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第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
[课程标准要求]1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.5.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.
必备知识·课前回顾回顾教材,夯实四基
1.向量的夹角∠AOB[0,π]
2.平面向量的数量积|a||b|cos θ
3.平面向量数量积的运算律(1)交换律:a·b=b·a;(2)数乘结合律:(λ a)·b= = (λ∈R);(3)分配律:(b+c)·a= .λ (a·b)a·(λ b)a·b+a·c
4.平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ=.x1x2+y1y2=0x1y2=x2y1
1.两个向量a,b的夹角为锐角⇔a·b>0且a,b不共线;两个向量a,b的夹角为钝角⇔a·b.(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解.
平面向量数量积的应用[例1] (1)(2021·全国甲卷)若向量a,b满足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,则|b|= ; 平面向量的模
(2)已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为 .
(2)求向量模的最值(范围)的方法:①代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;②几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.
[例2] (1)已知a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,=,则t等于( )A.-6B.-5C.5D.6答案:(1)C 平面向量的夹角
求平面向量的夹角的方法(3)解三角形法:可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解.
平面向量的垂直问题[例3] (1)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m等于( )A.-8B.-6C.6D.8解析:(1)由题知a+b=(4,m-2),因为(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=0,即4×3+(-2)×(m-2)=0,解得m=8.故选D.答案:(1)D
(2)(2021·全国乙卷)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ= .
(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直,先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标;然后根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可.(2)已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数.
[针对训练] (1)如果|a|=2,|b|=3,a·b=4,则|a-2b|的值是( )答案:(1)B
(2)已知向量a=(1,2),b=(2k,3),且a⊥(2a+b),则实数k的值为( )A.-8B.-2C.1.5 D.7解析:(2)因为2a+b=(2,4)+(2k,3)=(2+2k,7),又a⊥(2a+b),a=(1,2),所以a·(2a+b)=2+2k+14=0,解得k=-8.故选A.答案:(2)A
(3)已知向量a,b满足(2a-b)·(a+b)=6,且|a|=2,|b|=1,则a与b的夹角为 .
(4)若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b与c的夹角为钝角,则k的取值范围是 .
平面向量的应用
(2)(多选题)在日常生活中,我们会看到两个人共提一个行李包的情况.假设行李包所受的重力为G,所受的两个拉力分别为F1,F2,若|F1|=|F2|,且F1与F2的夹角为θ,则以下结论正确的是( )
骤
用向量方法解决平面几何(物理)问题的步
腰直角三角形B.直角三角形C.等
腰角形 D.三等边三角形答案:(1)B
A.等
体在力F的作下用,由点A(20,15)移点到动B(7,0).已知F=(4,-5),则F对
该物体做 功为 的 . 答案:(2)23 J
(2)一物
链接]如图所示.
[知识
Ⅲ量)已知向卷a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos等于( )
[例1] (2020·全国
答案:-2
[例4] 若向量a,b满足a=(cos θ,sin θ)(θ∈R),|b|=2,则|2a-b|的取值范围为 . 解析:设a与b的夹角为α,则(2a-b)2=4a2+b2-4a·b=8-8cos α,因为α∈[0,π],所以0≤8-8cos α≤16,所以0≤|2a-b|≤4.答案:[0,4]
答案:1
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[课程标准要求]1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.5.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.
必备知识·课前回顾回顾教材,夯实四基
1.向量的夹角∠AOB[0,π]
2.平面向量的数量积|a||b|cos θ
3.平面向量数量积的运算律(1)交换律:a·b=b·a;(2)数乘结合律:(λ a)·b= = (λ∈R);(3)分配律:(b+c)·a= .λ (a·b)a·(λ b)a·b+a·c
4.平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ=.x1x2+y1y2=0x1y2=x2y1
1.两个向量a,b的夹角为锐角⇔a·b>0且a,b不共线;两个向量a,b的夹角为钝角⇔a·b.(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解.
平面向量数量积的应用[例1] (1)(2021·全国甲卷)若向量a,b满足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,则|b|= ; 平面向量的模
(2)已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为 .
(2)求向量模的最值(范围)的方法:①代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;②几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.
[例2] (1)已知a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,=,则t等于( )A.-6B.-5C.5D.6答案:(1)C 平面向量的夹角
求平面向量的夹角的方法(3)解三角形法:可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解.
平面向量的垂直问题[例3] (1)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m等于( )A.-8B.-6C.6D.8解析:(1)由题知a+b=(4,m-2),因为(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=0,即4×3+(-2)×(m-2)=0,解得m=8.故选D.答案:(1)D
(2)(2021·全国乙卷)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ= .
(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直,先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标;然后根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可.(2)已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数.
[针对训练] (1)如果|a|=2,|b|=3,a·b=4,则|a-2b|的值是( )答案:(1)B
(2)已知向量a=(1,2),b=(2k,3),且a⊥(2a+b),则实数k的值为( )A.-8B.-2C.1.5 D.7解析:(2)因为2a+b=(2,4)+(2k,3)=(2+2k,7),又a⊥(2a+b),a=(1,2),所以a·(2a+b)=2+2k+14=0,解得k=-8.故选A.答案:(2)A
(3)已知向量a,b满足(2a-b)·(a+b)=6,且|a|=2,|b|=1,则a与b的夹角为 .
(4)若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b与c的夹角为钝角,则k的取值范围是 .
平面向量的应用
(2)(多选题)在日常生活中,我们会看到两个人共提一个行李包的情况.假设行李包所受的重力为G,所受的两个拉力分别为F1,F2,若|F1|=|F2|,且F1与F2的夹角为θ,则以下结论正确的是( )
骤
用向量方法解决平面几何(物理)问题的步
腰直角三角形B.直角三角形C.等
腰角形 D.三等边三角形答案:(1)B
A.等
体在力F的作下用,由点A(20,15)移点到动B(7,0).已知F=(4,-5),则F对
该物体做 功为 的 . 答案:(2)23 J
(2)一物
链接]如图所示.
[知识
Ⅲ量)已知向卷a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos等于( )
[例1] (2020·全国
答案:-2
[例4] 若向量a,b满足a=(cos θ,sin θ)(θ∈R),|b|=2,则|2a-b|的取值范围为 . 解析:设a与b的夹角为α,则(2a-b)2=4a2+b2-4a·b=8-8cos α,因为α∈[0,π],所以0≤8-8cos α≤16,所以0≤|2a-b|≤4.答案:[0,4]
答案:1
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