高考数学专题五　三角函数与解三角形5.4　解三角形成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期


pa
6b
62-62+3
3
443
基础篇考点一　正弦定理和余弦定理考向一　正弦定理的应用1.(2023届沈阳四中月考,5)已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A+cos B=0,C= ,则 = (　    )A.2- 　    B. 　    C. 　    D. 答案    D


1p
3
26
32
2.(2022河北衡水中学模拟,3)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a= ,sin B= ,C= ,则c= (　    )A.2　    B. 　    C. 　    D.1答案    D


△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=- ,则 = (　    )A.6　    B.5　    C.4　    D.3答案    A
1b
4c
3.(2019课标Ⅰ文,11,5分)


3
ppp23p
643
4.(2022江苏盐城响水中学学情分析,8)在△ABC中,a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C的对边,sin A(sin A+2 sin Bsin C)=3sin 2B+3sin2C,则角C的大小为 (　    )A. 　    B. 　    C. 　    D. 答案    A


△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2 +cos A= .(1)求A;(2)若b-c= a,证明:
p5
��
+A
��
24
��
3
△ABC是直角三角形.解析    (1)由已知得sin2A+cos A= ,即cos2A-cos A+ =0.所以 =0,cos A= .由于0b>a,若△ABC为钝角三角形,则角C为钝角,cos A∴
222
abc+-
2ab
∴C= 0,
7.(2021新高考Ⅱ,18,12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b=a+1,c=a+2.(1)若2sin C=3sin A,求△ABC的面积;(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求a;若不存在,说明理由.解析    (1)2sin
∴


∈同时还应考虑构成△ABC的条件,即a+b>c⇒a+(a+1)>a+2⇒a>1.综上所述,当a(1,3)
∈时,△ABC为钝角三角形.∴存在正整数 a=2,使得△ABC为钝角三角形.
a(0,3).


pp
44
p23p
6
考点二　解三角形及其应用1.(2022广东深圳六校联考二,3)已知△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,则根据条件解三角形时有两解的一组条件是(　    )A.a=1,b=2,A= 　    B.a=2,b=1,A= C.a=2,b=3,A= 　    D.a=4,b=3,A= 答案    C


3
3
5
4626
33
2.(2023届长春六中月考,10)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若 sin(A+B)=sin A+sin B,cos C= ,且S△ABC=4,则c=(　    )A. 　    B.4　    C. 　    D.5答案    B


△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A·(sin C-cos C)=0,a=2,c= ,则C= (　    )A. 　    B. 　    C. 　    D. 答案    B
212
pppp
643
3.(2017课标Ⅰ文,11,5分)


3
2
4.(2021全国乙,理15,文15,5分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为 ,B=60°,a2+c2=3ac,则b=　　　    .答案    2 


∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当 取得最小值时,BD=　　　    .答案     -1
AC
AB
3
5.(2022全国甲,理16,文16,5分)已知△ABC中,点D在边BC上,


2
13
p
��
2A+
��
4
��
213
222
abc+-2
p
2ab24
∈所以C= .(2)在△ABC中,由正弦定理及C= ,a=2 ,c= ,可得sin A= = .(3)由a|b|,则sin A>sin BB.若a·b>0,则△ABC为锐角三角形C.若a·b=0,则△ABC为直角三角形D.若(b+c-a)·(b+a-c)=0,则△ABC为直角三角形答案    ACD
4.(多选)(2022江苏苏


大连模拟,18)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a-b=c(cos B-cos A).(1)判断△ABC的形状并
给出;明证(2)若a≠b,求sin A+sin B+sin C的取值
范围.解析    (1)
△ABC为等腰 角形或直角三角形.证明如下:由a-b=c(cos B-cos三A)及正弦定理得sin A-sin B=sin C(cos B-cos A),即sin(B+C)-sin(A+C)=sin C·(cos B-cos A),即sin Bcos C+cos Bsin C-sin Acos C-cos Asin C=sin Ccos B-sin Ccos A,整理得sin Bcos C-sin Acos C=0,所以cos C(sin B-sin A)=0,故sin A=sin B或cos C=0,又A、B、C为△ABC的内角,所以a=b或C= ,因此△ABC为
p
2
等腰角形或直角三角形.(2)由(1)及三a≠b知△ABC为直角三角形且不是
pp
22
5.(2022辽宁
等腰=形,A+B三角 ,C= ,


pp
24
p
��
2A+
��
4
��
pppppppp3p
����������
0,,,,A+
����������
442442244
����������
��
2s +1),因此sin A+in B+sin C的取值∈
p
��
,12A+2
��
��
24
��
��
范围为(2, +1).
2
故B= -A,且A≠ ,所以sin A+sin B+sin C=sin A+sin B+1=sin A+cos A+1= sin +1,因为A∈ ∪ ,所以A+ ∈ ∪ ,得sin ∈ ,所以 sin +1(2,


范围有关一　问题考向的与三角形面积(最值、
范围)有关1问题的.(2022广东深圳福
田外国语高级中学在研,7调)古希腊数学家海伦的著作
《测地术》中记载了著名的式伦公海,利三角形的三边长求三角形的面积.若三角形的三边长分别为a,b用,c,则其面积S= ,其中p= (a+b+c).现
pcpbpap()()()---
1
有一个三角形的边长a,b,c满足a+b=7,c=5,则此三角形面积的最大值为(　    )A.17 　    B.  　    C.5 　    D. 答案    D
2
56
21172216
2
考法二　与三角形的最值、


