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222
x）-=；（20161350xx-+=；（3）20xx数=.知识讲解通过化简后，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2，二次项系+也不是0的整式方程是一元二次方程.整式方程是指方程两边是关于未知数的整式的方程.典例剖析例1 判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，在题后的括号内打“√”；如果不是，在题后的括号内打“×”（x为未知数）(1)
22
xx=( )(2)
2
xx=( )(3)
2
x =( )(4)p
2
23xxy( =+ )(5)
22
mxx为因++=( )解析(1)043
222
xx或是=式方程，所以这个方程可化简为0=0整00x，的形式=而第 1 页
合作探究探究点1 一元二次方程的定义情景激疑下列方程有什么特点？（1）
22
xx=不是一元二次方程.(2)方程
22
xx=符合一元二次方程的定义，因此，方程xx=是一元二次方程.(3)方程
22
x=符合一元二次方程的定义，因此，方程px是一元二次方程=程.(4)因为方程中含两个未知数，所以此方程不是一元二次方程.(5)当m=0时，此方程中不存在二次项，所以此方程不一定是一元二次方程.答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×类题突破1 在方①p
222
x0=，②21，xxy+-=③0123xx+=，④xxa，-+=⑤052
11
2
=3的二次一元一个-++=中，一定是一元二次方程方程有( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个答案 C你能点拨 ①③⑦一定是一元二次方程.方法提示判断一个方程不是一元二次方程，不能只看形式，要先化简，再看是否符合一元二次方程的定义.探究点2 —元二次方程的一般形式 情景激疑通过变形，否把变成xx05
2
2
xxxy2)(+=，⑥
xx，++⑦21p
2
caaxbx页 ++=�的形式？这种形式有什么作用？第 20)0(
这两种形式都不符合一元二次方程的定义，因此，方程
2
caaxbx其中++=�.这种形式叫做一元二次方程的一般形式,0)0(
2
数；叫做二次项，a叫做二次项系axbx叫做一次项,
b叫做一次项系数；叫c做常数项.一次项数系b和常数项任可取c意实数，二次项系数
a是不等于0的实数，这是因为当a项=时，方程中就没有二次方， 所以，此方程就不是一元二次方程.典例剖析例2 写出一元二次程0
2
(21312系括号去 ，-+=+中的二次项 数、一次项系数及常数项.解析 要确定二 项系教、一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式，因为各项名称都是在方程为一般形式的前提下定义的.答案次 得xxx)()
22
xxxx为般形式+--=+,移的、合并同类项，得方程项一13422
2
3105xx-=.所以，方程的二次项系数是5，一次项系数是3,+常数项是一1.类题突破2 把方程
22
2433xx式=-化成一元二次方程的一般形+，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.答案 去括号,得
()()
22
912442436xxxx.+=-++移项、含并同类项，得第 3 页
知识讲解一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理,都能化成如下形式
2
536320xx3-=.其中二次项系数是5，一次项系数是+6,常数项是-32.点拨 将方程整理成
2
caaxbx方++=�将的形式，再确定二次项系数、一次项系数和常数项即可，注意每一项都包括它前面的符号.类题突破3 程00
()
2
(xxx，.出其中的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项写并答案 ++-+=化成 元二次方程的一般形式一去括号，得1212)()()
22
xxx移项、合并同类项，得.+++-=1412
2
2240xx+-=.其中二次项是
2
22，二次项系数是x,一次项是2x，一次项系数是2,常数项是一4.点拨 利用完全平方公式和平方差公式先把
2
xxx成=化++-+1221
()()()
2
caaxbx高 ++=�的形式，再确定各项及对应的系数.探究点3(频考点) 一元二次方程根的定义 情景激疑一元一次方程一定有解吗？若—定有，有几个？一元二次方程呢？知识讲解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是这个一元二次方程的解.又因只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.典例剖析第 4页0(0)
2
xxB. --=的根是( )A.122,3xx== 02
xx C== .12,xx -=D.=- 21,xx解析=-=当2,1
121212
x，原=-时方程左边1-；定义=+==右边，满足一元二次方程根的当2110
x原=时，方程左边2， =--==右边，满足一元二次方程根的定义所给的其他的解代入均不符合要求.故选项D正确.答案 D类题突破4 下列是方程2240
2
23110xx +=的根的是 + ( )A.
