索引第五章 平面向量、复数INNOVATIVE DESIGN第3节　平面向量的数量积及其应用成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期


1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.考试要求


知识诊断基础夯实内容索引考点突破题型剖析分层精练巩固提升


ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断 基础夯实1


索引1.平面向量数量积的有关概念知识梳理(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量__________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ .规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.|a||b|cos θ|a||b|cos θ


索引


索引2.平面向量数量积的性质及其坐标表示


索引3.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).


索引4.平面几何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.


索引[常用结论]1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量.


索引1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)×诊断自测√√×解析　(1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.


索引2.(必修二P34例11改编)设a＝(5，－7)，b＝(－6，－4)，设a，b的夹角为θ，则cos θ＝____________.


索引3.(必修二P21例13改编)已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，若(a＋kb)⊥(a－kb)， 则实数k＝________.


索引


KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破 题型剖析2


索引考点一　数量积的计算C解析　由|a－2b|＝3，可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9，


索引0


索引法二　建立平面直角坐标系，如图，


索引平面向量数量积的两种运算方法：(1)基底法，当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法，当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.感悟提升


的投影向量为(|a|cos θ)e＝－2e.故选C.
索引C解析　设a与b所成的角为θ，故a在b上


索引11


原平，建立如图所示的点面直角坐标系，由题意知A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，P(2，1)，
索引－1以A为


索引


为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，C
索引考点二　数量积的应用角度1　夹角与垂直例2 (1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　)A.－6 B.－5 C.5 D.6解析　由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因


索引


大新高考联盟知测)已质平面向量a，b，c满足b⊥c，|b|＝|c|＝2，若a·b＝a·c＝8，则|a|＝________.解析　依
题意，a·b－a·c＝a·(b－c)＝0，所以a⊥(b－c)，而b⊥c，a·b＝a·c＝8，|b|＝|c|＝2，故〈a，b〉＝〈a，c〉＝45°，
索引角度2　平面向量的模例3 (2023·华


索引感悟提升


练2 (1)(2022·全乙国卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝(　　)A.2 B.3 C.4 D.5解析　由题意知a－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，D
索引训


索引B解析　由已知得(a－2b)·a＝a2－2a·b＝|a|2－2|a|·|b|cos〈a，b〉＝0，则|a|2－2|a|2cos〈a，b〉＝0，


联考)已知a＝(1，2)，b＝(－1，3)，若(ka＋b)⊥(2a－b)恒
成立，则k的值___为_____.解析　因
为a＝(1，2)，b＝(－1，3)，所以ka＋b＝(k－1，2k＋3)，2a－b＝(3，1).因
为(ka＋b)⊥(2a－b)，所以(ka＋b)·(2a－b)＝0，即3(k－1)＋2k＋3＝0，解得k＝0.0
索引(3)(2023·赣州十七校


索引考点三　平面向量与三角的结合应用AC


索引


函常结合时，通数以向量为表现实式，形现三角函数问题，要
注意向量夹角与三角形内角的区别与联系.感悟提升
索引向量与三角


练3 已知A，B，C分别为△ABC的三边a所，b，c对s角，向量m＝(sin A，的in B)，n＝(cos B，cos A)，且m·n＝sin 2C.(1)求角C的大
小知解　由已；得m·n＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)，因
为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，所以m·n＝sin C，又m·n＝sin 2C，所以sin 2C＝2sin Ccos C＝sin C，sin C≠0，
索引训


正弦2理得定c＝a＋b.所以abcos C＝18，所以ab＝36.由
余弦理得c2＝a定2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab，所以c2＝4c2－3×36，所以c2＝36，所以c＝6.
索引解　由已知及


FENCENGJINGLIAN GONGGUTISHENG分层精练 巩固提升3


基础巩固】解析　因
为向量a＝(2，x)，b＝(3，－2)，且a⊥b，所以a·b＝6－2x＝0，解得x＝3，即a＝(2，3).
索引12345678910111213141516B【A级


索引12345678910111213141516D


向量a，b为单位量，所以5－4cos〈a，b〉＝7，向即〈a，b〉＝120°，故向量a与向量b的夹角为120°.故
选C.
索引12345678910111213141516C所以|a|2－4a·b＋4|b|2＝7.又


索引12345678910111213141516A


一模)下列于向量a，b，关c的运算，一定成立的是(　　 )A.(a＋b)·c＝a·c＋b·cB.(a·b)·c＝a·(b·c)C.a·b≤|a|·|b|D.|a－b|≤|a|＋|b|解析　根据
正量积的分配律可知A数确；B中，
左的为c边共线向量，右为a边的共线向量，故B不正确；根据
数量积的定义可知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a|·|b|，故C正；|a－b|2－(|a|＋|b|)2＝－确2a·b－2|a||b|≤0，故|a－b|2≤(|a|＋|b|)2，即|a－b|≤|a|＋|b|，故D正
确.ACD
索引123456789101112131415165.(多选)(2023·南京


索引12345678910111213141516D


索引12345678910111213141516B


索引12345678910111213141516


国甲卷)若向量a＝b满足|a|，3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________.解析　由|a－b|＝5得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合|a|＝3，a·b＝1，得32－2×1＋|b|2＝25，
索引123456789101112131415168.(2021·全


索引12345678910111213141516


别点C，D作CG⊥过AB，DF⊥AB，垂
足分别G，为F.由题意得
四C形AB边D为等腰梯，形AF＝BG＝1，
索引12345678910111213141516-2解析　如图，分


索引12345678910111213141516


最大值和最小值以及对应的x的值.
索引12345678910111213141516(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的


段AB，AC为邻行边平的四边形两条对角线的长；
索引1234567891011121314151612.在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1).(1)求以线


索引12345678910111213141516


能力提升】
索引12345678910111213141516ABC【B级


索引12345678910111213141516


索引12345678910111213141516BD


正八性形的边质可知,AH∥BG,CF∥BG，所以AH∥CF，
索引12345678910111213141516解析　连接BG,CF，由


索引123456789101112131415161


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