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y＝bx＋称为Y关于x的经验回归方程，其中(2)残差：观测值减去预测值，称为残差．4．列联表与独立性检验a(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：XY合计Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d(2)计算随机变量χ2＝，利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验．α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828常用结论1．经验回归直线过点(，)．
§9.3 成对数据的统计分析考试要求 1.了解样本相关系数的统计含义.2.理解一元线性回归模型和2×2列联表，会运用这些方法解决简单的实际问题.3.会利用统计软件进行数据分析．知识梳理1．变量的相关关系(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．(2)相关关系的分类：正相关和负相关．(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关．2．样本相关系数(1)r＝.(2)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r7.879>6.635，∴根据小概率值α＝0.010的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”，∴A错，C对，∵m＋36＝90,18＋n＝60，∴m＝54，n＝42，∴B对，D错.题型一 成对数据的相关性例1 (1)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图1，对变量u，
v负相关答案 C解析 由题图可得两组数据均线性相关，且图1的经验回归直线的斜率为负，图2的经验回归直线的斜率为正，则由散点图可判断变量x与y负相关，u与
v正相关．(2)(多选)下列有关经验回归分析的说法中正确的有( )A．经验回归直线必过点(，)B．经验回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线C．当样本相关系数r>0时，两个变量正相关D．如果两个变量的相关性越弱，则|r|就越接近于0答案 ACD解析 对于A，经验回归直线必过点(，)，故A正确；对于B，经验回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，故B不正确；对于C，当样本相关系数r>0时，则两个变量正相关，故C正确；对于D，如果两个变量的相关性越弱，则|r|就越接近于0，故D正确．教师备选1．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不
全相)的散点图等中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上
，则这组样本数据的样本相关系数为( )A．－1 B．0 C. D．1答案 D解析 所有样本点均在
同一条斜率为正数的直线上下列选项中正确的是1.2．(多选)，则样本相关系数最大，为( )A．经验回归分析中，R2的值越大，说明残差平方和越小B．若一组观测数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)满足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1,2，…，n)，若ei恒
为0，则R2＝1C．经验回归分析是对
具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法D．
画残差图时，纵坐标为残差，横坐标答案 ABC解析 对于A一定是编号，经验回归分析中，R2的值越大，说明模型的拟合效果越好，则残差平方和越小，A对；对于B，若一组观测数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)满足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1,2，…，n)，若ei恒
为0，则R2＝1，B对；对于C，经验回归分析是对
具于C对；对有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，D，残差图中
坐标横，以是样本编可号也可以是身高数据，还可以是体重的估计值等，D错．思
维升华 判定两个变量相关性的方法(1)画
分点图：点的散左布从下角到右上角分两个，量正相关；点的变布从左上角到右下角，
D．变量x与y负相关，u与
b>0时，正相关；当0，r3>0，图(2)与图(4)是负相关，故r20时，正相关；当rR＝0.893.∴甲建
立的回归模型拟合效果更好．②由①知，
甲建立的回归模型拟合效果更.设20好．3x＋3.7≥100，解得0.3x＋3.7≥log2100＝2＋2log25，解得x≥9.7.∴科技投
入的费用至少要9.7百万元，下一年的收益才能达到1亿元．教师备选1．(2022·湖北九
师联盟联考)下表是关于某设备的使用年限x(单位：年)和所支出的维修费用y(单
位：万)元的统计表．x23456y3.44.25.15.56.8由
上归可得经验回表方程y＝0.81x＋a，若规定：维修费万y不超过1用0元，一旦万于10大
元时，该设备必须报废．据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为( )
科技投
格＝×(2，得＋3＋4＋5＋6)＝4，＝×(3.4＋4.2＋5.1＋5.5＋6.8)＝5，因
为经验回归直线恒5(，)，所以过点＝0.81×4＋
a，解得
a＝1.76，所以经验回归方程为
y＝0.81x＋1.76，由y≤10，得0.81x＋1.76≤10，解得x≤≈10.17，由于x∈N*，所以据
此模型预测，该设备使用年限的最大值约y10.2．用模型为＝cekx拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，
设z＝ln y，其变换后回归方程为到经验得z＝0.5x＋2，则c等
于( )A．0.5 B．e0.5 C．2 D．e2答案 D解析 因
为y＝cekx，两边l取对数得，n y＝ln(cekx)＝ln c＋ln ekx＝kx＋ln c，则z＝kx＋ln c，而z＝0.5x＋2，于是得ln c＝2，即c＝e2.思
维升华 求经验回归方程的训练跟踪步骤2 为实
施乡村振兴，科技兴农，某村建起了田园综合体，并从省城请来专家进行技术指导
．根据统计，该田园综合体西红柿亩产量的增加与y(量克)千某种用量体肥料每亩使液x(千克)之间的对
应x(数据如下．千克)24568y(千克)300400400400500(1)由
上加据可知，可用经验表数模型拟合y与x的关系，请计算样本相关系数r并回归以说明(若|r|>0.75，则线性相关程度
很高)；(2)求y，可用经验回归模型拟合关于x的经验回归方程，
并预测当液体肥料每亩使克量为用5千1时，西红柿亩产量的
增加量约为多少参考数据：千克？≈3.16.