33
xx.C=-= ,3xx.D==- ,3
1212
xx. B== 3,1xx的 =-=答案 B点拨 根据一元二次方程根的定义，把选项中的值逐个代入方程，使方程左右两边相等的即为正确答案.类题突破5 若2,3
122212
2
cc程方�为关于x的一元二次)0
()
xbxc则++=的根，0cb 的值为 + ( )A.1 B.-1 C.2 D.-2答案 B点拨 因
2
c为关于x的一元二次方程xxbc把++=的根，所以0xc=代入方程得
2
ccbc++=，0ccbc+=-,又因
()()
cbcc所以++=,0c�，所以0bc +=-.探究点4 从实际问题中找等量关系，列一元二次方程 第 5页1
例3 下列是方程
清它问题的已和未知，以知及们之间的数量关系，找出并全面
表示问题的相等关系，设出朱析.典例剖知数，列出一元二次方程例1 某超市
今年的营业额为280万元，计划后年的营业额为350万元，求平均每年的
增长率.（列出方程化为一般形式，不解答）答案
2
2801350整理得+=.x
()
设平均每年的增长率为x,根据题意得
2
280560700xx=-+.点拨 今
到年后隔年间2年今问题所包含的相等关系，：为年的1营额×（业+年增平均
长率）2=后年的.营业额类题突破6 某
地区开展“科技下乡“活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人
其中第一次，2年培训了0万人次，设每年接受科技培训的人次的平均增长率，x都为根据题意列出的方程是________________________
.答案
2
2020120195+ +++=点拨 xx
()()
本题中的相等关系为：第一
年培训人数+第二年培训人数+第三年培训人9数=5万.第 6 页
情景激疑《九章算术》有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何?”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？你能列出方程解答吗?知识讲解在解决实际问题时，要全面、系统地审
2
2020120195重++++=.xx
()()
点难点重难
点1 一元二次方程概念的应用一元二次方程必须同时满足
三个等件:①整式方程,即条号两边都是整式，方程中如果有
分母，那么分母中无 2.例1 未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是 已知关于x的方程
2
m-1
mxmx程值必满++--=是一元二次方的，则m的值为__________m____.解析 因为方程是关于x的一元二次方程，所以_足0133
()
()
2
�m=-2,1
�
�
m+�30,
�
�所以
�
m=�3,
�
�
m�-3.
�
m0=.答案 3方法提示一元二次方程应满足：未知数的最高次数是2,二次项系数不等于3
�所以
.类题突破1 若
22
pqpxx .-+-=是关于x的一元二次方程，则A03
p = B.1p > C.0pD.� 0p为任意实数答案 C点拨 判断一个方程是一元二次方程要注意二次项系数不能为0.重难
点2 —元二次方程的一般形式的应用 一元二次方程的一般形式是第 7 页
列方程得
a�与0
一元二次方程有如下关系：
2
bxcaax=定��++一是一元二次方程.另外a，b，c的符号要00
弄正确，这是以后正确解方程的
基础.例2 —元二次方程
2
2
bcxax化成一般形式为=+++-011
()()
4310xx++=，•求(2a+b) 试 3c的值.解析 将原方程
行进从整理,而得到a于关、b、c的方程组， 求出a、b、c的值再代入求值.答案 原方程整理为
2
bcaxabxa.++++-=02
()
a=4,a=4,
��
��
\=+3,2bab=-5,
��
��
abc=+-.1c=-2.
