知讲解我们把各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形.等边三角形也称正三角形。n边形的各边相等，各内角也相等，我们就说这个n边形是正n边形.除上面列举的正多边形外，还有正七边形、正八边形、正九边形、正十边形、正十一边形…….
新知讲解 如何作一个正多边形呢？动脑筋 由于在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，因此可以用量角器将圆心角n等分，从而使圆n等分，依次连接各等分点，可得到一个正n边形.
新知讲解 将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心.
新知讲解 已知⊙O的半径为r，求作⊙O的内接正六边形.做一做 因为正六边形的每条边所对的圆心角为60°，所以正六边形的边长与圆的半径相等。因此在半径为r的圆上依次截取等于半径r的弦，就可以将圆六等分.
新知讲解作法：(1)作圆的直径BE，分别以B，E为圆心，以r为半径作弧，与⊙O分别交于点A，C和F，D.BEACFDr
新知讲解BEACFDr(2)依次连接AB，BC，CD，DE，EF ，FA，则六边形ABCDEF就是所求作的⊙O的内接正六边形.
新知讲解例 如图，已知⊙O的半径为r，求作⊙O的内接正方形.分析：作两条互相垂直的直径，就可将⊙O分成四等分.
⊥(2)依次连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD就是所求作的⊙O的内接正四边形.
新知讲解ACDB作法：(1)作直径AC与BD，使ACBD.
新知讲解在生产设计中，人们经常会遇到等分圆的问题.例如设计剪纸、齿轮、汽车轮毂等就是通过等分圆而得到的，如图.
新知讲解 观察图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？如果是轴对称图形，画出其对称轴；如果是中心对称图形，找出其对称中心.做一做ABC等边三角形ABCD正方形ABCDE正五边形EABCDF正六边形
新知讲解ABC等边三角形ABCD正方形ABCDE正五边形EABCDF正六边形 这些正多边形都是轴对称图形。 其中的正方形、正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
新知讲解ABC等边三角形ABCD正方形ABCDE正五边形EABCDF正六边形正n边形的对称轴条数与边数n有什么关系？由于正多边形都有外接圆，因此利用圆的轴对称性可得：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心.
新知讲解ABC等边三角形ABCD正方形ABCDE正五边形EABCDF正六边形当n为奇数时，正n边形的n条对称轴都是顶点与中心的连线；当n为偶数时，有条对称轴都是顶点与中心的连线，有条对称轴是过中心与边垂直的直线 .
新知讲解当n为偶数时，正n边形为什么是中心对称图形？利用圆绕圆心旋转任意角度，所得图形都与自身重合这一性质可以得出：一个正n边形，绕它的中心旋转所得图形与这个正n边形重合，从而当n为偶数时，正n边形绕它的中心旋转=180°，所得图形与这个正n边形重合.因此正n边形(n为偶数)，也是中心对称图形，它的对称中心就是这个正n边形的中心.
巩固练习1. 已知正六边形的边长为2，则这个正六边形的外接圆的半径是（ ） A. B. C.D. 6 B
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� 提示：由正六边形和圆的对称性可知，正六边形的内切圆是同心圆，且正六边形的边既是内切圆的切线，也是外接圆的弦。因此可以用垂径定理解答.
2. (滨州中考)若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为 . 巩固练习答案：
巩固练习3. 下列既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. 等边三角形B. 平行四边形C. 正十二边形D. 正十三边形 C
巩固练习4. 已知一个正n边形的内角和等于720°，它的外接圆的半径6。(1)n= ，并直接写出正2n边形的内角是 度；(2)求正n边形的边长。解：(1)由(n-2)·180=720，解得n=6.∴ 正2n边形是正十二边形.∴ 内角和为(12-2)·180°=1800°.∴ 正2n边形的内角为1800÷12=150°.(2)正六边形的边长与它的外接圆半径相等，故边长是6.
课堂总结1. 什么叫作正多边形？各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形.2. 什么叫作圆内接正多边形和正多边形的外接圆？将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心.
n为偶数时，正形边n也是中心对称图形，它的对称中心就是这个正n边形的中心.4. 作圆内接正n边形有哪些步骤？①等分圆为n等分；②依次连接圆上各等分点.
课堂总结3. 正多边形有哪些性质？正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心.当
作业布置第85、86页课后练习第1、2题：1. 已知⊙O的半径为2cm，求作⊙O的内接正方形和内接正六边形.
作业布置2. 许多图案设计都和圆有关，观察下图，请利用等分圆的方法设计一副图案.
教学目标 1. 了解正多边形、圆的内接正多边形等概念； 2. 掌握用等分圆的方法作圆的内接正多边形； 3. 掌握内接正多边形的性质，并能用性质解答问题； 4. 培养作图能力，树立学习合作思想，养成合作习惯.
