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24.3 正多边形和圆1.正八边形的中心角是( )A．45° B．135° C．360° D．1080°2．②已知正六边形的半径为r，则它的边长、边心距、面积分别为( )A.r，r，r2 B．r，，2r2C.r，r，r2 D．r，，r23．下列用尺规等分圆周的说法正确的有( )①在圆上依次截取等于半径的弦，就可以六等分圆；②作相互垂直的两条直径，就可以四等分圆；③按①的方法将圆六等分，六个等分点中三个不相邻的点三等分圆；④按②的方法将圆四等分，再平分四条弧，就可以八等分圆．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个4．一元硬币的直径约为24 mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大为( )A．12 mm B．12 mm C．6 mm D．6 mm5．[2019·南京] 已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为( )A．1 B. C．2 D．26．正方形ABCD与正八边形EFGHKLMN的边长相等，初始位置如图24－3－1所示，将正方形绕点F顺时针旋转使得BC与FG重合，再将正方形绕点G顺时针旋转使得CD与GH重合……按这样的方式将正方形ABCD旋转2019次后，正方形ABCD中与正八边形EFGHKLMN的边重合的边是( )图24－3－1A．AB B．BC C．CD D．DA7．如图24－3－2是一个正八边形，图中空白部分的面积等于20，则阴影部分的面积等于( )图24－3－2第 1 页
A．10 B．20 C．18 D．208．如图24－3－3，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接对角线AC，AD，则下列结论中错误的是( )图24－3－3A．BC∥AD B．∠BAE＝3∠CADC．△BAC≌△EAD D．AC＝2CD9.如图24－3－4是由7个全等的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，设定AB边如图所示，则使△ABC是直角三角形的格点有( )图24－3－4A．10个 B．8个 C．6个 D．4个10．2019·凉山州如图24－3－5，P，Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB，BC上的点，BP＝CQ，则∠POQ＝________°.图24－3－5 图24－3－611．B10[2019·连云港] 如图24－3－6，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝________°.12．如图24－3－7为一个半径为4 m的圆形场地，其中放有六个宽为1 m的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在场地边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为__________ m.图24－3－713．[2019·威海] 如图24－3－8，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为________．图24－3－814．佳佳对科技馆富有创意的科学方舟形象设计很有兴趣，他回家后将一正五边形纸片沿其对称轴对折(如图24－3－9①所示)，旋转放置，做成科学方舟模型(如图②所示)．图①中该正五边形的边心距OB为，图②中AC为科学方舟船头A到船底的距离，请你计算AC＋AB＝________．图24－3－915．如图24－3－10，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：第 2 页
甲：1.以点D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．2．连接AB，BC，AC.△ABC即为所求作的三角形．乙：1.作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点．2．连接AB，AC.△ABC即为所求作的三角形．对于甲、乙两人的作法，可判断( )图24－3－10A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对16．如图24－3－11，P是⊙O上的一点．(1)在⊙O上求作一点B，使PB是⊙O的内接正三角形的一边；(2)在BP上求作一点A，使PA是⊙O的内接正方形的一边；(3)连接OB，求∠AOB的度数；(4)求作⊙O的内接正十二边形．图24－3－1117.如图24－3－12，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.图24－3－12（1）求图①中∠MON的度数；（2）图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．答案详析1．A 2.D 3.A4．A [解析] 正六边形外接圆的直径等于正六边形边长的2倍．5．B [解析] 如图，由正六边形的性质知，它的内切圆的半径就是边心距(OC的长)．因为∠BOA＝()°＝60°，所以△AOB为等边三角形，所以OA＝OB＝AB＝2，AC＝1.由勾股定理，得内切圆的半径OC＝.第 3 页
