1.2.1任意角的三角函数


看书P13～14例1上方【目标导学】1.掌握任意角的三角函数定义2.根据定义理解三角函数的符号和定义域【主体自学】


P
　　 观察当　　　　　　　　时，　的终边在　轴上，此时终边上任一点　的横坐标　都等于0，所以　　　　无意义，除此之外，对于确定的角　，上面三个比值都是惟一确定的．把上面定义中三个比的前项、后项交换，那么得到另外三个定义．


y
kkΖ

2
y
tan
x
P
x

提问： 　　对于确定的角　，这三个比值的大小和　点在角　 的终边上的位置是否有关呢？


我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角 为自变量，以比值为函数值，定义了角　的正弦、余弦、正切、余切的三角函数，本节课我们研究当角　是一个任意角时，其三角函数的定义及其几何表示．

【新授】

角的范围已经推广，那么对任一角 是否也能像锐角一样定义其四种三角函数呢？




Px，y

22
22
r
rxyxy0
任意角的三角函数定义 设　是任意角，　的终边上任意一点　的坐标是　　　，当角　在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距离为　，则　　　　　　　　　　　　　．


y
y
sin
　．　　，即　　　②比值　叫做　的余弦，记作nis
r
r
x
x
　．　　cos定义：③比值　叫做　的正切，记作　　，即　
cos
r
r
y
y
tan
tan

x
x
①比值　叫做　的正弦，记作　　，即　　　　．


x
x
cot，则cot⑤　　　比值　叫做　的正割，记作　　　．

y
y
r
r
　．　　　sec⑥比值　叫做　的余割，记作　　，则
sec

x
x
r
r
csc
．函数csc　　我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种函数统称三角

y
y
④比值　叫做　的余切，记作　　，则　　　　．


三角函数是以实数为自变量的函数 角（其弧度数等于这个实数）三角函数值（实数）实数





P2，3
例1 已知角　的终边经过　　　　，求　的六个三角函数值．


P2，3
a0
P2a，3a
如何
a0
，　　　　a求　的六个三角函数值呢？若将　　　　改为　　　　0
提问：分　　　，　　　两种情形讨论．


3
三角2求下列各角的六个函数值

2
例2 （1） 　；（2）　　；（3）　　．


y2x

（2）角　的终边经过点　　　　　　　　，求　　　　　
sin
P4a，3aa0
cos
tancot　　，　　，　　，的值．
nis2kisn
的理由　　k ※（　　3）说明　　　　　　　．Ζ
课堂练习 （1）角　的终边在直线　　　上，求　的六个三角函数值．



．） P（1）若角　终边上有一点　　 下列函数值不存在的是（ 　，则 3，0
．cotxxycottanA．B．C．D
sincostan
k


xxR，x，kZ
xxR，x，x


2
2




xxR，xk，kZxxR，xk，kZ

2

（2）函数　　　　　　　的定义域是（ ）． A． 　 B． 　 C． 　 D．反馈训练


m3
42m
sincos
m5m5
．，则m（3）若　　　　　，　　　　　都有意义________
3
cos

Pa，8
5
．　　　　　则　a________
（4）若角　的终边过点　　　，且　　　　　，


本课小结 利用定义求三角函数值，首先要建立直角坐标系，角α顶点和始边要按既定的位置设置．角的三角函数定义式，其实是比例的化身，它的背后是相似形在支称着，不过这个定义具有一般性，如轴上角的三角函数，如果没有定义作为论据，欲求其函数值就不是很容易．


练一练书P17 1~3作 业书P23习题1.2 1、2


1.2.1任意角的三角函数 第二课时


目标导学1、掌握三角函数在各象限的符号；2、理解三角函数线的作法和意义；3、会对三角函数式进行简单的变形。自学指导看书 P15~17


sincscyxo
全为+yxo
cossecyxotancot
sin
csccossec


三角函数在各象限的符号
tancot
分类讨论（角位置）是三角函数求值过程中，使用频率非常高的一个数学思想，而分类标准往往是四个象限及四个坐标半轴． yxo+-+++++-----


求证：当且仅当不等式组 sinθ0


oo
sn(360)sincos(360)cosikk=�+=�+aaaa
oo9111cos2sin14703tan()4619314sin(1050)5tan6tan()34
tan(360)tancot(360)cotkk=�+=�+aaaa
pp
pp---oo练习：求值、、、、、、
终边相同的角的同名三角函数值相等。终边相同的角的同名三角函数值相等。


住了吗？度弧度0
0030045060000120901350150018002700360
53


23
0

2
362
4
2
634
1
1
3
22
sin
2333

01010
2
22
22
11
322
2333
cos

0101
1
22
222
3
33
tan
00看例4、5 0做练习4、5、6、7
11
3
3
cot
33
1010
3
你记


圆有关的有向线段，作出线，正弦余弦线，正切线． 三角函数的几何表示课
件
三角函数的一种几何表示　　利用单位


MPAT
MPATyxo 的终边

MP
OM
带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段
．由正弦、余弦、正切函数的定义有：
yy
sinyMP
r1
xx
cosxOM
r1
yMPAT
otanyx的终边TA
xOMOA
　　当角　的终边不在坐标轴上时，我们把　　，　都看成


MPAT
MPATyxo 的终边
条与单位圆有关的有向线段　　　　　　　　　叫做角　的正弦线、余弦线、正切线．
MP、OM、AT
　　这几
x
别变成一个点；
y　当角　的终边在　轴上时，弦线变成一个点，正切线不存在．yxo 的终边

　　当角　的终边在　轴上时，正弦线、正切线分


出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．

2
（1）　 ；（2）　　 ．
3
3
例3 作


做练习 P19作业：P24 T3、4、6、7



nsitan
※例4 求证：当　为锐角时，　　　　　　　．


向线段2、三角函数线、单位
圆yxo 的终边
MPAT三 角 函 数 线
MPATyxo 的终边
1、有