3.已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝的－2a，则x等于()A.(0,3，－6)B.(0,6，－20)C.(0,6，－6)D.(6,6，－6)4.若{a，b，c}为空间x一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是()A.a，a＋b，a－bB.b，a＋b，a－bC.c，a＋b，a－bD.a＋b，a－b，a＋2b5.下列条件中使M与A、B、C一定共面的是()
12
A.B.C.D.
0,,1411,0,140,,1411,0,14
等于()
1BE
1.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D2长为1＝，B1E1棱则A11，B
的
14
DBADADAC
B.C.D.
BACBCD
等于()A.
一.选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分)1.空间任意四个点A、B、C、D，则
数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元测试


,24a1＝,量直，平垂面β与向 2,3,1＝b垂直，则平面α与β的位置关系是________．
AB
CA
与夹角θ的大小是__的______．12.已知三点A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的单位法向量为_______13.设平面α与向量
二.填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则
A.B.C.D.
101030100251131010
AE
与成角的余所弦值为()
111AB1DABCDC12,1ABAAAD1CCC1B
E
10.长方体中，为的中点，则异面直线
C.D.
223233
B.
3222
9.设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A.
45B.135C.45或135.D90
0,1,0)m((0,1,1)n
8.已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为()A.
C.D.
15
3575
BCD三()A.钝角是角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定7.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是()A.1B.
0,0,0ABACACADABAD
6.设空间不共面是的四点，且满足，则
,,,ABCD
0MAMBMCOMO0AOBOC
C.D.
2OMOAOBOC
A.B.
111532OMOAOBOC


19.已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，
2
，E，F分别是AD，PC的中点．(1)证明：PC⊥平面BEF；(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小．
18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2
BM
的长．
BM
,,abc
表示出向量；(2)求
．(1)试用

14.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为.三.解答题(本大题共5小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.已知A(2,2,2)，B(2,0,0)，C(0,2，－2)．(1)写出直线BC的一个方向向量；(2)设平面α经过点A，且BC是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．16.设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60，M是PC的中点，设ABa,ADb,APc


(1)证明：PF⊥FD；(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A－PD－F的余弦值．
E、F分别是线段AB、BC的中点．


0MAMBMCOMO0AOBOC
C.D.
2OMOAOBOC
B.
111532OMOAOBOC
x－2a，则x等于()A.(0,3，－6)B.(0,6，－20)C.(0,6，－6)D.(6,6，－6)【答案】B【点睛】本题考查空间向量的线性运算，是缁.4.若{a，b，c}为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是()A.a，a＋b，a－bB.b，a＋b，a－bC.c，a＋b，a－bD.a＋b，a－b，a＋2b【答案】C5.下列条件中使M与A、B、C一定共面的是()A.
12
【答案】C3.已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝
A.B.C.D.
0,,1411,0,140,,1411,0,14
等于()
1BE
A1B1，则
14
【答案】C2.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E1＝
DBADADAC
B.C.D.
BACBCD
等于()A.
数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》测试答案一.选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分)1.空间任意四个点A、B、C、D，则


AB
CA
与_夹角θ的大小是的_______．
【答案】B二.填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则
A.B.C.D.
1010003121510
31010
与AE成角的所余弦值为()
1111ABCDABCD21,1ABAAAD1BC
1CC
E
中，为中点，的则异面直线
【答案】D10.长方体
C.D.
223233
B.
3222
【答案】C9.设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A.
451354513590
B.C.或D.
0,1,0)m((0,1,1)n
，则两平面所成的，二面角为()A.
【答案】D8.已知两平面的法向量分别为
C.D.
153575
BCD()A.钝角三是角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定【答案】B7.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是()A.1B.
0,0,0ABACACADABAD
是空间不共面的四点，且满足，则
,,,ABCD
【答案】C6.设


23
.【答案】
1111ABCDBCDA11CD
中，E为A中点，则异面直线的E与BC所成角的余弦值为
故答案为垂直14.已知正方体
.
面根据平∵与向量面垂，平直与向量垂直，
a,241＝,,2,3 1b＝
a, b
 2,3,11,2,42640,ab＝＝＝
直，平面垂β与向量系直，则平面α与β的位置关垂是________．【答案】垂直【详解】由题意，
,,24a＝1 2,3,1b＝
，，－)或(，－，－1．)3.设平面α与向量
333333333333
ABC的单位法向量是(，，－或)(，－，－故.)答案为】(
333333333333
，解得，故平面
2221xyz
33xyz
ABC
＝yxzx ＝，∵平面量法向的 nxyz（，，）为单，法向量位
xyz
可得，即
 nxyz（，，），
00nABnAC＝＝
110101 ABAC（，，），（，，）
，令平面ABC的法向量为
【
详解】三点,,1,01,0110,1,1ABC，，，
，，)或(－，－，－)
333333333333
【答案】120°12.已知三点A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的单位法向量为_______【答案】(


.17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且
＝＝得解，k＝－(.2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，则(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝
【解】ka＋b详＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(7，－4，－16)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，则
(2)
1-31063
⊥y∴(－2,2，－2)·(x－2，,－2，z－2)＝0.∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0.化简得x－y＋z－2＝0.16.设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.【答案】(1)
∵(x－2，y－2，z－2)，＝⊥平面α，AM⊂α，∴
＝(－2,2，－2)，即(－2,2，－2)为直线BC的一个方向向量．(2)由题意
法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．【答案】(1)(－2,2，－2)(2)x－y＋z－2＝0.【详解】(1)∵B(2,0,0)，C(0,2，－2)，∴
的
，AD=2，可得AE=3，∴cos=∠DAE=.三.解答题(本大题共5小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．已知A(2,2,2)，B(2,0,0)，C(0,2，－2)．(1)写出直线BC的一个方向向量；(2)设平面α经过点A，且BC是α
连接DE，设AD=2，易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，在△RtADE中，由于DE=
【详解】


2
，E，F分别是AD，PC的中点．(1)证明：PC⊥平面BEF；(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小．
，bcrrr，aBM
表示出向量求并根据给出的数据，BM题长度．着重考查了向量的线性运算法则、向量的数量积及其运算性质等知识，属于中档的．18.18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2
.【点睛】本题在四棱锥中用
6622BMBM，的长为


222222221113211220114442BMabcabcabacbc

1,2BMabc由于
0,60,0,21cos601ABADPABPADabacbc由于
(2),12,1,2ABADPAabc由于

11112222bcaabc

1122BMBCBPADAPAB
M
∵详解】(1)【是PC中点，∴
的
)答案】(1【(2)
62
111222abc
BM的长．
BM
,,abc
表示出向量；(2)求
,,ABaADbAPc
．(1)试用
60M
于A与AB、AD的夹角都等P，PC的是中点，设


，∴θ＝45°.∴平面BEF与平面BAP的夹角为45°.19.已