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∥b的充要条件可以表示成＝.( × )(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( √ )教材改编题1．(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是( )A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
§5.2 平面向量基本定理及坐标表示考试要求 1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．知识梳理1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝( x1＋ x2， y1＋ y2)，a－b＝( x1－ x2， y1－ y2)，λa＝( λx1， λy1)，|a|＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝( x2－ x1， y2－ y1)，|AB|＝.4．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－ x2y1＝ 0.常用结论已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为；已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底．( × )(2)设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2,3)，e2＝答案 BD2．若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为( )A．(2,2) B．(3，－1)C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1)答案 A解析 设P(x，y)，由题意知P1P＝P1P2，∴(x－1，y－3)＝(4－1,0－3)＝(1，－1)，即∴3．已知向量a＝(x,1)，b＝(2，x－1)，若(2a－b)∥a，则x为________．答案 2或－1解析 2a－b＝(2x－2,3－x)，∵(2a－b)∥a，∴2x－2＝x(3－x)，即x2－x－2＝0，解得x＝2或x＝－1.题型一 平面向量基本定理的应用例1 (1)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB等于( )A.AB－AC B.AB－ACC.AB＋AC D.AB＋AC答案 A(2)如图，已知平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝2.若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝______.答案 6解析 方法一 如图，作平行四边形OB1CA1，则OC＝OB1＋OA1，因为OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.
在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC|＝2，所以|OB1|＝2，|B1C|＝4，所以|OA1|＝|B1C|＝4，所以OC＝4OA＋2OB，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二 以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1,0)，B，C(3，)．由OC＝λOA＋μOB，得解得所以λ＋μ＝6.教师备选1.(2022·山东省实验中学等四校联考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，设AB＝a，AC＝b，则向量AD等于( )A．a＋b B.a＋bC．a＋b D．a＋b答案 C解析 设圆的半径为r，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，所以∠BAC＝，∠ACB＝，又∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝，则根据圆的性质得BD＝AB，又因为在Rt△ABC中，AB＝AC＝r＝OD，所以四边形ABDO为菱形，所以AD＝AB＋AO＝a＋b.2.(2022·苏州质检)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接
CE，DF，交于点G.若CG＝λCD＋μCB(λ，μ∈R)，则＝________.答案 解析 由题图可设CG＝xCE(0
＝a＋b.∵OD＝a＋b，∴ON＝OC＋CD＝OD＋OD＝OD＝a＋b.∴MN＝ON－OM＝a＋b－a－b＝a－b.题型二 平面向量的坐标运算例2 (1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于( )A. B.C. D.答案 D解析 ∵a－2b＋3c＝0，∴c＝－(a－2b)．∵a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13,4)，∴c＝－(a－2b)＝.(2)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若CA＝λCE＋μDB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为( )A. B. C．2 D.答案 B解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0,0)．不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，∴C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0,1)，∴CA＝(－2,2)，CE＝(－2,1)，DB＝(1,2)，∵CA＝λCE＋μDB，∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，∴解得故λ＋μ＝.
教师备选已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC＝2AD，则顶点D的坐标为( )A. B.C．(3,2) D．(1,3)答案 A解析 设D(x，y)，则AD＝(x，y－2)，BC＝(4,3)，又BC＝2AD，所以解得所以顶点D的坐标为.思维升华 向量的坐标表示把点与数联系起来，引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体．跟踪训练2 (1)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则等于( )A．1 B．2C．3 D．4答案 D解析 以向量a和b的交点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，∴a＝AO＝(－1,1)，b＝OB＝(6,2)，c＝BC＝(－1，－3)，∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，则解得∴＝＝4.(2)在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则AQ＝________，BC＝________.
