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16.216.2 二次根式的乘除 二次根式的乘除
a
a
=
b≥≥>>被开方数被开方数的商的算术平方根的商的算术平方根
b
【基础梳理】【基础梳理】1.1.二次根式的除法法则二次根式的除法法则字母字母表示表示_____(a___0,b__0)._____(a___0,b__0).语言语言叙述叙述两个算术平方根的商两个算术平方根的商,,等于它们等于它们___________________________________._________________.
a
a
=
b≥≥>>被除式的算术平方根被除式的算术平方根除式的算术平方根除式的算术平方根
b
2.2.商的算术平方根的性质商的算术平方根的性质字母字母表示表示______(a___0,b__0).______(a___0,b__0).语言语言叙述叙述商的算术平方根等于商的算术平方根等于______________________________________除以除以_________________._________________.
3.3.最简二次根式的定义最简二次根式的定义化简后的二次根式被开方数中不含化简后的二次根式被开方数中不含_____,_____,并且被开方并且被开方数中所有因数数中所有因数((或因式或因式))的幂的指数都的幂的指数都______,______,像这样的像这样的二次根式称为最简二次根式二次根式称为最简二次根式..分母分母小于小于22
2
a1+
28
2
6
10××CC
【自我诊断】【自我诊断】(1) (1) 是最简二次根式是最简二次根式.. ( )( )(2)(2)下列根式中不是最简二次根式的是 下列根式中不是最简二次根式的是 ( )( )A.A.B.B.C.C.D.D.
( )( )A.A.B.5B.5C.C.D.D.(4)(4)化简化简: _____.: _____.
102�=
5
10
5
2
2
5
5
=
6AA
36
(3)(3)计算计算: :
知识点一二次根式的除法法则【示范题【示范题11】计算】计算::
知识点一二次根式的除法法则
48125
（1.(2).）
325
36
11ab
.3)2.(4)a0,b0(-�>> （）
36
ab
aa
=
b
b
数及被开方数分别相除化简结果..【自主解答】【自主解答】(1)(1)方法一方法一: : 方法二方法二: : (2) (2)
数及被开方数分别相除化简结果→→
4848
===164;
3
3
48163�
===164.
33
1251125115
==�==·.255
25222
25
【思路点拨】应用二次根式的除法法则【思路点拨】应用二次根式的除法法则: : 把系把系→→
1111
�-�=-22
3636
7
=-=-�.614
3
3636
abab
252
===bb.aba
ab
ab
3624
abababb��
2
==abb.
abab
(3)(3) (4)(4)方法一方法一:∵a>0,b>0,:∵a>0,b>0,∴ ∴ 方法二方法二:∵a>0,b>0,:∵a>0,b>0,∴ ∴
【微点拨】【微点拨】能直接运用二次根式的除法的题目特点能直接运用二次根式的除法的题目特点(1)(1)被除数与除数中的被开方数的商是整数被除数与除数中的被开方数的商是整数..(2)(2)被除数与除数中的被开方数的商是分数但是完全被除数与除数中的被开方数的商是分数但是完全平方数平方数..
【特别提醒】二次根式的运算结果必须化为最简二【特别提醒】二次根式的运算结果必须化为最简二次根式次根式,,若含有分母则分母中不能含有二次根式若含有分母则分母中不能含有二次根式..
知识点二商的算术平方根性质的应用【示范题【示范题22】计算】计算: :
知识点二商的算术平方根性质的应用
7
（13.52)2..(）
9
16255x�
.3).4)(x0,y0)( （>>
2
81169y
aa
=
b
b
【思路点拨】先把小数或带分数化为分数或假分数的【思路点拨】先把小数或带分数化为分数或假分数的形式形式,,再利用商的算术平方根的性质再利用商的算术平方根的性质: : (a≥0,b>0)(a≥0,b>0)进行化简进行化简..
