第2节　平面向量基本定理及坐标表示成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期


[课程标准要求] 1.理解平面向量基本定理及其意义.2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.


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1.平面向量基本定理(1)定理:如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a= .(2)基底:若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ为实数,则a+b= ,a-b= ,λa= ,|a|= .不共线λ1e1+λ2e2(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx1,λy1)


(2)向量的坐标表示①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.(x2-x1,y2-y1)3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,a,b共线⇔ .x1y2-x2y1=0


1.若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0.


B1.已知a=(3,6),b=(x,y),若a+3b=0,则b等于(　 　)A.(1,2) B.(-1,-2)C.(-1,2)D.(1,-2)


B2.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,3),那么|a+b|等于(　 　)2


∥所以2x-2=x(3-x),即x2-x-2=0,解得x=2或x=-1.答案:2或-1
4.已知向量a=(x,1),b=(2,x-1),若(2a-b)∥a,则x=　　　　. 解析:2a-b=(2x-2,3-x),因为(2a-b)a,




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平面向量基本定理的应用[例1] (1)如果e1,e2是平面α内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一个基底的是(　　)A.e1与e1+e2 B.e1-2e2与e1+2e2C.e1+e2与e1-e2 D.e1+3e2与6e2+2e1答案:(1)D




平面向量基本定理的实质及应用思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减运算或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.


[针对训练]A.①② B.①③ C.②③ D.②④






平面向量的坐标运算[例2] (1)已知a=(5,-2),b=(-4,-3),若a-2b+3c=0,则c等于(　　)




(1)利用向量的坐标运算解题时,首先利用加、减、数乘运算法则进行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,转化为方程(组)进行求解.(2)向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,成为数与形结合的载体,使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.


[针对训练] (1)设向量a=(1,1),b=(3,-2),则3a-2b等于(　　)A.(-3,7)B.(0,7)C.(3,5) D.(-3,5)解析:(1)因为向量a=(1,1),b=(3,-2),所以3a-2b=3(1,1)-2(3,-2)=(3,3)-(6,-4)=(-3,7).故选A.答案:(1)A　


(2)已知平行四边形的三个顶点分别是A(4,2),B(5,7),C(-3,4),则第四个顶点D的坐标是　　　　　　　　. 答案:(2)(-4,-1)或(12,5)或(-2,9)


平面向量共线的坐标表示[例3] (1)(2021·全国乙卷)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ=　　　　; 


(2)已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),O为坐标原点,则AC与OB的交点P的坐标为　 . 


答案:(2)(3,3)


(1)向量共线的两种表示形式设a=(x1,y1),b=(x2,y2):①a∥b⇒a=λb(b≠0);②a∥b⇔x1y2-x2y1=0.至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定,一般情况涉及坐标的应用②.(2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行),可解决三点共线的问题;另外,利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知数的值.


[针对训练] (1)已知向量a=(2,1),b=(x,-1),且a-b与b共线,则x的值为　　 ;解析:(1)因为a=(2,1),b=(x,-1),所以a-b=(2-x,2),又a-b与b共线,所以(2-x)×(-1)-2x=0,所以x=-2.答案:(1)-2




A.-3B.3C.1D.-1










A.1B.2C.3D.4


解析:以向量a,b的交点为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1),A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3).


[例6] 已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=　　　　. 


答案:(4,7)






答案:6


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