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平面向量的概念及其线性运算【课程标准】1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.3.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义.4.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义.5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.【必备知识 精归纳】成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl, 滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。第六章 平面向量、复数第一节
|a平行向量(共线|向量)方向 相同或相反 的非零向量0与任意向量平行(共线)相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量一定是平行向量,平行向量不一定是相等向量相反向量长度相等且方向相反的向量若非零向量a ,b 互为相反向量,则a=-b 点睛
(1)向量不能比较大小;(2)表示平行向量(共线向量)的有向线段所在直线平行或重合.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 1.平面向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量;向量的大小称为向量的长度(模)向量由方向和长度确定,不受位置影响零向量长度为0的向量记作0,其方向是任意的单位向量长度等于1 个单位长度 的向量与非零向量a共线的单位向量为±a
三角形法则适用于任意两个非零向量求和,平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
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D )A.
B.2 C.3 D.4【解析】如图,在△OAC中,M为AC的中点,所以+=2,在△OBD中,M为BD的中点,所以+=2,所以+++=4.3.(正确应用向量加法的两个法则)如图,已知正方形ABCD的边长为1,=a,=b,=c,则|a+b+c|=
. 【解析】由已知得a+b=+==c,如图,延长AC至E,使||=||,则a+b+c==2,所以|a+b+c|=2
√2.答案:2
√2成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
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=, .【解析】由已知条件画图如下,由图形可知,=710,=-310.答案:710
-3105.(结论2)设|a|=8,|b|=12,则|a+b|的
最大值与最小值分别为 , . 【解析】当a,b共线同向时,|a+b|=|a|+|b|=8+12=20,当a,b共线反向时,|a+b|=||a|-|b||=4.当a,b不共线时,||a|-|b||0,n>0)”,若A,B,D三点共线,求2m+
1
最小值.【解析】因
n的
为=(m-1)a+b,=2na-b(m>0,n>0),A,B,D三点共线,所以存在实数λ,使得(m-1)a+b=λ(2na-b),所以
m-1=2nλ,
{
1=-λ所以m+2n=1,所以,2m+1n=2m+
14n
√4+4=8,当且
仅当
n(m+2n)=4nm+mn+4≥2=mmn,即m=12,n=14时
取等所以,号2m+
1
最小值为8.【方法提
n的
炼】——自主完善,老师55251成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群指导1468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
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用向量共线定理解题的(1)a∥b⇔策略a=λb(b≠0)是
断判量两个向共线的主要依据.注意待程系数定和方法思想的运用;(2)当两向量共线且有
公共点时,才能得出 点共线,即A三 , B , C 三点共线⇔,共线;(3)若a与b不共线且λa=μb,则λ = μ =0 ;(4)=λ+μ(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则λ + μ =1 .【对点
训练1.】(2023·潍坊
模)已知a拟,b是平面内两个不共线的向量,=a+λb,=μa+b,λ,μ∈R,则A,B,C三点共线的充要条件是(
C)A.λ -μ=1 B.λ+μ=2C.λμ=1 D.λμ=1【解析】A,B,C三点共线的充要条件是=m且m∈R,已知=a+λb,=μa+b,又
mμ=1
因λb=m,所以a+为=mμa+mb,即
{
λ=以,所mλμ=1.2.如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分
别群AB,AC所在直成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ交552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
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值为. 【解析】连接AO,则 =12(+)=m2+
n
为M,O,N三点共线,所以m2+
2,因
n
2=1,所以m+n=2.答案:2【加
练备选】1.(多
选题)已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d共线,则实数λ的值
为( AB)A. 1 B.-12 C.-1 D.12【解析】由于c与d共线,则存在实数k使c=kd,于是λa+b=k[a+(2λ-1)b],整
理得λa+b=ka+(2λk-k)b.由于a,b不共线,所以有
λ=k,
{
2λk-k=1,整
理得2λ2-λ-1=0,解得λ=1或λ=-12.2.已知点M是△ABC所在平面内的一点,若点M满足|λ--|=0且成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
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. 【解析】如图,设D为BC的中点,则+=2,因
为|λ--|=0,所以λ--=0,所以λ=+=2,于是A,M,D三点共线,且=2|λ|,又S△ABC=3S△ABM,所以S△ABMS△ABC=
1
3,又
S
21
△ABM
因△S为ABD=12S△ABC且S△ABMS△ABD==
|λ|,所以3=2·S
△=12×2|λ|ABD解得λ=±3.答案:±3【
思维导图·构网络】
课堂巩固,请使用 “核心素养测评 二十七”关闭 Word 文档返回原板块成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
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|a平行向量(共线|向量)方向 相同或相反 的非零向量0与任意向量平行(共线)相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量一定是平行向量,平行向量不一定是相等向量相反向量长度相等且方向相反的向量若非零向量a ,b 互为相反向量,则a=-b 点睛
(1)向量不能比较大小;(2)表示平行向量(共线向量)的有向线段所在直线平行或重合.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
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三角形法则适用于任意两个非零向量求和,平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
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D )A.