77214�
（3.5.1）===
2
222
725255
（2.2）===
993
9
162516254520���
（3.）===
8199
81
5x5x5x
（4.）==
2
2
169y13y
169y
【自主解答】【自主解答】
4
5.
9
2
64b
2
9a
449497
5.===
993
9
22
64b64b8b
==.
2
2
9a3a
9a
【备选例题】化简【备选例题】化简:(1):(1)(2) (a>0,b>0).(2) (a>0,b>0).【解析】【解析】(1) (1) (2) (2)
a
二次根式(a≥0,b>0)(a≥0,b>0)“”式化简两形的(1)(1)分数形式分数形式::当被开方数为分数形式时当被开方数为分数形式时,,利用利用 (a≥0,b>0)(a≥0,b>0)化简化简..(2)(2)小数或带分数形式小数或带分数形式::当被开方数为小数或带分数形当被开方数为小数或带分数形式时式时,,化为分数或假分数形式再利用化为分数或假分数形式再利用(1)(1)进行化简进行化简..
二次根式 化的简两形式“”
b
aa
=
b
b
【微点拨】【微点拨】
州有含中数方开被的式根次二知识点三最简二次根式【示范题【示范题33】】(2017·(2017·荆州中考荆该中考))下列根式是最简二次根下列根式是最简二次根式的是 式的是 (( ))A.A.B.B.C.C.D.D.【思路点拨】根据最简二次根式的定义逐一进行判断【思路点拨】根据最简二次根式的定义逐一进行判断..【自主解答】选【自主解答】选C.AC.A、该二次根式的被开方数中含有分、分 式根次二简最三点识知
1
3
0.3
20
3
母母,,不是最简二次根式不是最简二次根式,,故本选项错误故本选项错误;;BB、该二次根式的被开方数中含有小数、该二次根式的被开方数中含有小数,,不是最简不是最简二次根式二次根式,,故本选项错误故本选项错误;;CC、该二次根式符合最简二次根式的定义、该二次根式符合最简二次根式的定义,,故本选故本选项正确项正确;;DD、、20=220=222×5,×5,该二次根式的被开方数中含开得尽的该二次根式的被开方数中含开得尽的因数因数,,不是最简二次根式不是最简二次根式,,故本选项错误故本选项错误..
【微点拨】【微点拨】最简二次根式应满足的条件最简二次根式应满足的条件(1)(1)被开方数不含能开得尽方的因数或因式被开方数不含能开得尽方的因数或因式..(2)(2)被开方数中不含有分母被开方数中不含有分母..
1
32.��
2
【纠错园】【纠错园】 计算 计算: :
a
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【基础梳理】【基础梳理】1.1.二次根式的除法法则二次根式的除法法则字母字母表示表示_____(a___0,b__0)._____(a___0,b__0).语言语言叙述叙述两个算术平方根的商两个算术平方根的商,,等于它们等于它们___________________________________._________________.
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b≥≥>>被除式的算术平方根被除式的算术平方根除式的算术平方根除式的算术平方根
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2.2.商的算术平方根的性质商的算术平方根的性质字母字母表示表示______(a___0,b__0).______(a___0,b__0).语言语言叙述叙述商的算术平方根等于商的算术平方根等于______________________________________除以除以_________________._________________.
3.3.最简二次根式的定义最简二次根式的定义化简后的二次根式被开方数中不含化简后的二次根式被开方数中不含_____,_____,并且被开方并且被开方数中所有因数数中所有因数((或因式或因式))的幂的指数都的幂的指数都______,______,像这样的像这样的二次根式称为最简二次根式二次根式称为最简二次根式..分母分母小于小于22
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【自我诊断】【自我诊断】(1) (1) 是最简二次根式是最简二次根式.. ( )( )(2)(2)下列根式中不是最简二次根式的是 下列根式中不是最简二次根式的是 ( )( )A.A.B.B.C.C.D.D.
( )( )A.A.B.5B.5C.C.D.D.(4)(4)化简化简: _____.: _____.
