18.1.2　平行四边形的判定


【基础梳理】三角形的中位线1.定义:连接三角形两边_____的线段叫三角形的中位线.中点


2.三角形中位线定理三角形的中位线_____于三角形的第三边,并且等于_____________.平行第三边的一半


【自我诊断】(1)一个三角形只有一条中位线.　( )×


(2)如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,∠A=50°,∠ADE=60°,则∠C的度数为　( )A.50°B.60°C.70°D.80°C


(3)如图所示,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,连接DE,若BC=2,则DE=__.1


知识点一三角形的中位线定理【示范题1】如图,点O是△ABC内一点,连接OB,OC,并将AB,OB,OC,AC的中点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG.(1)求证:四边形DEFG是平行四边形.



(2)若M为EF的中点,OM=3,∠OBC和∠OCB互余,求DG的长度.


∥∥(2)先证∠BOC=90°,得EF=2OM,从而可求DG的长度.
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【思路点拨】(1)应用三角形的中位线定理证明DGBC,DG= BC,EFBC,EF= BC.


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∥∵E,F分别是OB,OC的中点,∴EFBC,EF= BC,∴DG=EF,DGEF,
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∥∥∴四边形DEFG是平行四边形.
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【自主解答】(1)∵D,G分别是AB,AC的中点,∴DGBC,DG= BC,


(2)∵∠OBC和∠OCB互余,∴∠OBC+∠OCB=90°,∴∠BOC=90°,∵M为EF的中点,OM=3,∴EF=2OM=6.由(1)有四边形DEFG是平行四边形,∴DG=EF=6.


【备选例题】已知:△ABC的中线BD,CE交于点O,F,G分别是OB,OC的中点.求证:四边形DEFG是平行四边形.


是ABC的中线,∴D是AC的中点,E是AB的中点,∴DEBC,DE= BC,
∥又∵F,G分别是OB,OC的中点,∴FG∥BC,FG= BC,∴DE∥FG,DE=FG,∴四边形DEFG是平行四边形.
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【证明】∵BD,CE△


三角形中位线定理及应用(1)定理:有两个含义,一个表示位置关系,一个表示数量关系.
【微点拨】“”“”


(2)应用:在三角形中已知两边的中点时,可考虑构造三角形的中位线,根据三角形的中位线定理计算或证明.应用这个定理时,有时需要平行关系,有时需要倍分关系,用哪个结论应根据具体情况,灵活使用.


知识点二三角形中位线定理的应用【示范题2】(2017·河北中考)如图,A,B两点被池塘隔开,不能直接测量其距离,于是,小明在岸边选一点C,连接CA,CB,分别延长到点M,N,使AM=AC,BN=BC,测得MN=200m,则A,B之间的距离为__________m.





【微点拨】三角形的中位线的实际应用　　三角形中位线的有关知识,常用来解决以测量距离为背景的题目,解题时常先把实际问题转化为数学问题,


再分两步走:一定(依照三角形中位线定义,确定哪条线段是三角形的中位线);二算(根据三角形中位线的性质定理,利用三角形的第三边是三角形中位线的2倍进行计算).


【纠错园】如图所示,在△ABC中,点D是AB边的中点,点E是AC边上一点,若DE=5cm,则BC的长　(　　)


A.等于5 cmB.等于10 cmC.等于15 cmD.无法确定