答案 (－3,2) (－6,21)解析 AQ＝PQ－PA＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，PC＝PA＋AC＝PA＋2AQ＝(4,3)＋2(－3,2)＝(－2,7)，BC＝3PC＝3(－2,7)＝(－6,21)．题型三 向量共线的坐标表示例3 (1)已知a＝(1,2＋sin x)，b＝(2，cos x)，c＝(－1,2)，若(a－b)∥c，则锐角x等于( )A．15° B．30°C．45° D．60°答案 C(2)已知在平面直角坐标系Oxy中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量OP3与向量a＝(1，－1)共线，若OP3＝λOP1＋(1－λ)OP2，则λ等于( )A．－3 B．3C．1 D．－1答案 D解析 设OP3＝(x，y)，则由OP3∥a知x＋y＝0，所以OP3＝(x，－x)．若OP3＝λOP1＋(1－λ)OP2，则(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)·(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.教师备选1．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.答案 解析 由题意得2a＋b＝(4,2)，因为c＝(1，λ)，c∥(2a＋b)，所以4λ－2＝0，解得λ＝.2．已知O为坐标原点，点A(6,3)，若点P在直线OA上，且|OP|＝|PA|，P是OB的中点，则点B的坐标为________________________．答案 (4,2)或(－12，－6)解析 ∵点P在直线OA上，∴OP∥PA，又∵|OP|＝|PA|，∴OP＝±PA，设点P(m，n)，
州模若向量)拟AB＝(2,3)，AC＝(4,7)，则BC等于( )
则OP＝(m，n)，PA＝(6－m,3－n)．①若OP＝PA，则(m，n)＝(6－m,3－n)，∴解得∴P(2,1)，∵P是OB的中点，∴B(4,2)．②若OP＝－PA，则(m，n)＝－(6－m,3－n)，∴解得∴P(－6，－3)，∵P是OB的中点，∴B(－12，－6)．综上所述，点B的坐标为(4,2)或(－12，－6)．思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．跟踪训练3 平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐标．解 (1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－.(2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝，∴解得或∴d的坐标为(3，－1)或(5,3)．课时精练1．(2022·泉
联考)已知A(－1,2)，B(2，－1)，若点C满足AC＋AB＝0，则点C的坐标为( )A. B．(－3,3)C．(3，－3) D．(－4,5)答案 D3．下列向量组中，
能表示它，( )A．a＝(1,2)们所在平面内所有向量的一个基底是b＝(0,0)B．a＝(1，－2)，b＝(3,5)C．a＝(3,2)，b＝(9,6)D．a＝，b＝(3，－2)答案 B4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m＝(a，b)，n＝(cos B，cos A)，则“m
∥n”是“△ABC是等腰三角形”的( )A．充分不
必要条件B．
必要不充分条件C．充要条件D．
既不充分也不必n答案 D解析 由m∥要条件，得bcos B－acos A＝0，即sin Bcos B＝sin Acos A，所以sin 2B＝sin 2A，所以2A＝2B或2A＋2B＝
§5.2 平面向量基本定理及坐标表示考试要求 1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．知识梳理1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝( x1＋ x2， y1＋ y2)，a－b＝( x1－ x2， y1－ y2)，λa＝( λx1， λy1)，|a|＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝( x2－ x1， y2－ y1)，|AB|＝.4．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－ x2y1＝ 0.常用结论已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为；已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底．( × )(2)设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2,3)，e2＝答案 BD2．若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为( )A．(2,2) B．(3，－1)C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1)答案 A解析 设P(x，y)，由题意知P1P＝P1P2，∴(x－1，y－3)＝(4－1,0－3)＝(1，－1)，即∴3．已知向量a＝(x,1)，b＝(2，x－1)，若(2a－b)∥a，则x为________．答案 2或－1解析 2a－b＝(2x－2,3－x)，∵(2a－b)∥a，∴2x－2＝x(3－x)，即x2－x－2＝0，解得x＝2或x＝－1.题型一 平面向量基本定理的应用例1 (1)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB等于( )A.AB－AC B.AB－ACC.AB＋AC D.AB＋AC答案 A(2)如图，已知平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝2.若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝______.答案 6解析 方法一 如图，作平行四边形OB1CA1，则OC＝OB1＋OA1，因为OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.
在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC|＝2，所以|OB1|＝2，|B1C|＝4，所以|OA1|＝|B1C|＝4，所以OC＝4OA＋2OB，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二 以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1,0)，B，C(3，)．由OC＝λOA＋μOB，得解得所以λ＋μ＝6.教师备选1.(2022·山东省实验中学等四校联考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，设AB＝a，AC＝b，则向量AD等于( )A．a＋b B.a＋bC．a＋b D．a＋b答案 C解析 设圆的半径为r，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，所以∠BAC＝，∠ACB＝，又∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝，则根据圆的性质得BD＝AB，又因为在Rt△ABC中，AB＝AC＝r＝OD，所以四边形ABDO为菱形，所以AD＝AB＋AO＝a＋b.2.(2022·苏州质检)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接
CE，DF，交于点G.若CG＝λCD＋μCB(λ，μ∈R)，则＝________.答案 解析 由题图可设CG＝xCE(0
＝a＋b.∵OD＝a＋b，∴ON＝OC＋CD＝OD＋OD＝OD＝a＋b.∴MN＝ON－OM＝a＋b－a－b＝a－b.题型二 平面向量的坐标运算例2 (1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于( )A. B.C. D.答案 D解析 ∵a－2b＋3c＝0，∴c＝－(a－2b)．∵a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13,4)，∴c＝－(a－2b)＝.(2)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若CA＝λCE＋μDB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为( )A. B. C．2 D.答案 B解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0,0)．不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，∴C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0,1)，∴CA＝(－2,2)，CE＝(－2,1)，DB＝(1,2)，∵CA＝λCE＋μDB，∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，∴解得故λ＋μ＝.
