第2节　直线的交点坐标与距离公式成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期


[课程标准要求] 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.


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1.两条直线的位置关系(1)两条直线的位置关系-1A1A2+B1B2=0b1≠b2b1=b2


(1)两条不重合的直线,斜率都不存在时,它们也平行.(2)涉及含参数的两条直线垂直时,不要忽略一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.(3)直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的一个法向量v=(A,B),一个方向向量a=(-B,A).


2.三种距离


(1)应用点到直线的距离公式时应将方程化为最简的一般形式;(2)当两点A(x1,y1),B(x2,y2)中x1=x2时,直线AB∥y轴,此时|AB|=|y1-y2|;y1=y2时,直线AB∥x轴,此时|AB|=|x1-x2|.点P(x0,y0)到直线x=a的距离是d=|x0-a|,点P(x0,y0)到直线y=b的距离是d=|y0-b|.


1.直线系方程(1)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).(2)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R).2.点关于特殊的直线的对称问题的结论:点的坐标对称直线对称点的坐标点P(x0,y0)y=x(y0,x0)y=-x(-y0,-x0)x+y+t=0(-t-y0,-t-x0)x-y+t=0(y0-t,x0+t)


1.若直线l1:x-2y=0与l2:2x-ay+3=0构成的方程组无解,则实数a的值为(　　)A.2 B.3 C.-2 D.4D解析:由题意知两直线平行,则1×(-a)-2×(-2)=0,得a=4.


D




解析:与直线x+y+1=0垂直的直线方程可设为y-x+t=0,将(0,3)代入可得t=-3,即x-y+3=0.与直线x+y+1=0平行的直线方程可设为x+y+λ=0(λ≠1),将(0,3)代入可得λ=-3,即x+y-3=0.答案:x-y+3=0　x+y-3=04.(选择性必修第一册P67T8改编)过点(0,3),且与直线x+y+1=0垂直的直线方程是　　　　　　　　　,平行的直线方程是　　　　　　　　　. 


解析:将P(2,1)分别代入直线l1:x+ay-4=0与l2:bx-y+5=0的方程可得a=2,b=-2.答案:2　-25.若直线l1:x+ay-4=0与直线l2:bx-y+5=0的交点坐标是P(2,1),则a=　　　　,b=　　　　　　. 


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两条直线的位置关系[例1] (1)直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,则m=　　 　　,若l1⊥l2,则m=　　 　　; 


(2)经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为　　　　　　　. 答案:(2)4x-3y+9=0


(1)根据含参数的直线方程判断两直线平行、垂直时,可以利用直线方程系数间的关系求解;(2)求过定点且与直线平行或垂直的直线方程可以利用平行、垂直直线系求解,也可以根据平行或垂直关系确定斜率后利用点斜式求解.


答案:(1)A


答案:(2)-1(2)已知直线l1:kx+y+3=0,l2:x+ky+3=0,且l1∥l2,则k的值为　　　　　. 


解析:(3)y=x与x+2y=3的交点为(1,1),三条直线相交于同一点,则mx+2y+5=0也过点(1,1),m+2+5=0,得m=-7.答案:(3)-7(3)若三条直线y=x,x+2y=3,mx+2y+5=0相交于同一点,则m的值为　　　　　. 


距离问题答案:(1)D


答案:(2)3x+4y-5=0或x=-1(2)过点A(-1,2),到原点的距离等于1的直线方程为　　　　　　　　　　. 


[典例迁移1] 将(1)变为:求到两平行直线3x+y-3=0和6x+my-1=0距离相等的直线的方程.


[典例迁移2] 将(1)变为:已知两直线3x+y-3=0和6x+2y-1=0,点P1(x1,y1),P2(x2,y2)分别在两条直线上运动,求(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值.


(1)求点到直线的距离时直线方程必须化为一般式方程;另外要注意求解一个点到过定点的直线的距离时,不要忘记过定点的直线斜率不存在的情况.(2)求两条平行直线之间的距离时,应先将直线方程化为对应系数相等的一般方程.


对称问题解析:(1)设所求对称直线上的点的坐标为(x,y),其关于点(-1,2)的对称点的坐标为(-2-x,4-y).由点(-2-x,4-y)在直线2x+3y-6=0上,所以2(-2-x)+3(4-y)-6=0,即2x+3y-2=0.故选D.答案:(1)D[例3](1)直线l:2x+3y-6=0关于点(-1,2)对称的直线方程是(　　)A.3x-2y-10=0B.3x-2y-23=0C.2x+3y-4=0D.2x+3y-2=0


(2)直线2x-4y-1=0关于x+y=0对称的直线方程为(　　)A.4x-2y-1=0B.4x-2y+1=0C.4x+2y+1=0D.4x+2y-1=0答案:(2)A


(3)已知直线l:x-y-1=0,l1:x-y+3=0,则直线l1关于直线l的对称直线l2的方程为　　　　 　　.答案:(3)x-y-5=0


(4)已知点A(1,3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2,1),则直线y=kx+b在y轴上的截距是　　　　. 


解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式,而解决轴对称问题,一般是转化为求对称点的问题,在求对称点时,关键是抓住两点:一是两对称点的连线与对称轴垂直;二是两对称点的中点在对称轴上,即抓住“垂直平分”,由“垂直”列出一个方程,由“平分”列出一个方程,联立求解.


解析:因为直线l1与l2关于原点对称,则只需将l1的方程中x改为-x,y改为-y,可得l2的方程是-x+2(-y)-3=0,即x+2y+3=0.故选A.[针对训练]1.已知直线l1与l2关于原点对称,若l1的方程是x+2y-3=0,则l2的方程是(　　)A.x+2y+3=0B.x-2y+3=0C.2x+y+3=0D.2x-y+3=0


2.已知点P(1,2)与直线l:x+y+1=0,则点P关于直线l的对称点坐标为(　　)A.(-3,-1)B.(2,4)C.(-3,-2)D.(2,-2)


3.一束光线从点M(5,3)射出,经x轴后反射后的光线经过点N(7,3),则反射光线所在的直线方程为(　　)A.y=3x-18B.y=-3x-12C.y=3x+12D.y=-3x+18




[例1] 已知直线l过Q(1,2),且点P(0,4)到直线l的距离为2,则这样的直线l的条数为(　　)A.0B.1C.2D.3


[例2] 已知坐标原点关于直线l1:x-y+1=0的对称点为A,设直线l2经过点A,则当点B(2,-1)到直线l2的距离最大时,直线l2的方程为(　　)A.2x+3y+5=0B.3x-2y+5=0C.3x+2y+5=0D.2x-3y+5=0








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