�解得类�题突破2 当m=____________时，关于x的方程
2
m+1
mxx元方程，++-=是一次二次方程.答案 1点拨元 因为方程已是最简形式，要使这个方程是一 二则0131
()
m+�10,
�
�
2
m+=12.
�所以m=1。易错警
示这个问题
m，只注+�01
容易忽略二次项系数重二次项的未知数的次数是2.由一元二次方程的定义可知，当这两个
条件同时满足时，此方程才是一元二次方程.重难
点3 —元二次方程根的应用 第 8 页
条件
学习发现一：元一次方程有且只有一个实数解(根)，而一元二次方程有两个解(根),如：
2
xx记+-=的左右两边相等，所以x=2和x=-3都是这个方程的根.06
⑴因为x=2或x= —3都能使方程
x2=，2x-=次方.(2) —元二程3
1
作
2
2
x，+=，所以x+1=0，所以x= -101
()
xx+=+可化为210
规定
xx程==-，有两个相等的实数根.(3) 方1
12
记作
22
x数=-也是一元二次方程,因为在实1x=-的左右两边相等，所以这个方程没有实数根.但1
范围存在实数不x,使方程
是，它在复数范围内仍然(有两个解根)(进人高中
阶段就能学到，现在知道即可).综上
所述，一元二次方程若有解一定有两个解，但不一定有两个实数解.设12
2
axacbx成个等式++=�的两实数根，则下列两00()
元xx是一二次方程,
立 并可利用这两个等式求解未知量. 例3 ，关于x的一元二次方程
2
xaxa a-++-=的一个根为0，则实数a的值为 ( )A. -1 B. 0 C. 1 D. -1或1解析 先把x=0代入方程求出的值，101
()
然，把后根据二次项系数不能为0a=1舍题.答案 A类去突破3 已知x=1是一元二次方程
2
nxmx则++=的一个根，0
22
nmmn页++的值为________________.第 9 2
通过对一元二次方程的
mn=++，10，-\+=nm1
2222
方次二元一是=1x知已\+++=-=.类题突破4 �
x）-=；（20161350xx-+=；（3）20xx数=.知识讲解通过化简后，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2，二次项系+也不是0的整式方程是一元二次方程.整式方程是指方程两边是关于未知数的整式的方程.典例剖析例1 判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，在题后的括号内打“√”；如果不是，在题后的括号内打“×”（x为未知数）(1)
22
xx=( )(2)
2
xx=( )(3)
2
x =( )(4)p
2
23xxy( =+ )(5)
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mxx为因++=( )解析(1)043
222
xx或是=式方程，所以这个方程可化简为0=0整00x，的形式=而第 1 页
合作探究探究点1 一元二次方程的定义情景激疑下列方程有什么特点？（1）
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xx=不是一元二次方程.(2)方程
22
xx=符合一元二次方程的定义，因此，方程xx=是一元二次方程.(3)方程
22
x=符合一元二次方程的定义，因此，方程px是一元二次方程=程.(4)因为方程中含两个未知数，所以此方程不是一元二次方程.(5)当m=0时，此方程中不存在二次项，所以此方程不一定是一元二次方程.答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×类题突破1 在方①p
222
x0=，②21，xxy+-=③0123xx+=，④xxa，-+=⑤052
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=3的二次一元一个-++=中，一定是一元二次方程方程有( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个答案 C你能点拨 ①③⑦一定是一元二次方程.方法提示判断一个方程不是一元二次方程，不能只看形式，要先化简，再看是否符合一元二次方程的定义.探究点2 —元二次方程的一般形式 情景激疑通过变形，否把变成xx05
2
2
xxxy2)(+=，⑥
xx，++⑦21p
2
caaxbx页 ++=�的形式？这种形式有什么作用？第 20)0(
这两种形式都不符合一元二次方程的定义，因此，方程
2
caaxbx其中++=�.这种形式叫做一元二次方程的一般形式,0)0(
2
数；叫做二次项，a叫做二次项系axbx叫做一次项,
b叫做一次项系数；叫c做常数项.一次项数系b和常数项任可取c意实数，二次项系数
a是不等于0的实数，这是因为当a项=时，方程中就没有二次方， 所以，此方程就不是一元二次方程.典例剖析例2 写出一元二次程0
2
(21312系括号去 ，-+=+中的二次项 数、一次项系数及常数项.解析 要确定二 项系教、一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式，因为各项名称都是在方程为一般形式的前提下定义的.答案次 得xxx)()
22
xxxx为般形式+--=+,移的、合并同类项，得方程项一13422
2
3105xx-=.所以，方程的二次项系数是5，一次项系数是3,+常数项是一1.类题突破2 把方程