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(3)(3)计算计算: :
知识点一二次根式的除法法则【示范题【示范题11】计算】计算::
知识点一二次根式的除法法则
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（1.(2).）
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数及被开方数分别相除化简结果..【自主解答】【自主解答】(1)(1)方法一方法一: : 方法二方法二: : (2) (2)
数及被开方数分别相除化简结果→→
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【思路点拨】应用二次根式的除法法则【思路点拨】应用二次根式的除法法则: : 把系把系→→
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(3)(3) (4)(4)方法一方法一:∵a>0,b>0,:∵a>0,b>0,∴ ∴ 方法二方法二:∵a>0,b>0,:∵a>0,b>0,∴ ∴
【微点拨】【微点拨】能直接运用二次根式的除法的题目特点能直接运用二次根式的除法的题目特点(1)(1)被除数与除数中的被开方数的商是整数被除数与除数中的被开方数的商是整数..(2)(2)被除数与除数中的被开方数的商是分数但是完全被除数与除数中的被开方数的商是分数但是完全平方数平方数..
【特别提醒】二次根式的运算结果必须化为最简二【特别提醒】二次根式的运算结果必须化为最简二次根式次根式,,若含有分母则分母中不能含有二次根式若含有分母则分母中不能含有二次根式..
知识点二商的算术平方根性质的应用【示范题【示范题22】计算】计算: :
知识点二商的算术平方根性质的应用
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【思路点拨】先把小数或带分数化为分数或假分数的【思路点拨】先把小数或带分数化为分数或假分数的形式形式,,再利用商的算术平方根的性质再利用商的算术平方根的性质: : (a≥0,b>0)(a≥0,b>0)进行化简进行化简..
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【自主解答】【自主解答】
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【备选例题】化简【备选例题】化简:(1):(1)(2) (a>0,b>0).(2) (a>0,b>0).【解析】【解析】(1) (1) (2) (2)
a
二次根式(a≥0,b>0)(a≥0,b>0)“”式化简两形的(1)(1)分数形式分数形式::当被开方数为分数形式时当被开方数为分数形式时,,利用利用 (a≥0,b>0)(a≥0,b>0)化简化简..(2)(2)小数或带分数形式小数或带分数形式::当被开方数为小数或带分数形当被开方数为小数或带分数形式时式时,,化为分数或假分数形式再利用化为分数或假分数形式再利用(1)(1)进行化简进行化简..
二次根式 化的简两形式“”
b
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b
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【微点拨】【微点拨】
州有含中数方开被的式根次二知识点三最简二次根式【示范题【示范题33】】(2017·(2017·荆州中考荆该中考))下列根式是最简二次根下列根式是最简二次根式的是 式的是 (( ))A.A.B.B.C.C.D.D.【思路点拨】根据最简二次根式的定义逐一进行判断【思路点拨】根据最简二次根式的定义逐一进行判断..【自主解答】选【自主解答】选C.AC.A、该二次根式的被开方数中含有分、分 式根次二简最三点识知
1
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母母,,不是最简二次根式不是最简二次根式,,故本选项错误故本选项错误;;BB、该二次根式的被开方数中含有小数、该二次根式的被开方数中含有小数,,不是最简不是最简二次根式二次根式,,故本选项错误故本选项错误;;CC、该二次根式符合最简二次根式的定义、该二次根式符合最简二次根式的定义,,故本选故本选项正确项正确;;DD、、20=220=222×5,×5,该二次根式的被开方数中含开得尽的该二次根式的被开方数中含开得尽的因数因数,,不是最简二次根式不是最简二次根式,,故本选项错误故本选项错误..
【微点拨】【微点拨】最简二次根式应满足的条件最简二次根式应满足的条件(1)(1)被开方数不含能开得尽方的因数或因式被开方数不含能开得尽方的因数或因式..(2)(2)被开方数中不含有分母被开方数中不含有分母..
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【纠错园】【纠错园】 计算 计算: :
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