圆的方程、直线与圆的位置关系【课程标准】1.掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系.3.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.【必备知识 精归纳】1.圆的定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合.2.圆的方程(1)标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心:( a , b ) ,半径:r.(2)一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0),圆心:
(-D2,-E2,成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ)群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
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√D2+E2-4F.点睛(1)圆的标准方程中,如果没给出r>0,则圆的半径应为|r|.(2)圆的一般方程中,当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点（-D2,-
E
2）;当D2+E2-4Fr2.(2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2.(3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)20 几何d>rd = r d 0)若点P(1,1)在圆C:x2+y2+x-y+k=0外,则实数k的取值范围是(
　　)A.(-2,+∞)B.[-2,-12)C.(-2,12)D.(-2,2)【解析】选C.由题意得
{1+1+1-1+k>0,1+1-4k>0,解得-20)“a>0”是“点(0,1)在圆x2+y2-2ax-2y+a+1=0外”的(
√√
√
　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.将x2+y2-2ax-2y+a+1=0化为标准方程,得(x-a)2+(y-1)2=a2-a.当点(0,1)在圆x2+y2-2ax-2y+a+1=0外时,有
2
a-a>0
{
a>,解得a>1.所以“a>0”0是“点(0,1)在圆x2+y2-2ax-2y+a+1=0外”的必要不充分条件.6.(结论3(1))过圆O:x2+y2=5上一点M(1,-2)作圆的切线l,则直线l的方程为________. 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 4.(结论1(4))已知直线l:y=x被圆C:(x-3)2+(y-1)2=r2(r>0)截得的弦长为2,则r=()A.


　直接求圆的方程[典例1](1)(多选题)已知圆C关于y轴对称,过点(1,0),且被x轴分成两段,弧长比为1∶2,则圆C的方程可能为(
　　)A.x2+(y+
4
√3
3B.x2+(y-
3)2=
4
3
√
3C.(x-
3)2=
4
√3)2+y2=
3D.(x+
4
3)2+y2=
√
3【解析】选AB.由已知得圆C的圆心在y轴上,且被x轴所截得的劣弧所对的圆心角为2π3.设圆心的坐标为(0,a),半径为r,则rsin π3=1,rcos π3=|a|,解得r=
233
√,33√即a=±√
3,即r2=43,|a|=.3成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 【解析】显然点M(1,-2)在圆x2+y2=5上,由结论3(1)知切线方程为x-2y=5.即x-2y-5=0.答案:x-2y-5=0题型一 求圆的方程角度1


4
33
√√
3.(2)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为____________. 【解析】方法一:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)则
-)2=43或x2+(y33)2=
D=-2,
E=0,
{F=0,1+1+D+E+F=0,4+2D解得+F=0,{
F=0方法二故圆的方程为x2+y2-2x=0.,:设O(0,0),A(1,1),B(2,0),则kOA=1,kAB=-1,所以kOA·kAB=-1,即OA⊥AB,所以△OAB是以∠A为直角的直角三角形,则线段BO是所求圆的直径,则圆心为(1,0),半径r=12|OB|=1,圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.答案:x2+y2-2x=0【方法提炼】
　求圆的方程的两种方法(1)几何法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.(2)待定系数法:①根据题意,选
择也可联系微信;成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468标准方程或一般方程fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 故圆C的方程为x2+(y+