述，使△ABC是直角三角形的格点有6＋4＝10(个)．故选A.10．72 [解析] 如图，连接OA，OB，OC.第 4 页
6．C[解析] 由题意可得正方形每旋转8次则回到原来的位置．∵2019÷8＝252……2，∴正方形ABCD旋转2019次后，CD与正八边形EFGHKLMN的边重合．7．B[解析] 如图，作出正方形ABCD.在△AEF中，设AE＝x，则AF＝x，EF＝x，正八边形的边长是x，则正方形的边长是(2＋)x.根据题意，得x·(2＋)x＝20，解得x2＝10(－1)，则阴影部分的面积是2＝20.8．D[解析] A项，∵五边形ABCDE为正五边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠BCD＝∠EDC＝∠E＝∠BAE＝∠B＝108°，∴∠ADE＝×(180°－108°)＝36°，∴∠ADC＝108°－36°＝72°，∴∠BCD＋∠ADC＝108°＋72°＝180°，∴BC∥AD，故本选项正确．B项，∵∠BAE＝108°，∠CAD＝×＝36°，∴∠BAE＝3∠CAD，故本选项正确．C项，∵AB＝BC＝AE＝DE，∠B＝∠E，∴△BAC≌△EAD，故本选项正确．D项，∵AB＋BC＞AC，∴2CD＞AC，故本选项错误．9．A[解析] 如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，即有6个直角三角形；AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形．综上所
点O作OC⊥BC于点C，交AD于点D.设长方形摊位的长是2x m．在Rt△OAD中，∠AOD＝30°，AD＝x m，则OD＝x m.在Rt△OBC中，OC＝.∵OC－OD＝CD＝1，∴＝x＋1，解得x＝(负值
已)，则舍去2x＝，∴长方形摊位的长为 m.13．2 [解析] 如图，连接AC，OE，OF，过
点O作OM⊥EF于点M.根据正方形的性质可得AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC是⊙O的直径，AC＝4 ，则OE＝OF＝2 ，再由OM⊥EF，可得EM＝MF.根据等边三角形的性质可得∠GEF＝60°.在Rt△OME中，OE＝2，∠OEM＝∠GEF＝30°，即可求得OM＝，∴EM＝，∴EF＝2 .第 5 页
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴∠AOB＝∠BOC＝72°.∵OA＝OB，OB＝OC，∴∠OBA＝∠OCB＝54°.在△OBP和△OCQ中，∴△OBP≌△OCQ，∴∠BOP＝∠COQ.∵∠POQ＝∠BOP＋∠BOQ，∴∠POQ＝∠COQ＋∠BOQ＝∠BOC＝72°.11．75[解析] 设该正十二边形的外心为O，如图，连接A10O和A3O.由题意知，∠A3OA10＝×5＝150°，∴∠A3A7A10＝75°.12．[解析] 设圆心是O，连接OA，OB，过
菱所，形以∠BOC＝120°，则∠BAC＝60°.因为四边形OBDC是
菱BC，所以AD⊥形，AD平分BC，所以AB＝AC，所以△ABC是等边三角形，所以他的作法是正确的．由乙的作法可知∠BOC＝120°，所以∠BAC＝60°.又
因为AD⊥BC，所以AD平分BC，所以AB＝AC，所以△ABC是等边三角形，所以他的作法是正确的．故选C.16．解：(1)如图①，以点P为圆心，OP长为半径
画再弧交⊙O于点M，圆以点M为圆心，OM长为半径
画O⊙圆弧交于点B，连接PB，则PB即为所求．(2)如图①，作直径PH，再
过连接心作直径PH的垂线交BP于点A，圆PA，则PA即为所求．(3)∵PA是⊙O的内接正方形的一边，∴∠AOP＝90°.∵PB是⊙O的内接正三角形的一边，∴∠BOP＝120°，∴∠AOB＝30°.(4)如图②，以点P为圆心，OP长为半径在⊙O上依次截取5个点，这5个点连
同个点P这6点是圆的六等分点，再作
各中点，顺次连接12个点弧的，得到⊙O的内接正十二边形．17．解：(1)方法一：连接OB，OC.∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°.第 6 页
14. [解析] 如图①，连接OF，OE.由题意，知AB⊥EF，则S正五边形AGFED＝5×S△OEF＝5×(EF·OB)＝2.5×EF＝5 BE.如图②，连接AE.S正五边形AGFED＝2×S四边形ABED＝2×(S△ABE＋S△ADE)＝2×(AB·BE＋DE·AC)＝AB·BE＋DE·AC＝AB·BE＋2·BE·AC＝BE·(AB＋2AC)，∴5 BE＝BE·(AB＋2AC)．∴AB＋2AC＝5 ，∴AC＋AB＝ .15．C [解析] 由甲的作法可知连接OB，BD，OC，CD后，OB＝BD＝OD＝OC＝CD，所以△BOD和△COD都是等边三角形，四边形OBDC是
