√3,则a与b的夹角为(D　)A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6解析:设a与b的夹角为α(0≤a≤π),则a在向量b上的投影为|a|cos α=2cos α=-
3
√
√3,所以cos α=-
2,所以α=5π6.2.向量a=(1,2),b=(x,1).若(a+b)⊥(a-b),则x等于(　C　)A.-2 B.±
√2 C.±2 D.2解析:法一　a+b=(1+x,3),a-b=(1-x,1),因为(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=0,即(1+x)(1-x)+3=0,解得x=±2.法二　因为(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=0,所以a2-b2=0,所以|a|=|b|,所以x=±2.3.已知a,b是相互垂直的单位向量,与a,b共面的向量c满足a·c=成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 第3节　平面向量的数量积及平面向量的应用 [选题明细表] 知识点、方法题号平面向量数量积的运算6,8,9平面向量的模3,7,11,15平面向量的夹角与垂直1,2,13平面向量的应用4,5,10,12,141.已知|a|=2,向量a在向量b上的投影为-


√2 C.2 D.2=2解析:由题意知a,b是相互垂直的单位向量,不妨设a=(1,0),b√(0,1),设c=(x,y),由a·c=b·c=2,可得x=y=2,即c=(2,2),则|c|=
22=2
2+2B2.4.在四边形A√CD中,AB→=
√
→,且AC→·BD→=0,则四边形ABCD是(　B　)A.矩形 B.菱形C.直角梯形 D.等腰梯形解析:由AB→=
DC
→知四边形ABCD为平行四边形,又因为
DC
→·,=0,即▱ABCD的两条对角线互相垂直→所以四边形ABCD为菱形.5.(多选题)如图,点A,B在圆C上,则AB→·AC→的值(　BC　)A.与圆C的半径有关B.与圆C的半径无关C.与弦AB的长度有关D.与弦AB的长度无关成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
ACBD
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 b·c=2,则c的模为(　D　)A.1 B.


→
1
|AB|
→的值与圆C的半径无关,只与弦AB的长度有关.6.已知梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,且∠DAB=90°,AB=2,AD=1,若点Q满足AQ→=2
2
AC
→
|AC→=12|AB||2,故AB→·
→,则QC→·QD→等于(　D　)A.-109 B.109 C.-139 D.139解析:以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则B(2,0),C(1,1),D(0,1).又
QB
→=2QB→,所以Q(43,0),所以QC→=(-13,1),QD→=(-43,1),所以QC→·QD→=49+1=139.7.已知向量a,b均为单位向量,若它们的夹角是60°,则|a-3b|等于　　　 . 解析:|a-3b|=
AQ
22
√a+9b-6a·b=27.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群55√511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
√1+9-6×1×1×12=
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 解析:如图,连接AB,过C作CD⊥AB交AB于D,则D是AB的中点,故AB→·AC→=|AB→|·|AC→|·cos∠CAD=|AB→|·|AC→|·


√a8.(2022·全国甲卷)设向量7,b的夹角的余弦值为13,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=　 . 解析:(2a+b)·b=2a·b+b2=2|a|·|b|·cos+|b|2=2×1×3×
1
3+32=11.答案:119.在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则AB→·
→=　　. 解析:如图所示,由极化恒等式,易得AB→·AC→=AM→2-
AC
→
2=32-52=-16.答案:-1610.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O为坐标原点,动点P满足
BM
→=1→+(1+2λ)·OC→],λ∈R,则点P的轨迹一定经过(　C　)A.△ABC的内心B.△ABC的垂心C.△ABC的重心D.△ABC的外心解析:取AB的中点D(图略),成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
OPOB
3[(1-λ)OA→+(1-λ)
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→=1+(1+2λ)→OC→],所以
OPOB
3[(1-λ)OA→+(1-λ)
→+
→=
1
2(1-λ)
OD
OP
3[2(1-λ)OD→+(1+2λ)OC→]=
3
→,而2(1-λ)3+1+2λ3=1,所以P,C,D三点共线,所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心.11.已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是(　C　)A.1 B.2C.
1+2λ
OC
3
2
√
√2 D.
2解析:如图所示,设OA→⊥
→,记OA→=a,OB→=b,OC→=c,M为AB的中点,由极化恒等式有(a-c)·(b-c)=CA→·CB→=|CM→|2-|AB→|24=0,所以|CM→|2=
OB
→
2
→是有固定起点,固定模长的动向量.点C的轨迹是以AB为直径的圆,且点O也在此圆上,所以|c|的最大值为圆的直径长,即为
|AB|
MC
4=12,可知
√2.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
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→=2DC→,E为线段AD上一点,若△ABE与△ACD的面积相等,则BE→·AC→的值为(　D　)A.14 B.-
BD
1
4C.
33
4 D.-:解析4因为D在线段BC上,且
→=2DC→,所以S△ACD=12S△ABD,又E为线段AD上一点,因为△ABE与△ACD的面积相等,所以S△ABE=12S△ABD,E为AD的中点,如图建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(
BD
3
33
√
2,
2),D(2,0),C(3,0),E(74,
33
√
4), 所以BE→=(74,
→=(32,-
3333
√√
AC
4),E),所以B2→·AC→=
7
3√33√3
4×32-
4×4=-32.13.已知平面向量a=(
3,),则与3a夹角为45°的一个非零向量b的坐标可以为　　 　　.(写出满足条件的一个向量即可) 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
√√
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 12.(2023·山东济南模拟)如图,△ABC是边长为3的等边三角形,D在线段BC上,且


2
√
22·
3x+√√=3y√6·x+y
√
2,所以
2b=x+y,所以xy=0,且2为非零向量,因为x=1,y=0满足题意,所以b=(1,0).答案:(1,0)(答案不唯一,满足b=(x,y),xy=0,且x2+y2≠0的任意一个均可)14.如图所示,一个物体被两根轻质细绳拉住,且处于平衡状态,已知两条绳上的拉力分别是F1,F2,且F1,F2与水平线夹角均为45°,|F1|=|F2|=10
√x+y
√2 N,则物体的重力大小为　　　　 N. 解析:如图所示,因为|F1|=|F2|=10
√2 N,所以|F1+F2|=10
√2×√2=20 N,所以物体的重力大小为20 N.答案:2015.已知向量a,b,c满足|a|=4,|b|=2
√2,=π4,(c-a)·(c-b)=-1,则|c-a|的最大值为　　　　. 解析:设OA→=a,OB→=b,OC→=c,以OA所在的直线为x轴,O为坐标原点建立平面直角坐标系(图略),因为|a|=4,|b|=2
√2,a与b成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
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的最大值为2,所以|c-a|√√2+1.答案:
√2+1成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
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