高考数学专题六　平面向量6.2　平面向量的数量积及其应用成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期


基础篇考点　平面向量的数量积1.两个向量的夹角 


2.平面向量的数量积


��
�
ABCDAB
��
CDAB
11
�
AB
11
OM�ON�
�
OM
1
3.投影向量1)如图1,设a,b是两个非零向量, =a, =b,考虑如下的变换:过 的起点A和终点B,分别作 所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到 ,称上述变换为向量a向向量b投影, 叫做向量a在向量b上的投影向量. 图1 图22)如图2,在平面内任取一点O,作 =a, =b.过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则 就是向量a在向量b上的投影向量.4.向量数量积的性质设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则


ab�
||||ab
1)e·a=a·e=|a|cos θ.2)a⊥b⇔a·b=0.3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=|a|2.4)cos θ= .5)|a·b|≤|a|·|b|.5.已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则1)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件:a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.2)求夹角问题,利用夹角公式:


ab�xxyy+
1212
2222
||||ab
xyxy+�+
1122
�
2222
AB
aa�xy+)()(xxyy-+-
112121
cos= =  .3)求向量的模:|a|= = 或|AB|=| |= (其中A(x1,y1),B(x2,y2)).


aa�
22
baab+��+22xy2
综合篇考法一　求平面向量模的方法1.求向量模的方法1)|a|= ;2)|a±b|= ;3)若a=(x,y),则|a|= ;4)解向量所在三角形,转化为求三角形的边长;5)通过解方程(组)求解.2.求向量模的最值(范围)的方法1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解.2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.3)利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求模的取值范围.


3
4
��
2
-
��
2
��
242(422)ab+
2
例1 (2022广东湛江模考,4)已知单位向量a,b的夹角为 π,若向量m=2a,n=4a-λb且m⊥n,则|n|= (　    )A.2　    B.4　    C.8　    D.16解析　因为m⊥n,所以2a·(4a-λb)=0,即8a2-2λa·b=0,故4-λ· =0,解得λ=-4 ,故n=4a+4 b,故|n|2= =16a2+32 a·b+32b2=16,故|n|=4.故选B.答案    B


1
2
222
||ab-aabb+-�2111++3
3
例2 (2020课标Ⅰ理,14,5分)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=　　    .解析　由|a+b|=1,得|a+b|2=1,即a2+b2+2a·b=1,而|a|=|b|=1,故a·b=- ,|a-b|= = = = .答案         


22(1)(1)xy-+-
2
2
2
例3 (2021山东滨州二模,14)已知平面向量a,b,d是单位向量,且a·b=0,则|d-a-b|的最大值为　　　    .解析 因为a·b=0,所以a⊥b,建系如图所示,可设a=(1,0),b=(0,1),d=(x,y),因为|d|=1,所以d的终点为单位圆上任意一点,又d-a-b=(x-1,y-1),所以|d-a-b|= ,表示点(x,y)与点A(1,1)间的距离,由图可得,当(x,y)位于图中B点时,点B与点A间的距离最大,且为 +1,所以|d-a-b|的最大值为 +1.答案     +1


xxyy+
1212
2222
xyxy+�+
1122
∈3.转化成解三角形问题,利用正弦、余弦定理求解.
考法二　求平面向量夹角的方法1.定义法:当非零向量a,b是非坐标形式时,需求出a·b及|a|,|b|或得出它们之间的关系.2.坐标法:若已知非零向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2),则可直接利用公式cos= 求解,注意[0,π].


3
∴a|2+4|a|·|b|cos+4|b|2=5|a|2+4|a|2cos=3|a|2,cos=- ,又[0,π],∴∈∴a,b>= .答案     
223
p
例4 (2022河北邯郸三模,13)若向量a,b满足|a|=|b|,|a+2b|= |a|,则向量a,b的夹角为　　　    .解析　由|a+2b|= |a|得|a+2b|2=3|a|2,又|a|=|b|,|


��
AI�||||ABACABAC������������+PAPB
�
PC
���
PAPB
PC
��GC�
GAGB
������
PAPBPBPA
PCPC
考法三　平面向量数量积的综合应用1.用向量法解决平面几何问题的基本步骤1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;3)把运算结果转化成几何关系.2.三角形的四心与向量之间的关系在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.1)在 =λ 的条件下,存在λ使得I为△ABC的内心;a +b +c =0⇔P为△ABC的内心.2)| |=| |=| |⇔P为△ABC的外心.3) + + =0⇔G为△ABC的重心.4) · = · = · ⇔P为△ABC的垂心.


��
��||||ABACABAC��������+�����
BABC
AB
ACBC
��
||BA||BC
2
2||||ABACABAC��������+����
��
���
AB
AB
BCAC
�||ACAC�
||AB
����
∴∠A的平分线与BC垂直,则AB=AC.由 · =| |·| |·cos B,可得cos B= · = ,则∠B= ,
BABCBABC
��
ABBC2=∴∠Bp= ,C∠ .∴△ABC为等腰直角三角形.=案    DA∠答pp
��
2442
||BA||BC
例5 在△ABC中,向量 与 满足 · =0,且 · = ,则△ABC为 (　    )A.等边三角形　    B.直角三角形C.等腰非等边三角形　    D.等腰直角三角形解析　∵ · =0, , 分别为 , 方向上的单位向量,


��AO��
AB
AB
ACEC
AC
∵D为BC的中点,∴F为BE的中点,
例6 (2019江苏,12,5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若 · =6 · ,则 的值是　　　    .解析　解法一:过D作DF∥EC,交AB于F.


���AO�
111
,EF=EA,又DF∥EO∴∴AO= AD, =  ∴= ( + ).∴ · = ( + )· =  .
ADAB
AC
2AO�24
22
���������AO�
��
��
1121
1
��
∵ · =6 · ,
BABACABAAC+�-AB
ECACACAB-AC
��
��
33
434
��
��
2222
�����������
31
, · =  -  + · ∴∴ =3 ,| ∴|= | |,法 = .解∴二:由于题目中对∠BAC没有限制,所以不妨设∠BAC=90°,AB=c,AC=b,建立如图所示的平面直角坐标系.
ABABABABAB
ECACACACAC3AC
22
AB
3
AC
又BE=2EA,


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cbcccxy
������
0,,ECb,-
������
c
3223bb
������
3
c
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yx=,
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b
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+=1,
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c
b
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��,4,4bxcy�=����=�3
�
�AO��
,c2=3b2∴∴c= b,
bcbcbcc
��������
AB
,,ACEC,b,-
��������
4444443
��AO�������
∴ = .答案     
AB
33
AC
3
则E ,D ,C(b,0), = .易得lAD:y= x,lEC: + =1,联立得 解得 则O , = .由 · =6 · 得6 · =0,