B.2 C.3 D.4【解析】如图,在△OAC中,M为AC的中点,所以+=2,在△OBD中,M为BD的中点,所以+=2,所以+++=4.3.(正确应用向量加法的两个法则)如图,已知正方形ABCD的边长为1,=a,=b,=c,则|a+b+c|=
. 【解析】由已知得a+b=+==c,如图,延长AC至E,使||=||,则a+b+c==2,所以|a+b+c|=2
√2.答案:2
√2成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
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=, .【解析】由已知条件画图如下,由图形可知,=710,=-310.答案:710
-3105.(结论2)设|a|=8,|b|=12,则|a+b|的
最大值与最小值分别为 , . 【解析】当a,b共线同向时,|a+b|=|a|+|b|=8+12=20,当a,b共线反向时,|a+b|=||a|-|b||=4.当a,b不共线时,||a|-|b||0,n>0)”,若A,B,D三点共线,求2m+
1
最小值.【解析】因
n的
为=(m-1)a+b,=2na-b(m>0,n>0),A,B,D三点共线,所以存在实数λ,使得(m-1)a+b=λ(2na-b),所以
m-1=2nλ,
{
1=-λ所以m+2n=1,所以,2m+1n=2m+
14n
√4+4=8,当且
仅当
n(m+2n)=4nm+mn+4≥2=mmn,即m=12,n=14时
取等所以,号2m+
1
最小值为8.【方法提
n的
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用向量共线定理解题的(1)a∥b⇔策略a=λb(b≠0)是
断判量两个向共线的主要依据.注意待程系数定和方法思想的运用;(2)当两向量共线且有
公共点时,才能得出 点共线,即A三 , B , C 三点共线⇔,共线;(3)若a与b不共线且λa=μb,则λ = μ =0 ;(4)=λ+μ(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则λ + μ =1 .【对点
训练1.】(2023·潍坊
模)已知a拟,b是平面内两个不共线的向量,=a+λb,=μa+b,λ,μ∈R,则A,B,C三点共线的充要条件是(
C)A.λ -μ=1 B.λ+μ=2C.λμ=1 D.λμ=1【解析】A,B,C三点共线的充要条件是=m且m∈R,已知=a+λb,=μa+b,又
mμ=1
因λb=m,所以a+为=mμa+mb,即
{
λ=以,所mλμ=1.2.如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分
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值为. 【解析】连接AO,则 =12(+)=m2+
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为M,O,N三点共线,所以m2+
2,因
n
2=1,所以m+n=2.答案:2【加
练备选】1.(多
选题)已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d共线,则实数λ的值
为( AB)A. 1 B.-12 C.-1 D.12【解析】由于c与d共线,则存在实数k使c=kd,于是λa+b=k[a+(2λ-1)b],整
理得λa+b=ka+(2λk-k)b.由于a,b不共线,所以有
λ=k,
{
2λk-k=1,整
理得2λ2-λ-1=0,解得λ=1或λ=-12.2.已知点M是△ABC所在平面内的一点,若点M满足|λ--|=0且成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
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. 【解析】如图,设D为BC的中点,则+=2,因
为|λ--|=0,所以λ--=0,所以λ=+=2,于是A,M,D三点共线,且=2|λ|,又S△ABC=3S△ABM,所以S△ABMS△ABC=
1
3,又
S
21
△ABM
因△S为ABD=12S△ABC且S△ABMS△ABD==
|λ|,所以3=2·S
△=12×2|λ|ABD解得λ=±3.答案:±3【
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