A
东烟台 ,18)从①si二模nA=cos  ,2a②cos A=bcos C+ccos,B ③a-cos C+(2b+c)·cos A=0这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并
2
给出解答.问题:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,　　　    .(1)求A;(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解析　若选①:(1)由sin A=cos  可得2sin  cos  =cos  ,因为00,所以cos A=- .因为00,所以cos C= ,则C为锐角,且C= 3


3
p
sinAsin6AD
3
p
sinisBn6BD
ADb
BDa
p
3
6
p
3
6
222
ADb
2b3333b2aa-+-+2
BDa
△ABC是等,角形边三CD⊥AB,AD=BD=1,AB=AC=BC=2,所以S△ABC= ×2×2×sin  = .
1p
3
23
(2)在△ACD中,由正弦定理得 = ,在△BCD中,由正弦定理得 = ,所以AD·sin A=BD·sin B,由正弦定理得 = .在△ACD中,由余弦定理得AD2=b2+3-2 b·cos  =b2-3b+3,在△BCD中,由余弦定理得BD2=a2+3-2 a·cos  =a2-3a+3,所以 = = ,整理得(a+b-ab)(a-b)=0,所以a=b或a+b=ab.当a=b时,


仅a=b当=2时等号成,所以S△ABC= 立absin C≥ ×4× = .综上所述,
abab
113
3
222
△ABC面积的最小值为 .
3
当a+b=ab时,ab=a+b≥2 , ≥2,ab≥4,当且


范围)有关问题的1.(2023届
哈尔滨师大附考中月,7)在锐角三角形ABC中,若 sin B+cos B=2,且满足
3cosBb
cosC
csinsin3sinABC
关系= + 式 ,则△ABC周长的最大值为 (　    )A. 　    B.2 　    C.4 　    D.6 答案    D
3333
考向二　与三角形周长(最值、


3
辽宁六校期初),18考试在①S= (a2+b2-c2),②acos B+bcos A=2ccos C两个条件中任选一个,补充
4
到下面问题中,并完答成解.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积,满足　    　    (填写序号
即可).(1)求角C的大小;(2)若c=3,求△ABC周长的最大值.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解析    (1)若选①,因为S= (a2+b2-c2),所以 absin C= ·2abcos C,所以sin C= cos C,所以tan C= ,因为00,∴B∈ ,∴ = = = ,令cos2B=t,t∈ ,
0,
��
24
��
222222
ab+sinsinAB+cos2sinBB+
222
csinCcosB
222
)2cos1)(1cos(BB-+-
2
cosB
1
��
,1
��
2
��
(2)由(1)知,sin B=cos(A+B)=-cos C,∵sin B>0恒


222
ba+)(21)(1tt-+-2
2
2
ctt
22
仅取4当= ,即t= 时,t“=”.∴ 的最小值为4 -5.
t2
22
ab+
2
2
c
∴ = =4t+ -5≥4 -5,当且


实际应用1.(2021山
东潍坊6,1一模)某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先
进单位,制作了一批奖杯,奖杯的剖面图形如图所示,其中扇形OAB的半径
为10,∠PBA=∠QAB=60°,AQ=QP=PB,若按此方案设计,工艺制造厂发现,当OP最长时,该奖杯比较美观,此时∠AOB=　　　    .答案     
p
2
考法三　解三角形的


中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截
如面图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是弧圆AB与直线AG的
切是,B点A圆弧B与直线BC的切为,四边形DE点GF矩,,BC⊥DG形垂足为C,tan
3
5
到ODC= ,BH∥DG,EF=12 cm,DE=2 cm,A∠直线DE和EF的距离均
为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部积为的面分　　　    cm2. 答案     
5p
��
4+
��
2
��
2.(2020新高考Ⅰ,15,5分)某


西百校联盟江联考,2)1西某中学校园有内块扇形Q地OP空,经测
p
量其半径06为 m,圆心校 角为学,准备在此扇形空地上修建一所矩形室
3
内篮球场ABCD,初如计方案步设1图1所示.(1)取
弧PQ的中点E,连示OE,设∠BOE=α,试用接表α方案1中矩面ABCD的形积,并求其最大值;(2)你
有没有更好获的计方案2来设得更大的篮球场在积面若有,?图2中画出来,并证明
你的结 . 图1 论 图2
3.(2023届江


图所,示设OE交AD于点M,显然交BC于点N,矩形关BCDA
于OE所在直线对
p
6
,,点M、N分别为AD、BC的中点称∠BOE=α,0>0时, 解得 则a+b=- .②当a<0时, 解得 则a+b= .综上,a+b=- 或 .
-,,2
����
642
��a�21,11,2ab�b+=���+=-��
4
�
a=,
�
1
�
3
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5
321,11,2abab+=-���+=��
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b=-,
�
�3
4
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a=-,
�
�1
3
�
53
�
b=,
�
�3
11
33
(2)- ≤x≤ ,则- ≤2x+ ≤ ,故- ≤sin ≤1.∴函数f(x)在


a1
分中学期8,1末)在① b- ccos A=asin C,② ,  =
33
b2
natC③ 这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答问题.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足　　　　    .(1)求C;(2)若△ABC的面积为 ,D在边AC上,且CD= CA,求BD的最小=.解析    (1)方案一:选条件①.由 b- ccos A=asin C,可得b-ccos A= sin C,由正弦定理得sin B-sin Ccos A= sin Asin C, 值asinsinAC-sinsinAB-
��
+1
��
tanBbac+
��
1
3
3
3
33
3
3
3
21.(2022辽宁部


3
3
3
33
3
p
∈所以C= .方案二:选条件②.因为 =  ,所