高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI第三节　平面向量的数量积及其应用第五章2024成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期


内容索引0102强基础•固本增分研考点•精准突破


课标解读衍生考点核心素养1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1.平面向量数量积的运算2.平面向量数量积的应用3.平面向量的综合应用1.直观想象2.数学抽象3.数学运算


强基础•固本增分


1.向量的夹角 (0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角,记作. 只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角微点拨当θ=0°时,向量a,b共线且同向;当θ=90°时,向量a,b相互垂直,记作a⊥b;当θ=180°时,向量a,b共线但反向.


　　　　　　　叫做a与b的数量积,记作a·b 投影
　　　　　　叫做向量a在b方向上的投影,　　　　　　叫做　向量b在a方向上的投影 几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积微点拨零向量与任意向量的数量积为0;投影和两向量的数量积都是数量,不是向量.微思考两个向量的数量积大于0,则夹角一定为锐角吗? |a||b|cos θ |a|cos θ |b|cos θ 提示:不一定.当夹角为0°时,数量积也大于0.
2.平面向量的数量积 定义设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量


3.向量数量积的运算律 交换律a·b=b·a分配律(a+b)·c=a·c+b·c数乘结合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数)微点拨实数运算满足消去律:若ab=ca,a≠0,则b=c.而在向量数量积的运算中,若a·b=a·c(a≠0),不能推出b=c.即向量的数量积运算不满足消去律.微思考(a·b)c一定等于a(b·c)吗?提示:不一定.这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.即向量数量积的运算不满足乘法结合律.


4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.微点拨当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|. a·b=0 x1x2+y1y2=0


常用结论平面向量数量积运算的常用公式(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.


研考点•精准突破


　　)A.-15B.-13C.13D.15(2)(2022全国甲,理13)设向量a,b的夹角的余弦值为 ,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=
　　　　　. 
考点一考点二考点一平面向量数量积的运算例1(1)(2022山东淄博三模)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,F为AB的中点, CE=3,CB=8,AB=12,则 =(


　(2)11解析:(1)建立如图所示的平面直角坐标系,则A(12,0),B(0,0),C(0,8),F(6,0).
考点一考点二答案:(1)C


适a建立平面直角坐标系,可建立坐标系,求出合,b的坐标,通过坐标运算求解
考点一考点二规律方法 求非零向量a,b的数量积的三种方法 直接法若两向量共起点,则两向量的夹角直接可得,根据定义即可求得数量积;若两向量的起点不同,则需要通过平移使它们的起点重合,再计算几何法根据图形之间的关系,用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a,b,然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解坐标法若图形


训练1(1)(2022河南洛阳k)若向量m=(2k,一模+1)与向量n=(4,1)共线,则m·n=
　　　　　.2( )(2022山东
潍坊期末)已知正方形ABCD的边N2,M长为是它的内切圆的一
条,点弦P为正方形四条边度动点,当弦上的MN的长最 , 大时 的
取值范围是(　　)
考点一考点二对点


　(2)A解析　:(1)因
所m=(2k,k+1)与向量n=(4,1)共线,为向量以2k-4(k+1)=0,得k=-2,所
以m·n=8k+k+1=9k+1=-17.(2)建立如图所示的平面直角坐标系.当弦MN的长度
最大时,MN是圆的直径.不
妨M(cos 设θ,sin θ),P(x,-1),x∈[-1,1],则N(-cos θ,-sin θ).
考点一考点二答案:(1)-17


考向究)考向1探 平面向量的垂直问题例2(1)(2022全国甲,文13)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,则m=
　　　　　.2( )(2022江西赣州
二模)已知向量a=(1,2),b=(-1,1),若(λa+b)⊥b,则λ的值为(
　　)A.-2B.-1C.1D.2
考点一考点二考点二平面向量数量积的应用(多


理,得1-λ+2λ+1=0,λ=-2.故选A.
考点一考点二(2)∵a=(1,2),b=(-1,1),(λa+b)⊥b,∴(λa+b)·b=0,又λa+b=(λ-1,2λ+1),∴(λ-1,2λ+1)·(-1,1)=0,整


类型 利
证明两个向量垂直,先根据共线、夹角等条计算出这两个向量的坐标;然后根据数量积的坐件标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可已知两个向量的垂直关系,求解相关
用坐标运算证明两个向量的垂直问题若
充要条件,列的关出相应系式,进而求解
参数的值根据两个向量垂直的参数
考点一考点二规律方法 平面向量垂直问题的两个


训练2(1)已知单位a,b的夹角为60向量°,a-kb与b垂直,则实数k=
　　　　　　.)(2 设θ∈(0,π),向量a= ,b=(cos θ,sin θ),若(a-b)⊥b,则tan θ=
　　　　　　. 
考点一考点二对点


考点一考点二


　　)(2)已知直角
梯是ABCD中形AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P,腰DC上的动点,则 的
最小值为　　　　. 
考点一考点二考向2 平面向量模的问题例3(1)已知向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|=1,则|2a+b|=(


　(2)5　
考点一考点二答案:(1)D


用|a|=          及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量模的运算转化为数利积运算几何法量
即量的几何意义,用向利用向量加、减法的平行四边形法则法则作三角形或出向量,再
利用余弦定理等方法求解
考点一考点二规律方法 求平面向量模的两种方法 公式法利


训练3(1)已知向量a=(6,-2),b=(1,m),且a⊥b,则(|a-2b|=)　　
考点一考点二对点


　(2)B　解析:(1)向量a=(6,-2),b=(1,m),且a⊥b,所
所a·b=6-2m=0,解得m=3,以以b=(1,3),a-2b=(4,-8),
考点一考点二答案:(1)B


　　)A.-6B.-5C.5D.6(2)(2022山
西太原知向量模)已二a,b满足3|a|=2|b|=3,若|a+2b|= ,则向量a与向量b的夹角的余弦值为
　　　　　. 
考点一考点二考向3 平面向量的夹角问题例4(1)(2022新高考Ⅱ,4)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则实数t=(


考点一考点二


考点一考点二规律方法 求平面向量夹角的两种方法


训练4(1)已知a=(1,2),b=(m,1),c=(3,-4),若(a+b)⊥c,则向量a,b夹角的
正切值为())(2　　若向量a,b满足|a|=2,|b|= ,且(a-b)⊥(2a+3b),则a与b夹角的余弦值为(
　　)
考点一考点二对点


　(2)D解析:　(1)由题意知a+b=(m+1,3),又(a+b)⊥c,∴3(m+1)-12=0,可得m=3.∴b=(3,1).
考点一考点二答案:(1)B


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