22
2433xx式=-化成一元二次方程的一般形+，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.答案 去括号,得
()()
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912442436xxxx.+=-++移项、含并同类项，得第 3 页
知识讲解一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理,都能化成如下形式
2
536320xx3-=.其中二次项系数是5，一次项系数是+6,常数项是-32.点拨 将方程整理成
2
caaxbx方++=�将的形式，再确定二次项系数、一次项系数和常数项即可，注意每一项都包括它前面的符号.类题突破3 程00
()
2
(xxx，.出其中的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项写并答案 ++-+=化成 元二次方程的一般形式一去括号，得1212)()()
22
xxx移项、合并同类项，得.+++-=1412
2
2240xx+-=.其中二次项是
2
22，二次项系数是x,一次项是2x，一次项系数是2,常数项是一4.点拨 利用完全平方公式和平方差公式先把
2
xxx成=化++-+1221
()()()
2
caaxbx高 ++=�的形式，再确定各项及对应的系数.探究点3(频考点) 一元二次方程根的定义 情景激疑一元一次方程一定有解吗？若—定有，有几个？一元二次方程呢？知识讲解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是这个一元二次方程的解.又因只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.典例剖析第 4页0(0)
2
xxB. --=的根是( )A.122,3xx== 02
xx C== .12,xx -=D.=- 21,xx解析=-=当2,1
121212
x，原=-时方程左边1-；定义=+==右边，满足一元二次方程根的当2110
x原=时，方程左边2， =--==右边，满足一元二次方程根的定义所给的其他的解代入均不符合要求.故选项D正确.答案 D类题突破4 下列是方程2240
2
23110xx +=的根的是 + ( )A.
33
xx.C=-= ,3xx.D==- ,3
1212
xx. B== 3,1xx的 =-=答案 B点拨 根据一元二次方程根的定义，把选项中的值逐个代入方程，使方程左右两边相等的即为正确答案.类题突破5 若2,3
122212
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cc程方�为关于x的一元二次)0
()
xbxc则++=的根，0cb 的值为 + ( )A.1 B.-1 C.2 D.-2答案 B点拨 因
2
c为关于x的一元二次方程xxbc把++=的根，所以0xc=代入方程得
2
ccbc++=，0ccbc+=-,又因
()()
cbcc所以++=,0c�，所以0bc +=-.探究点4 从实际问题中找等量关系，列一元二次方程 第 5页1
例3 下列是方程
清它问题的已和未知，以知及们之间的数量关系，找出并全面
表示问题的相等关系，设出朱析.典例剖知数，列出一元二次方程例1 某超市
今年的营业额为280万元，计划后年的营业额为350万元，求平均每年的
增长率.（列出方程化为一般形式，不解答）答案
2
2801350整理得+=.x
()
设平均每年的增长率为x,根据题意得
2
280560700xx=-+.点拨 今
到年后隔年间2年今问题所包含的相等关系，：为年的1营额×（业+年增平均
长率）2=后年的.营业额类题突破6 某
地区开展“科技下乡“活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人
其中第一次，2年培训了0万人次，设每年接受科技培训的人次的平均增长率，x都为根据题意列出的方程是________________________
.答案
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2020120195+ +++=点拨 xx
()()
本题中的相等关系为：第一
年培训人数+第二年培训人数+第三年培训人9数=5万.第 6 页
情景激疑《九章算术》有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何?”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？你能列出方程解答吗?知识讲解在解决实际问题时，要全面、系统地审
2
2020120195重++++=.xx
()()
点难点重难
点1 一元二次方程概念的应用一元二次方程必须同时满足
三个等件:①整式方程,即条号两边都是整式，方程中如果有
分母，那么分母中无 2.例1 未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是 已知关于x的方程
2
m-1
mxmx程值必满++--=是一元二次方的，则m的值为__________m____.解析 因为方程是关于x的一元二次方程，所以_足0133
()
()
2
�m=-2,1
�
�
m+�30,
�
�所以
�
m=�3,
�
�
m�-3.
