[10（6−x）+x][10x+(6−x)]=1008.解得x1=2.x2=4.所以，当x=2时.6-x=4;当x=4时，6-x=2.故这个两位数是42或24.类题突破1一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9.如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27.求原来的两位数.答案：设原两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为(x2-9).∴10(x2-9)+x-10x-(x2-9)=27.解得x1=4.x2=-3(不符合题意，舍去)∴x2-9=7.∴原两位数为74.点拨： 等量关系为:原来的两位数-新两位数=27，把相关数值代入计算可得各位上的数字，根据两位数的表示方法求得两位数即可.第 1 页
合作探究探究点1 数字问题情景激疑一个两位数如何表示？三位数呢？你能得到什么规律呢？知识详解个位数为a，十位数为b，则这两位数表示为10b+a.注意：a，b必须都是正整数，a可为0.典例剖析例一：一个两位数、十位数字与个位数字之和是6.把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008.求这个两位数。解析：设个位数字为x，十位数字为y.则这个两位数表示为10y+x.答案：根据题意可知，


探究点2(高频考点)增长率问题情景激疑你知道关于增长率的公式吗?知识讲解增长率=增长数量原数量=100%增长数量原数量说明增长率、成功率、成活率、发芽率等等都是此类问题，典例剖析例2 某商场于第一年年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投人的资金相加所得的总资金作为下一年年初投入的资金继续进行经营.(1)如果第一年的年获利率为 P,那么第一年年终的总资金是多少万元? (用代数式来表示)(注:年获利率= 年利润年初投入资金×100%)(2)如果第二年的年获利率多10个百分点(即第年的年获利率是第一年的年获利率10%的和),第二年年终的总资金为66万元.求第一年的年获利率.解析：要分析出内部的数量关系，合理利用公式.答案：(1)第一年年终总资金=50(1+P)万元，(2)50(1+ P)(1+P+10%)=66，整理得:P2+2.1P-0.22=0,解得P=10%.或P=-2.2(不合题意，舍去).类题突破 2某种商品的进价为a元，商店将价格提高20%销售经过一段时间，又以九折的价格促销，这时这种商品的价格是A.a元 B.0.9a元第 2 页


坪，并请全校同学参，与计设现在有两位学生如设计各一种方案(了图)，根据两种设计的方案
列出方程，使和图(1)图(2)的草坪，总积均为540平方米面求图中分路的宽道
别是多少.知识讲解根据题
目画出几何图形据图形分析后列出方程解决第 3 页
C.1.12a元 D.1.08a元答案 D点拨 第一次定价为1.2a,再打九折，变为1.2×0.9a=1.08a.类题突破 3 某商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额比九月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到193. 6万元，求这两个月的平均增长率。答案： 设这两个月的平均增长率为x.依题得200×(1-20%)(1+x)2=193.6，即(1+ xr)2=1.21.解得x=-1±1.1.即x1=0.1,x2=-2.1(不合题意，舍去).答:这两个月的平均增长率为10%.点拨 本题主要考查增长率的问题，运用增长率的公式a(1+x)2=b即可解题，关键是弄清公式中各个字母的意义，结合题意确定a,b,n的值，本题中a的值容易误认为是200，而实际上，a的值应为200×(1-20%)，另外，解出方程后应结合题意合理地对两根进行取舍。探究点3(高频考点) 面积问题情景激疑某校为了美化校园，准备在一块长32米，宽20米的长方形场地上修筑若干条道路，余下部分作草


村计划建造如图的所示矩形蔬菜温室要求长，宽的比为2:1.与在温室内，内沿前侧
墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各的留保m宽1通道，当矩形温室的长与少时，各为多宽
疏菜种植区域288 m的面积是2?解析 本题
有多种解法，设的对象不同则所得一元二次方程不同，根据矩形的面积公式即可列
出方程求解.答案： 解法一:设
矩形温室则长为x m,的宽为2x m.根据题意,得(x-2)(2x-4)= 288.解这个方程，得x1=-10(不合题意，舍去),x2=14.所以x=14,2x=2×14= 28.答:当
矩形温室时，28 m,宽为14 的长为m蔬菜种植区域82的面积是8m2解法二：设
矩形温室x m,则宽为的长为12x m根据题意得(12x-2)（x-4)=288解这个方程，得x1=20(不合题意，舍去)，x2= 28.所以x-28，12x×28=14.答:当
矩形温室2的长为8 m,宽为14 m时，蔬菜种植区城的面积是288 m2.类题突破 4 如
图的在宽为，0m,长为32m2矩形地面上格宽同样宽的道路(图中阴影分部)，余下的部分种上草
坪，求使店坪为面积的540m2时道路的宽(部分参2数据:32考=1024，522=2704,482=2304)答案：解法一:由
题意转化为如设(1)，图道路宽为x m.根据题意列.方程为(20- x)(32- x)=540出整理,得x2-52x+100=0.解得x1=50(舍去),x2=2.第 4 页
典例剖析例3 某