列出方程解系数;③组,代入标准方程或一般方程.提
应解答圆的有关问题时,醒注充分意数形结合,运用圆的几何性质.【对点
训练心1.圆】为直线x-y+2=0与直线2x+y-8=0的交点,且过原点的圆的标准方程是________. 【解析】由
可得x-y+2=02x+y-8=0,{{x=2y=4,即圆心为(2,4),又
圆过原点,所以圆的半径r=
5,故圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=20.答案:(x-2)2+(y-4)2=202.已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+2x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是__________. 【解析】因
√(2-0)2+(4-0)2=2√
为方程a2x2+(a+2)y2+2x+8y+5a=0表示圆,所以a2=a+2≠0,解得a=-1或a=2.当a=-1时,方程x2+y2+2x+8y-5=0,即(x+1)2+(y+4)2=22,所求圆的圆心坐标为(-1,-4);当a=2时,方程4x2+4y2+2x+8y+10=0,成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
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23
40,所以直线l与圆相交.方法二:(几何法)由题意知,圆心(0,1)到直线l的距离d=|-m|
√:,故直线l与圆相交.方法三5易得直线l过定点(1,1).把
√m2+1|r|2则直线l与圆C相离,故B正确;若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以d=
a+b
√
2
r
23D.m5【分析】利
√7,进而可得|PM|=2
用圆的性质可得S=12|PA||MA|+12|PB||MB|=|PA|=
|2-3-m|
√2,结合题意可得,2√即得.【解析】选A.由圆M:(x-2)2+(y-3)2=1可知,圆心M(2,3),半径为1,所以|MA|=|MB|=1,所以四
220时,d=
2
k+1=+(-k)≤
√
√-k
2
2k
1-
1-
1
2
k+1=+,则0≤d0的
前提利下,用根与系数的关系,根据弦长公几何法.(2)式求弦长:若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长l=2
22.2.求过
√r-d
某成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信点的圆的切线的方法fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
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定点与圆的位置关系,再在.(2)若点求切线方程圆上(即为切点),则过
该点的切线只过一条;若点在圆有,则外该点的切线有两条,此时
注意斜率不存在的切线.【对点
训练.1】已知圆C过点(0,5),(6,-3),(-1,4),则直线x-y+2=0被圆C截得的弦长为(
　　)A.2
√15B.2√17C.2.19D.8【解析】选B√设圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0,故
25+5E+F=0,
45+6D-3E+F=0,
{
17-D+4E+F=0,解得
D=-6,
E=-2,
{
F=-15故圆C:,x2+y2-6x-2y-15=0即(x-3)2+(y-1)2=25.则圆心C(3,1)到直线x-y+2=0的距离d=|3-1+2|
√2,故所求弦长为2
√2=2
√25-8=2.17√2.若直线l:(m+2)x+(m-3)y+5=0(m∈R)与圆P:(x-1)2+(y+2)2=16相交于A,B两点,则|AB|的
最小值为()成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468　　也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
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√10B.22√2C.√3D.3+2)2【解析】选C.(m√x+(m-3)y+5=0,可化为(x+y)m+2x-3y+5=0,令
x+y=0,
{yx=-1,{=1.所以直线l恒
2x-3y+5=0,所以
过定点E(-1,1),所以当AB⊥PE时,|AB|最
22=2
16-13=2
r-|PE|√.3√3.(多选题)(2022·鞍山模拟)已知M为圆C:(x+1)2+y2=2上的动点,P为直线l:x-y+4=0上的动点,则
小,此时|AB|=2√
下列结论正确的是(　　)A.直线l与圆C相切B.直线l与圆C相离C.|PM|的
3√222√【解析】选BD.由圆C:(x+1)2+y2=2可知,圆心C(-1,0),半径r=
最大值为最小值为
2D.|PM|的
√2,因
|-1-0+4|
√22>r,所以直线l与圆C相离,A不
为圆心C(-1,0)到直线l:xy+4=0的距离d-=22=3
1+(-1)
√
正确,B正确;|PM|≥|PC|-r≥d-r=
√22,由题意知|PM|无最
大值,故C不,D正确正确.4.(2022·重庆模拟)在平面直角坐标系xOy中,过动点P作圆A:(x-1)2+(y-1)2=1的一条切线PQ,其
√2|PO|,则|PQ|的
中Q为切点,若|PQ|=最________. 大值为成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
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√2|PO|⇒|PA|2-1=2|PO|2,设P(x,y),则(x-1)2+(y-1)2-1=2(x2+y2),化简得(x+1)2+(y+1)2=3,故点P的
√为半径的圆,所以3|PO|的
轨迹是以C(-1,-1)为圆心、
22+
3,由|PQ|=
√3=√(-1-0)+(-1-0)√3=√2+√
最大值为|OC|+
√