又∵BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM＝∠CON，∴∠MON＝∠BOC＝120°.方法二：连接OA，OB.∵正三角形ABC内接于⊙O，∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°.∵BM＝CN，∴AM＝BN.又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON，∴∠AOM＝∠BON，∴∠MON＝∠AOB＝120°.(2)90° 72°(3)∠MON＝°.第 7 页
A．10 B．20 C．18 D．208．如图24－3－3，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接对角线AC，AD，则下列结论中错误的是( )图24－3－3A．BC∥AD B．∠BAE＝3∠CADC．△BAC≌△EAD D．AC＝2CD9.如图24－3－4是由7个全等的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，设定AB边如图所示，则使△ABC是直角三角形的格点有( )图24－3－4A．10个 B．8个 C．6个 D．4个10．2019·凉山州如图24－3－5，P，Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB，BC上的点，BP＝CQ，则∠POQ＝________°.图24－3－5 图24－3－611．B10[2019·连云港] 如图24－3－6，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝________°.12．如图24－3－7为一个半径为4 m的圆形场地，其中放有六个宽为1 m的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在场地边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为__________ m.图24－3－713．[2019·威海] 如图24－3－8，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为________．图24－3－814．佳佳对科技馆富有创意的科学方舟形象设计很有兴趣，他回家后将一正五边形纸片沿其对称轴对折(如图24－3－9①所示)，旋转放置，做成科学方舟模型(如图②所示)．图①中该正五边形的边心距OB为，图②中AC为科学方舟船头A到船底的距离，请你计算AC＋AB＝________．图24－3－915．如图24－3－10，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：第 2 页
甲：1.以点D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．2．连接AB，BC，AC.△ABC即为所求作的三角形．乙：1.作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点．2．连接AB，AC.△ABC即为所求作的三角形．对于甲、乙两人的作法，可判断( )图24－3－10A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对16．如图24－3－11，P是⊙O上的一点．(1)在⊙O上求作一点B，使PB是⊙O的内接正三角形的一边；(2)在BP上求作一点A，使PA是⊙O的内接正方形的一边；(3)连接OB，求∠AOB的度数；(4)求作⊙O的内接正十二边形．图24－3－1117.如图24－3－12，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.图24－3－12（1）求图①中∠MON的度数；（2）图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．答案详析1．A 2.D 3.A4．A [解析] 正六边形外接圆的直径等于正六边形边长的2倍．5．B [解析] 如图，由正六边形的性质知，它的内切圆的半径就是边心距(OC的长)．因为∠BOA＝()°＝60°，所以△AOB为等边三角形，所以OA＝OB＝AB＝2，AC＝1.由勾股定理，得内切圆的半径OC＝.第 3 页
述，使△ABC是直角三角形的格点有6＋4＝10(个)．故选A.10．72 [解析] 如图，连接OA，OB，OC.第 4 页
