§4.4　简单的三角恒等变换考试要求　能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．知识梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α：sin 2α＝2sin α cos α.(2)公式C2α：cos 2α＝cos 2 α － sin 2 α＝2cos 2 α － 1＝1 － 2sin 2 α.(3)公式T2α：tan 2α＝.2．常用的部分三角公式(1)1－cos α＝2sin2，1＋cos α＝2cos2.(升幂公式)(2)1±sin α＝2.(升幂公式)(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)tan ＝＝.(　√　)(2)设0，所以sin α＝＝＝.2．已知00，所以原式＝－cos θ.思维升华　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．跟踪训练1　(1)2＋等于(　　)A．2cos 2 B．2sin 2C．4sin 2＋2cos 2 D．2sin 2＋4cos 2答案　B解析　2＋＝2＋＝2＋＝2|sin 2＋cos 2|＋2|cos 2|.∵0，∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2.(2)化简等于(　　)A. B.C. D．2答案　B解析　原式＝＝＝＝＝.题型二　三角函数式的求值命题点1　给角求值例2　(1)sin 40°(tan 10°－)等于(　　)A．2 B．－2 C．1 D．－1答案　D解析　sin 40°·(tan 10°－)＝sin 40°·


＝sin 40°·＝sin 40°·＝sin 40°·＝sin 40°·＝sin 40°·＝＝＝－1.(2)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝ .答案　－解析　cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－＝－＝－＝－＝－＝－.命题点2　给值求值例3　(1)若cos＝，则cos等于(　　)A. B．－C. D．－答案　C解析　∵cos＝.∴cos＝sin＝sin＝，∴cos＝1－2sin2＝1－＝.(2)(2022·长春质检)已知sin＋cos α＝，则sin等于(　　)A. B. C．－ D．－答案　D解析　∵sin＋cos α＝，∴sin αcos －cos αsin ＋cos α＝，∴sin α－cos α＋cos α＝，∴sin α＋cos α＝，∴cos＝，∴sin＝sin＝cos 2＝2cos2－1


＝2×2－1＝－.命题点3　给值求角例4　已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝ ，2α－β＝ .答案　　解析　因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝.又因为α，β均为锐角，sin β＝，所以sin α＝，cos β＝，因此sin 2α＝2sin αcos α＝，所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝.因为α为锐角，所以00，所以00，θ∈，所以00，且α∈(0，π)，∴00，∴0－1，所以函数f(x)的
零点个＝y数为函数sin 2x(x>－1)与y＝|ln(x＋1)|(x>－1)图
象的交点的个数，作出两函数的图象如图，由图知，两函数图象有2个交
个零f(x)有2点，所以函数点．16.如
图，有一块为点O以圆心的半圆形空地这，在要空地块上划一出矩个内接形辟ABCD开
为绿地一，使其落边AD在半圆的直径上，另落点两B，C半在圆的圆半周上已．知圆半的
径 为20长m，如何选择的于点O对称的点A关，D置位，可使以矩的形ABCD面最大值是最大，积
多少？解　如
图，∠OB，设连接AOB＝θ，
两


矩形ABCD的面积为S，则S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.因为θ∈，所以
当sin 2θ＝1，即θ＝时，Smax＝400 m2.此时AO＝DO＝10 m.故当
的A，D到圆心O点距离为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.
则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈.因为A，D关于原点O对称，所以AD＝2OA＝40cos θ.设