题意转化为x(2)，设道路宽为图 m.根据题意,列
方程得20×32-(20+32)x+x2=540.整理,得x2-52x+ 100=0.解得x1=50(舍去),x2=2.答:道路宽为2 m.点拨本题可设道路宽为x米，利用平
移把不规则的图形变为规则图形,进而列方程求解探究点4折
叠问题情景激疑在折
叠纸片时，想一想，应注意些?什么知识讲解在折
叠问题中,要注意哪些量折叠前后变化了，哪些量没变化，些哪可以用“平移”思想剖典例。析例4 张大叔
从市场上买回一块矩形皮铁，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边1为 长m的正方形后，
剩下的部分刚好能围容一个成积为15m3的盖无长方体运下箱(如输图)，且此长方
体运输箱底面的长比宽多2 m现已知购买种这皮铁每平米方元需20钱，购回张大权同
这张矩形铁皮共花多少钱?解析： 求
购买铁皮所花的钱--需求铁皮需-的总面积-求出原矩形铁皮-的长和宽-需求出长方体
运输箱底m.设宽为x 面的长和宽，则长为(x+2) m,根据
已知条件“无盖长方体运输箱的体51积为 m3”,由长方体
的体积公式可列答出方程求解。案：设这种运
输箱的下底则x m.宽下底购为长x+2)m,张大叔（回这张矩形铁皮) 20(x+ 2)(x+4)元，据题意，得x(x+2用×1= 15.整理,得x2+2x-15=0.解得x1=3,x2=5 (不合题意，舍去).第 5 页
答：道路宽为2 m.解法二:由


张大叔购买这张矩形铁皮共花700元钱类题突破5 如下
图，已知矩张形纸片 ABCD,若把沿A△BE折痕BE向，解折上使点A恰好落
在CD边设，上此点是F且时这AE：ED=5:3.BE=❑矩的形长和宽各为多少?答案: AE: ED=5：3设AE=5x,ED=3x.由
√5，DF=4,这个
折叠的性质,得B≌△EA△EFB，∴AE= EF= 5x在Rt△DEF中,(5x)2-(3x)2=42，解得x1=1,x2=-1(不合题意，舍去)∴DE=3，AE=5,AD=8.在Rt△ABE中，AB=
❑22 =❑
BE−AE25125−√= 10.答:矩
√
形的长、宽分别和10是8.点拨
由折叠可知用△EAB≌△EFB,设AE=EF=5x，ED=3x,利勾股x理可求出定的值，从而求出
矩形的长与宽.重
点难点重难
点1 形积问题形积问题中的
常见类利用型:(1)勾股定理列一元二饮方程求三角形矩形的边(2;长)利用三角形、
矩形菱形、梯形和圆以面的，积及柱体体积公式立建等量关系列程元二次方一;(3)利用相
似三角关系对应比例形的列，比例式通过两内项之积等于两外项之积,得到一元二次方程.例1用一面
(墙墙的长度不，另三限)边用 58m长的篱笆围的成一个面积为20 m20矩形场求地,
矩形的长和宽.第 6 页
所以20(x+2)(x+4)=20×5×7=700（元).答：


垂直于墙的一边为x米，则邻边用为(58-2x长，利)矩形的面积公式列出方程并设.答案 解答
垂直于墙的 边x为米,得:x(58-2x)= 200. 解得:x1=25，或x2=4. ∴另一
边8米或50米.为 答:当
矩825米时，宽为形长为米;当矩05形长为米时，宽为4米.类题突破1 如
图在长为 ，10 cm,宽为8 cm的矩的形四个角上截去四个全使的得正方形，小等留的下
图形(图中阴影部分)面积是原矩求所形面积的0%,8截去小正方形的边长.答案 设小正方形的
边长为xcm由
题意，得80-4x2=80%×10×8.∴解得x1=2,x2=-2.经
检验x1=2符合题意，x2=-2不符合题意、舍去所以x=2.答:截
去的小正方形的边.2 cm长为点拨 等量关系为:矩
形面积-四个全等的小正方形面积一矩，形面积0%×8列方程即可求解.重难
降2 增长(点低)率问题列
一元二次方程解决增长(降时)率问题低，要理清原来数量、后来数量、增长率或降低
率，以及增长或降低的次数之间的数量关系，如果列出的方程是元 二次方程，那么应在原数的
基础上增长或降低如增长率 两次。:若原数是a,每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a(1+x); 第二次增长后为a(1+x)+a(l+x)x=a(1+x)(1+x)=a(1+x)2,即原数×(1+增长百分率)2=后来数. 同
理得降低原数:率问题的关系式×(1-降低)百分率2= 后来数.第 7 页
解析：设


万元2019年年初投资100工厂生产某种新产品，2019年年底投初的将获得的利润与年资之和作为2009年年初的投资,到2009年年
底，两年共元利润56万获已果2009年的年利润率比2019年的年利润率多10个百分点,求2009年的年利润率，解析 如知设2019年的年利润率为x，则2009年的年利润率为(x + 10%)，那么2019年年
底获利润为所100x万元，2009年年初的投资即为(100x＋100)万元，2009年年底
所获利润为(100x+100)(x+10%)万元，而两年共56获利润为万元，所以可列0，答案：设2019年的年利润率为x,则2009年的年利润率为（x+10%).根据题意,得100x+(100x+100)(x+10%)=56.整理,得5出方程x2 +105x-23=0.解得x1=20%，x2=一230% (不合题意，舍去)，所以x+10% =30%.答:2009年的年利润率