A．7 B．8 C．9 D．10答案 D解析 由表
为|r|>0.75，所以可用经验回归模型拟合y与x的关系．(2)b＝＝＝30，a＝400－5×30＝250，所以经验回归方程为y＝30x＋250.当x＝15时，y＝30×15＋250＝700，即当
液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿亩产量的增加量约为700千克．题型
三(2例4 列联表与独立性检验021·全国甲卷
改编)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了
比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产件20了0产品，产品的质量情况统计如下表：一
级品二级品合计甲
机5150床0200乙
机212080200合计床70130400(1)甲
机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)依
据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否以此推断甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差
异？解 (1)根据题表中数据知，
甲机床生产的产品中一级品的频，0率是＝75.乙机床生产的产品中一
级品的频60.率是＝.(2)零假设
为H0：甲机床的产品质量与乙机床的产品质量无差异52×2列联表，可得χ2＝＝≈10.256＞6.63．根据＝x0.01.根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为
甲机床的产品质量与乙机
床的产品质量有差异教师备选．1．为了解
某大学的学生是否爱好体育锻炼在用简单随机，样方法抽校园内1查了调20位学生
，得到如下2×2列联表：男女合计爱
好ab73不
爱好c25合计74
解 (1)由已知数据可得＝＝5，＝＝400，所以(xi－)(yi－)＝(－3)×(－100)＋(－1)×0＋0×0＋1×0＋3×100＝600，＝＝2，＝＝100，所以样本相关系数r＝＝＝≈0.95.因
于( )A．7 B．8 C．9 D．10答案 C解析 根据题
意3c＝120－7，可得－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21，∴a－b－c＝52－21－22＝9.2．(多选)某医疗研究
构为了了解机免疫与苗射疫注的关系，进行一次据样调查，得到数抽如表1.免疫不
免疫合计注射疫苗101020未注射疫苗63440合计164460(表1)α0.100.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.828(表2)则下列说法中正确的是( )A．χ2≈8.35B．P(χ2≥6.635)≈0.001C．
依的独立性检验，我们认为据小概率值α＝0.01免疫与注射疫苗有关系D．
依0α＝据小概率值.001的独立性检验，我们认为免疫与注射疫苗答案 AC解析 由表中数据，得有关系χ2＝≈8.352≈8.35，所以A正确；因
为P(χ2≥6.635)≈0.01，所以B错误；χ2≈8.352>6.635＝x0.01，依
据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为免疫与注射疫苗C正确；χ2≈有关系，所以8.3526.63度无关．＝x0.01，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为
该市一天的空气质量与当
天SO2的浓度有关．课
时精1．如表是2练×2列联表，则表中的a，b的值分别为( )y1y2合计x1a835x2113445合计b4280
空气
校根据如表样本数据：)模拟x23456y42.5－0.5－2－3得到的经验回归方程为
y＝bx＋，则a( )A.