6．C[解析] 由题意可得正方形每旋转8次则回到原来的位置．∵2019÷8＝252……2，∴正方形ABCD旋转2019次后，CD与正八边形EFGHKLMN的边重合．7．B[解析] 如图，作出正方形ABCD.在△AEF中，设AE＝x，则AF＝x，EF＝x，正八边形的边长是x，则正方形的边长是(2＋)x.根据题意，得x·(2＋)x＝20，解得x2＝10(－1)，则阴影部分的面积是2＝20.8．D[解析] A项，∵五边形ABCDE为正五边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠BCD＝∠EDC＝∠E＝∠BAE＝∠B＝108°，∴∠ADE＝×(180°－108°)＝36°，∴∠ADC＝108°－36°＝72°，∴∠BCD＋∠ADC＝108°＋72°＝180°，∴BC∥AD，故本选项正确．B项，∵∠BAE＝108°，∠CAD＝×＝36°，∴∠BAE＝3∠CAD，故本选项正确．C项，∵AB＝BC＝AE＝DE，∠B＝∠E，∴△BAC≌△EAD，故本选项正确．D项，∵AB＋BC＞AC，∴2CD＞AC，故本选项错误．9．A[解析] 如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，即有6个直角三角形；AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形．综上所
点O作OC⊥BC于点C，交AD于点D.设长方形摊位的长是2x m．在Rt△OAD中，∠AOD＝30°，AD＝x m，则OD＝x m.在Rt△OBC中，OC＝.∵OC－OD＝CD＝1，∴＝x＋1，解得x＝(负值
已)，则舍去2x＝，∴长方形摊位的长为 m.13．2 [解析] 如图，连接AC，OE，OF，过
点O作OM⊥EF于点M.根据正方形的性质可得AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC是⊙O的直径，AC＝4 ，则OE＝OF＝2 ，再由OM⊥EF，可得EM＝MF.根据等边三角形的性质可得∠GEF＝60°.在Rt△OME中，OE＝2，∠OEM＝∠GEF＝30°，即可求得OM＝，∴EM＝，∴EF＝2 .第 5 页
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴∠AOB＝∠BOC＝72°.∵OA＝OB，OB＝OC，∴∠OBA＝∠OCB＝54°.在△OBP和△OCQ中，∴△OBP≌△OCQ，∴∠BOP＝∠COQ.∵∠POQ＝∠BOP＋∠BOQ，∴∠POQ＝∠COQ＋∠BOQ＝∠BOC＝72°.11．75[解析] 设该正十二边形的外心为O，如图，连接A10O和A3O.由题意知，∠A3OA10＝×5＝150°，∴∠A3A7A10＝75°.12．[解析] 设圆心是O，连接OA，OB，过
菱所，形以∠BOC＝120°，则∠BAC＝60°.因为四边形OBDC是
菱BC，所以AD⊥形，AD平分BC，所以AB＝AC，所以△ABC是等边三角形，所以他的作法是正确的．由乙的作法可知∠BOC＝120°，所以∠BAC＝60°.又
因为AD⊥BC，所以AD平分BC，所以AB＝AC，所以△ABC是等边三角形，所以他的作法是正确的．故选C.16．解：(1)如图①，以点P为圆心，OP长为半径
画再弧交⊙O于点M，圆以点M为圆心，OM长为半径
画O⊙圆弧交于点B，连接PB，则PB即为所求．(2)如图①，作直径PH，再
过连接心作直径PH的垂线交BP于点A，圆PA，则PA即为所求．(3)∵PA是⊙O的内接正方形的一边，∴∠AOP＝90°.∵PB是⊙O的内接正三角形的一边，∴∠BOP＝120°，∴∠AOB＝30°.(4)如图②，以点P为圆心，OP长为半径在⊙O上依次截取5个点，这5个点连
同个点P这6点是圆的六等分点，再作
各中点，顺次连接12个点弧的，得到⊙O的内接正十二边形．17．解：(1)方法一：连接OB，OC.∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°.第 6 页
14. [解析] 如图①，连接OF，OE.由题意，知AB⊥EF，则S正五边形AGFED＝5×S△OEF＝5×(EF·OB)＝2.5×EF＝5 BE.如图②，连接AE.S正五边形AGFED＝2×S四边形ABED＝2×(S△ABE＋S△ADE)＝2×(AB·BE＋DE·AC)＝AB·BE＋DE·AC＝AB·BE＋2·BE·AC＝BE·(AB＋2AC)，∴5 BE＝BE·(AB＋2AC)．∴AB＋2AC＝5 ，∴AC＋AB＝ .15．C [解析] 由甲的作法可知连接OB，BD，OC，CD后，OB＝BD＝OD＝OC＝CD，所以△BOD和△COD都是等边三角形，四边形OBDC是
又∵BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM＝∠CON，∴∠MON＝∠BOC＝120°.方法二：连接OA，OB.∵正三角形ABC内接于⊙O，∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°.∵BM＝CN，∴AM＝BN.又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON，∴∠AOM＝∠BON，∴∠MON＝∠AOB＝120°.(2)90° 72°(3)∠MON＝°.第 7 页
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