教师备选已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC＝2AD，则顶点D的坐标为( )A. B.C．(3,2) D．(1,3)答案 A解析 设D(x，y)，则AD＝(x，y－2)，BC＝(4,3)，又BC＝2AD，所以解得所以顶点D的坐标为.思维升华 向量的坐标表示把点与数联系起来，引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体．跟踪训练2 (1)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则等于( )A．1 B．2C．3 D．4答案 D解析 以向量a和b的交点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，∴a＝AO＝(－1,1)，b＝OB＝(6,2)，c＝BC＝(－1，－3)，∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，则解得∴＝＝4.(2)在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则AQ＝________，BC＝________.
答案 (－3,2) (－6,21)解析 AQ＝PQ－PA＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，PC＝PA＋AC＝PA＋2AQ＝(4,3)＋2(－3,2)＝(－2,7)，BC＝3PC＝3(－2,7)＝(－6,21)．题型三 向量共线的坐标表示例3 (1)已知a＝(1,2＋sin x)，b＝(2，cos x)，c＝(－1,2)，若(a－b)∥c，则锐角x等于( )A．15° B．30°C．45° D．60°答案 C(2)已知在平面直角坐标系Oxy中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量OP3与向量a＝(1，－1)共线，若OP3＝λOP1＋(1－λ)OP2，则λ等于( )A．－3 B．3C．1 D．－1答案 D解析 设OP3＝(x，y)，则由OP3∥a知x＋y＝0，所以OP3＝(x，－x)．若OP3＝λOP1＋(1－λ)OP2，则(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)·(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.教师备选1．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.答案 解析 由题意得2a＋b＝(4,2)，因为c＝(1，λ)，c∥(2a＋b)，所以4λ－2＝0，解得λ＝.2．已知O为坐标原点，点A(6,3)，若点P在直线OA上，且|OP|＝|PA|，P是OB的中点，则点B的坐标为________________________．答案 (4,2)或(－12，－6)解析 ∵点P在直线OA上，∴OP∥PA，又∵|OP|＝|PA|，∴OP＝±PA，设点P(m，n)，
州模若向量)拟AB＝(2,3)，AC＝(4,7)，则BC等于( )
则OP＝(m，n)，PA＝(6－m,3－n)．①若OP＝PA，则(m，n)＝(6－m,3－n)，∴解得∴P(2,1)，∵P是OB的中点，∴B(4,2)．②若OP＝－PA，则(m，n)＝－(6－m,3－n)，∴解得∴P(－6，－3)，∵P是OB的中点，∴B(－12，－6)．综上所述，点B的坐标为(4,2)或(－12，－6)．思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．跟踪训练3 平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐标．解 (1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－.(2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝，∴解得或∴d的坐标为(3，－1)或(5,3)．课时精练1．(2022·泉
联考)已知A(－1,2)，B(2，－1)，若点C满足AC＋AB＝0，则点C的坐标为( )A. B．(－3,3)C．(3，－3) D．(－4,5)答案 D3．下列向量组中，
能表示它，( )A．a＝(1,2)们所在平面内所有向量的一个基底是b＝(0,0)B．a＝(1，－2)，b＝(3,5)C．a＝(3,2)，b＝(9,6)D．a＝，b＝(3，－2)答案 B4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m＝(a，b)，n＝(cos B，cos A)，则“m
∥n”是“△ABC是等腰三角形”的( )A．充分不
必要条件B．
必要不充分条件C．充要条件D．
既不充分也不必n答案 D解析 由m∥要条件，得bcos B－acos A＝0，即sin Bcos B＝sin Acos A，所以sin 2B＝sin 2A，所以2A＝2B或2A＋2B＝
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