a>0，>b0 B.，>0ab0 Da0.3．
某种产品的广告费支x出与销售额y(单位：万)之间的关系如表：x24元568y3040605070y与x的经验回归方程为
，当＝6.5x＋17.5y广告支出6万 ( )A．－5元时，随机误差的残差为 B．－5.5C．－6 D．－6.5答案 D解析 由题
意预合经验回归方程的结测作用可得，当x＝6时，.＝6.5×6＋17y5＝56.5，则随机误差的残差为50－56.5＝－6.5.4．(2022·泉
州模拟)蟋蟀鸣叫大以说是可自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率每x(
分钟鸣叫的次��
§9.3 成对数据的统计分析考试要求 1.了解样本相关系数的统计含义.2.理解一元线性回归模型和2×2列联表，会运用这些方法解决简单的实际问题.3.会利用统计软件进行数据分析．知识梳理1．变量的相关关系(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．(2)相关关系的分类：正相关和负相关．(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关．2．样本相关系数(1)r＝.(2)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r7.879>6.635，∴根据小概率值α＝0.010的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”，∴A错，C对，∵m＋36＝90,18＋n＝60，∴m＝54，n＝42，∴B对，D错.题型一 成对数据的相关性例1 (1)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图1，对变量u，
v负相关答案 C解析 由题图可得两组数据均线性相关，且图1的经验回归直线的斜率为负，图2的经验回归直线的斜率为正，则由散点图可判断变量x与y负相关，u与
v正相关．(2)(多选)下列有关经验回归分析的说法中正确的有( )A．经验回归直线必过点(，)B．经验回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线C．当样本相关系数r>0时，两个变量正相关D．如果两个变量的相关性越弱，则|r|就越接近于0答案 ACD解析 对于A，经验回归直线必过点(，)，故A正确；对于B，经验回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，故B不正确；对于C，当样本相关系数r>0时，则两个变量正相关，故C正确；对于D，如果两个变量的相关性越弱，则|r|就越接近于0，故D正确．教师备选1．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不
全相)的散点图等中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上
，则这组样本数据的样本相关系数为( )A．－1 B．0 C. D．1答案 D解析 所有样本点均在
同一条斜率为正数的直线上下列选项中正确的是1.2．(多选)，则样本相关系数最大，为( )A．经验回归分析中，R2的值越大，说明残差平方和越小B．若一组观测数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)满足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1,2，…，n)，若ei恒
为0，则R2＝1C．经验回归分析是对
具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法D．
画残差图时，纵坐标为残差，横坐标答案 ABC解析 对于A一定是编号，经验回归分析中，R2的值越大，说明模型的拟合效果越好，则残差平方和越小，A对；对于B，若一组观测数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)满足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1,2，…，n)，若ei恒
为0，则R2＝1，B对；对于C，经验回归分析是对
具于C对；对有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，D，残差图中
坐标横，以是样本编可号也可以是身高数据，还可以是体重的估计值等，D错．思
维升华 判定两个变量相关性的方法(1)画
分点图：点的散左布从下角到右上角分两个，量正相关；点的变布从左上角到右下角，
D．变量x与y负相关，u与
b>0时，正相关；当0，r3>0，图(2)与图(4)是负相关，故r20时，正相关；当rR＝0.893.∴甲建
立的回归模型拟合效果更好．②由①知，
甲建立的回归模型拟合效果更.设20好．3x＋3.7≥100，解得0.3x＋3.7≥log2100＝2＋2log25，解得x≥9.7.∴科技投
入的费用至少要9.7百万元，下一年的收益才能达到1亿元．教师备选1．(2022·湖北九
师联盟联考)下表是关于某设备的使用年限x(单位：年)和所支出的维修费用y(单
位：万)元的统计表．x23456y3.44.25.15.56.8由
上归可得经验回表方程y＝0.81x＋a，若规定：维修费万y不超过1用0元，一旦万于10大
元时，该设备必须报废．据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为( )
科技投
格＝×(2，得＋3＋4＋5＋6)＝4，＝×(3.4＋4.2＋5.1＋5.5＋6.8)＝5，因
为经验回归直线恒5(，)，所以过点＝0.81×4＋
a，解得
a＝1.76，所以经验回归方程为
y＝0.81x＋1.76，由y≤10，得0.81x＋1.76≤10，解得x≤≈10.17，由于x∈N*，所以据
此模型预测，该设备使用年限的最大值约y10.2．用模型为＝cekx拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，
设z＝ln y，其变换后回归方程为到经验得z＝0.5x＋2，则c等
于( )A．0.5 B．e0.5 C．2 D．e2答案 D解析 因
为y＝cekx，两边l取对数得，n y＝ln(cekx)＝ln c＋ln ekx＝kx＋ln c，则z＝kx＋ln c，而z＝0.5x＋2，于是得ln c＝2，即c＝e2.思
维升华 求经验回归方程的训练跟踪步骤2 为实
施乡村振兴，科技兴农，某村建起了田园综合体，并从省城请来专家进行技术指导
．根据统计，该田园综合体西红柿亩产量的增加与y(量克)千某种用量体肥料每亩使液x(千克)之间的对
应x(数据如下．千克)24568y(千克)300400400400500(1)由
上加据可知，可用经验表数模型拟合y与x的关系，请计算样本相关系数r并回归以说明(若|r|>0.75，则线性相关程度
很高)；(2)求y，可用经验回归模型拟合关于x的经验回归方程，
并预测当液体肥料每亩使克量为用5千1时，西红柿亩产量的
增加量约为多少参考数据：千克？≈3.16.