新知导入n边形的内角和等于(n-2)•180°，外角和等于360°.1. 正n边形的内角和定理及其推论是什么？圆内接四边形的对角互补.2. 圆内接四边形的内角有什么性质？ 那么利用圆可以作出怎样的多边形呢？利用圆的性质可以得出这些多边形的什么特殊性质呢？
新知讲解 每个多边形的各边都相等，各内角也相等. 如图2-57，这些多边形有什么共同特点？说一说
新知讲解我们把各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形.等边三角形也称正三角形。n边形的各边相等，各内角也相等，我们就说这个n边形是正n边形.除上面列举的正多边形外，还有正七边形、正八边形、正九边形、正十边形、正十一边形…….
新知讲解 如何作一个正多边形呢？动脑筋 由于在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，因此可以用量角器将圆心角n等分，从而使圆n等分，依次连接各等分点，可得到一个正n边形.
新知讲解 将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心.
新知讲解 已知⊙O的半径为r，求作⊙O的内接正六边形.做一做 因为正六边形的每条边所对的圆心角为60°，所以正六边形的边长与圆的半径相等。因此在半径为r的圆上依次截取等于半径r的弦，就可以将圆六等分.
新知讲解作法：(1)作圆的直径BE，分别以B，E为圆心，以r为半径作弧，与⊙O分别交于点A，C和F，D.BEACFDr
新知讲解BEACFDr(2)依次连接AB，BC，CD，DE，EF ，FA，则六边形ABCDEF就是所求作的⊙O的内接正六边形.
新知讲解例 如图，已知⊙O的半径为r，求作⊙O的内接正方形.分析：作两条互相垂直的直径，就可将⊙O分成四等分.
⊥(2)依次连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD就是所求作的⊙O的内接正四边形.
新知讲解ACDB作法：(1)作直径AC与BD，使ACBD.
新知讲解在生产设计中，人们经常会遇到等分圆的问题.例如设计剪纸、齿轮、汽车轮毂等就是通过等分圆而得到的，如图.
新知讲解 观察图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？如果是轴对称图形，画出其对称轴；如果是中心对称图形，找出其对称中心.做一做ABC等边三角形ABCD正方形ABCDE正五边形EABCDF正六边形
新知讲解ABC等边三角形ABCD正方形ABCDE正五边形EABCDF正六边形 这些正多边形都是轴对称图形。 其中的正方形、正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
新知讲解ABC等边三角形ABCD正方形ABCDE正五边形EABCDF正六边形正n边形的对称轴条数与边数n有什么关系？由于正多边形都有外接圆，因此利用圆的轴对称性可得：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心.
新知讲解ABC等边三角形ABCD正方形ABCDE正五边形EABCDF正六边形当n为奇数时，正n边形的n条对称轴都是顶点与中心的连线；当n为偶数时，有条对称轴都是顶点与中心的连线，有条对称轴是过中心与边垂直的直线 .
新知讲解当n为偶数时，正n边形为什么是中心对称图形？利用圆绕圆心旋转任意角度，所得图形都与自身重合这一性质可以得出：一个正n边形，绕它的中心旋转所得图形与这个正n边形重合，从而当n为偶数时，正n边形绕它的中心旋转=180°，所得图形与这个正n边形重合.因此正n边形(n为偶数)，也是中心对称图形，它的对称中心就是这个正n边形的中心.
巩固练习1. 已知正六边形的边长为2，则这个正六边形的外接圆的半径是（ ） A. B. C.D. 6 B
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2. (滨州中考)若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为 . 巩固练习答案：
巩固练习3. 下列既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. 等边三角形B. 平行四边形C. 正十二边形D. 正十三边形 C
巩固练习4. 已知一个正n边形的内角和等于720°，它的外接圆的半径6。(1)n= ，并直接写出正2n边形的内角是 度；(2)求正n边形的边长。解：(1)由(n-2)·180=720，解得n=6.∴ 正2n边形是正十二边形.∴ 内角和为(12-2)·180°=1800°.∴ 正2n边形的内角为1800÷12=150°.(2)正六边形的边长与它的外接圆半径相等，故边长是6.
课堂总结1. 什么叫作正多边形？各边相等，各内角也相等的多边形叫作正多边形.2. 什么叫作圆内接正多边形和正多边形的外接圆？将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心.
n为偶数时，正形边n也是中心对称图形，它的对称中心就是这个正n边形的中心.4. 作圆内接正n边形有哪些步骤？①等分圆为n等分；②依次连接圆上各等分点.
课堂总结3. 正多边形有哪些性质？正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心.当
作业布置第85、86页课后练习第1、2题：1. 已知⊙O的半径为2cm，求作⊙O的内接正方形和内接正六边形.
作业布置2. 许多图案设计都和圆有关，观察下图，请利用等分圆的方法设计一副图案.
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