�
m0=.答案 3方法提示一元二次方程应满足：未知数的最高次数是2,二次项系数不等于3
�所以
.类题突破1 若
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pqpxx .-+-=是关于x的一元二次方程，则A03
p = B.1p > C.0pD.� 0p为任意实数答案 C点拨 判断一个方程是一元二次方程要注意二次项系数不能为0.重难
点2 —元二次方程的一般形式的应用 一元二次方程的一般形式是第 7 页
列方程得
a�与0
一元二次方程有如下关系：
2
bxcaax=定��++一是一元二次方程.另外a，b，c的符号要00
弄正确，这是以后正确解方程的
基础.例2 —元二次方程
2
2
bcxax化成一般形式为=+++-011
()()
4310xx++=，•求(2a+b) 试 3c的值.解析 将原方程
行进从整理,而得到a于关、b、c的方程组， 求出a、b、c的值再代入求值.答案 原方程整理为
2
bcaxabxa.++++-=02
()
a=4,a=4,
��
��
\=+3,2bab=-5,
��
��
abc=+-.1c=-2.
�解得类�题突破2 当m=____________时，关于x的方程
2
m+1
mxx元方程，++-=是一次二次方程.答案 1点拨元 因为方程已是最简形式，要使这个方程是一 二则0131
()
m+�10,
�
�
2
m+=12.
�所以m=1。易错警
示这个问题
m，只注+�01
容易忽略二次项系数重二次项的未知数的次数是2.由一元二次方程的定义可知，当这两个
条件同时满足时，此方程才是一元二次方程.重难
点3 —元二次方程根的应用 第 8 页
条件
学习发现一：元一次方程有且只有一个实数解(根)，而一元二次方程有两个解(根),如：
2
xx记+-=的左右两边相等，所以x=2和x=-3都是这个方程的根.06
⑴因为x=2或x= —3都能使方程
x2=，2x-=次方.(2) —元二程3
1
作
2
2
x，+=，所以x+1=0，所以x= -101
()
xx+=+可化为210
规定
xx程==-，有两个相等的实数根.(3) 方1
12
记作
22
x数=-也是一元二次方程,因为在实1x=-的左右两边相等，所以这个方程没有实数根.但1
范围存在实数不x,使方程
是，它在复数范围内仍然(有两个解根)(进人高中
阶段就能学到，现在知道即可).综上
所述，一元二次方程若有解一定有两个解，但不一定有两个实数解.设12
2
axacbx成个等式++=�的两实数根，则下列两00()
元xx是一二次方程,
立 并可利用这两个等式求解未知量. 例3 ，关于x的一元二次方程
2
xaxa a-++-=的一个根为0，则实数a的值为 ( )A. -1 B. 0 C. 1 D. -1或1解析 先把x=0代入方程求出的值，101
()
然，把后根据二次项系数不能为0a=1舍题.答案 A类去突破3 已知x=1是一元二次方程
2
nxmx则++=的一个根，0
22
nmmn页++的值为________________.第 9 2
通过对一元二次方程的
mn=++，10，-\+=nm1
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方次二元一是=1x知已\+++=-=.类题突破4 �
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