A．7 B．8 C．9 D．10答案 D解析 由表
为|r|>0.75，所以可用经验回归模型拟合y与x的关系．(2)b＝＝＝30，a＝400－5×30＝250，所以经验回归方程为y＝30x＋250.当x＝15时，y＝30×15＋250＝700，即当
液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿亩产量的增加量约为700千克．题型
三(2例4 列联表与独立性检验021·全国甲卷
改编)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了
比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产件20了0产品，产品的质量情况统计如下表：一
级品二级品合计甲
机5150床0200乙
机212080200合计床70130400(1)甲
机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)依
据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否以此推断甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差
异？解 (1)根据题表中数据知，
甲机床生产的产品中一级品的频，0率是＝75.乙机床生产的产品中一
级品的频60.率是＝.(2)零假设
为H0：甲机床的产品质量与乙机床的产品质量无差异52×2列联表，可得χ2＝＝≈10.256＞6.63．根据＝x0.01.根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为
甲机床的产品质量与乙机
床的产品质量有差异教师备选．1．为了解
某大学的学生是否爱好体育锻炼在用简单随机，样方法抽校园内1查了调20位学生
，得到如下2×2列联表：男女合计爱
好ab73不
爱好c25合计74
解 (1)由已知数据可得＝＝5，＝＝400，所以(xi－)(yi－)＝(－3)×(－100)＋(－1)×0＋0×0＋1×0＋3×100＝600，＝＝2，＝＝100，所以样本相关系数r＝＝＝≈0.95.因
于( )A．7 B．8 C．9 D．10答案 C解析 根据题
意3c＝120－7，可得－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21，∴a－b－c＝52－21－22＝9.2．(多选)某医疗研究
构为了了解机免疫与苗射疫注的关系，进行一次据样调查，得到数抽如表1.免疫不
免疫合计注射疫苗101020未注射疫苗63440合计164460(表1)α0.100.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.828(表2)则下列说法中正确的是( )A．χ2≈8.35B．P(χ2≥6.635)≈0.001C．
依的独立性检验，我们认为据小概率值α＝0.01免疫与注射疫苗有关系D．
依0α＝据小概率值.001的独立性检验，我们认为免疫与注射疫苗答案 AC解析 由表中数据，得有关系χ2＝≈8.352≈8.35，所以A正确；因
为P(χ2≥6.635)≈0.01，所以B错误；χ2≈8.352>6.635＝x0.01，依
据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为免疫与注射疫苗C正确；χ2≈有关系，所以8.3526.63度无关．＝x0.01，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为
该市一天的空气质量与当
天SO2的浓度有关．课
时精1．如表是2练×2列联表，则表中的a，b的值分别为( )y1y2合计x1a835x2113445合计b4280
空气
校根据如表样本数据：)模拟x23456y42.5－0.5－2－3得到的经验回归方程为
y＝bx＋，则a( )A.
a>0，>b0 B.，>0ab0 Da0.3．
某种产品的广告费支x出与销售额y(单位：万)之间的关系如表：x24元568y3040605070y与x的经验回归方程为
，当＝6.5x＋17.5y广告支出6万 ( )A．－5元时，随机误差的残差为 B．－5.5C．－6 D．－6.5答案 D解析 由题
意预合经验回归方程的结测作用可得，当x＝6时，.＝6.5×6＋17y5＝56.5，则随机误差的残差为50－56.5＝－6.5.4．(2022·泉
州模拟)蟋蟀鸣叫大以说是可自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率每x(
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