§4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求　1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．知识梳理1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos α cos β ＋ sin α sin β；(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos α cos β － sin α sin β；(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin α cos β － cos α sin β；(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin α cos β ＋ cos α sin β；(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.2．辅助角公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.知识拓展两角和与差的公式的常用变形：(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．tan αtan β＝1－＝－1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　√　)(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．(　×　)(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　×　)(4)sin α＋cos α＝sin.(　×　)教材改编题1．若cos α＝－，α是第三象限角，则sin等于(　　)


A．－ B.C．－ D.答案　C解析　∵α是第三象限角，∴sin α＝－＝－，∴sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝－×＋×＝－.2．计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝ .答案　解析　原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝.3．若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝ .答案　解析　tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.题型一　两角和与差的三角函数公式例1　(1)(2022·包头模拟)已知cos α＋cos＝1，则cos等于(　　)A. B.C. D.答案　D解析　∵cos α＋cos＝1，∴cos α＋cos α＋sin α＝cos α＋sin α＝＝cos＝1，∴cos＝.(2)化简：①sin x＋cos x＝ .答案　2sin解析　sin x＋cos x＝2＝2sin.②sin＋cos＝ .答案　sin


解析　原式＝＝sin＝sin.教师备选1．(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin等于(　　)A. B. C. D.答案　B解析　因为sin θ＋sin＝sin＋sin＝sincos －cossin ＋sincos ＋cossin ＝2sincos ＝sin＝1.所以sin＝.2．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)A．－ B. C. D．－答案　A解析　∵α∈，∴cos α＝－，tan α＝－，又tan(π－β)＝，∴tan β＝－，∴tan(α－β)＝＝＝－.思维升华　两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．跟踪训练1　(1)函数y＝sin＋sin的最小值为(　　)A. B．－2C．－ D.答案　C解析　y＝sin＋sin＝sin 2xcos ＋cos 2xsin ＋sin 2xcos －cos 2xsin ＝sin 2x.∴y的最小值为－.(2)已知cos＝cos α，tan β＝，则tan(α＋β)＝ .答案　－解析　因为cos＝cos α－sin α＝cos α，所以－sin α＝cos α，故tan α＝－，所以tan(α＋β)＝＝＝＝－.题型二　两角和与差的三角函数公式的逆用与变形


例2　(1)(多选)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是(　　)A．cos(β－α)＝B．cos(β－α)＝C．β－α＝－D．β－α＝答案　AD解析　由题意知，sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，将两式分别平方后相加，得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)，∴cos(β－α)＝，即选项A正确，B错误；∵γ∈，∴sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，而α，β∈，∴0b>c B．b>a>cC．c>a>b D．a>c>b答案　D解析　由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b＝(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c＝＝＝cos239°－sin239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y＝sin x在x∈上单调递增，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，


所以a>c>b.(2)(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝ .答案　4解析　(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2，同理可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，所以原式＝4.题型三　角的变换问题例3　(1)已知α，β∈，若sin＝，cos＝，则sin(α－β)的值为(　　)A. B.C. D.答案　A解析　由题意可得α＋∈，β－∈，所以cos＝－，sin＝－，所以sin(α－β)＝－sin＝－×＋×＝.(2)(2022·青岛模拟)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝ ，tan α＝ .答案　－1　解析　∵tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝＝＝－1.tan α＝tan(α＋β－β)＝＝.教师备选(2022·华中师范大学第一附属中学月考)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解　(1)因为tan α＝，tan α＝，所以sin α＝cos α.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－.


(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝，所以tan 2α＝＝－，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.思维升华　常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等．跟踪训练3　(1)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝ .答案　解析　因为α，β均为锐角，所以－1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则α＋β＝


.答案　－解析　依题意有所以tan(α＋β)＝＝＝1.又所以tan α，所以α∈，所以2α∈，又β∈，所以2α－β∈，所以2α－β＝－.
＝＝≤，当且仅当tan y＝时等号成立，由于f(x)＝tan x在x∈上单调递增，又x，y∈，则x－y的最大值为.16.如图，在平面