重难专攻（一）　不等式中的恒（能）成立问题成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期


　　利用导数研究不等式恒（能）成立问题，一般可转化为最值问题处理.若a＞f（x）对x∈D恒成立，则只需a＞f（x）max；若a＜f（x）对x∈D恒成立，则只需 a＜f（x）min.若存在x0∈D，使a＞f（x0）成立，则只需a＞f（x）min；若存在x0∈D，使a＜f（x0）成立，则只需a＜f（x）max.由此构造不等式，求解参数的范围.


　（2023·重庆模拟）已知函数f（x）＝－（m＋1）x＋mln x＋m，f'（x）为函数f（x）的导函数.若xf'（x）－f（x）≥0恒成立，求m的取值范围. 解
　由题意知xf'（x）－f（x）≥0恒成立，即－mln x≥0恒成立，∴≥mln x（x＞0）. 
分离参数法求参数范围【例1】


【易错点】注意自变量的取值范围当x＝1时，≥mln x恒成立，当x＞1时，≥m；当0＜x＜1时，≤m. 


【卡壳点】分离参数，构造函数令g（x）＝，则g'（x）＝，当0＜x＜1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减且g（x）＜0，∴x→0时，→0，∴m≥0.当x＞1时，令g'（x）＝0，得x＝，∴当1＜x＜时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，当x＞时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（x）≥g（）＝e，∴m≤e.综上知0≤m≤e，故实数m的取值范围是[0，e]. 


｜解题技法｜求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关”（1）转化关：通过分离参数法，先转化为f（a）≥g（x）（或f（a）≤g（x））对任意x∈D恒成立，再转化为f（a）≥g（x）max（或f（a）≤g（x）min）；（2）最值关：求函数g（x）在区间D上的最大值（或最小值）.


　（2023·石家庄模拟）已知函数f（x）＝axex－（a＋1）（2x－1），当x＞0时，若函数f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围.解：由f（1）≥0，得a≥＞0，则f（x）≥0对任意的x＞0恒成立可转化为≥对任意的x＞0恒成立.设函数F（x）＝（x＞0），则F'（x）＝－.当0＜x＜1时，F'（x）＞0； 


∞）上单调递减，所以F（x）max＝F（1）＝.于是≥，解得a≥.故实数a的取值范围是. 
当x＞1时，F'（x）＜0，所以函数F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋


　已知函数f（x）＝x3－x2sin α＋x＋1，α∈，证明：存在α∈，使得不等式f（x）＞ex有解（e是自然对数的底数）. 
等价转化法求参数范围【例2】


　不等式f（x）＞ex等价于e－x＞1 ， 【卡壳点】等价转化，目的使不等式一侧为常数或是常见函数所以只需证e－x的最大值大于1，又α∈，－1≤－sin α≤，由x2∈[0，＋
∞），所以－x2sin α≤x2，当α＝－时等号成立，所以 e－x≤e－x， 
证明


∞，1）时，g'（x）≥0，g（x）单调递增，当x∈（1，＋
∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，因为 g（1）＝＝＞1，所以存在α∈，使不等式f（x）＞ex有解. 
【卡壳点】利用三角函数有界性进行放缩设函数g（x）＝e－x，g'（x）＝－x2（x－1）e－x，当x∈（－


｜解题技法｜1.含参不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，如f（x）≥a恒成立，则f（x）min≥a，然后利用最值确定参数满足的不等式，解不等式即得参数范围.2.含参不等式f（x）≥a（g（x）≤b）能成立问题等价于不等式有解问题，从而进一步转化为f（x）max≥a（g（x）min≤b）成立，求参数.


∞，4]. 
1.若不等式2xln x≥－x2＋ax－3在区间（0，e]上恒成立，求实数a的取值范围.解：不等式2xln x≥－x2＋ax－3在区间（0，e]上恒成立等价于2ln x≥－x＋a－在区间（0，e]上恒成立，令g（x）＝2ln x＋x－a＋，则g'（x）＝＋1－＝＝，则在区间（0，1）上，g'（x）＜0，函数g（x）为减函数；在区间（1，e]上，g'（x）＞0，函数g（x）为增函数.由题意知g（x）min＝g（1）＝1－a＋3≥0，得a≤4，所以实数a的取值范围是（－


∞）上单调递减，故h（x）≤h（0）＝1－a，即g'（x）≤1－a，要使f（x）－ax－1≤0在x≥0时恒成立，需要1－a≤0，即a≥1，此时g（x）≤g（0）＝0，故a≥1.综上所述，实数a的取值范围是[1，＋
∞）.
2.设函数f（x）＝（1－x2）ex，当x≥0时，f（x）≤ax＋1，求实数a的取值范围.解：令g（x）＝f（x）－ax－1＝（1－x2）ex－（ax＋1），令x＝0，可得g（0）＝0.g'（x）＝（1－x2－2x）ex－a，令h（x）＝（1－x2－2x）ex－a，则h'（x）＝－（x2＋4x＋1）ex，当x≥0时，h'（x）＜0，h（x）在[0，＋


　 设f（x）＝＋xln x，g（x）＝x3－x2－3.如果对于任意的s，t∈，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围. 
拆解法求参数范围【例3】


　对于任意的s，t∈，都有f（s）≥g（t）成立，等价于在区间上，函数f（x）min≥g（x）max，又g'（x）＝3x2－2x＝x（3x－2），所以g（x）在上单调递减，在上单调递增，g＝－，g（2）＝1，所以在区间上，g（x）的最大值为g（2）＝1.在区间上，f（x）＝＋xln x≥1恒成立等价于a≥x－x2ln x恒成立. 
解


∞）.
【卡壳点】将不等式恒成立问题等价转化分离参数设h（x）＝x－x2ln x，h'（x）＝1－2xln x－x，令m（x）＝xln x，由m'（x）＝ln x＋1＞0得x＞.即m（x）＝xln x在上是增函数，可知h'（x）在区间上是减函数，又h'（1）＝0，所以当1＜x≤2时，h'（x）＜0；当≤x＜1时，h'（x）＞0.即函数h（x）＝x－x2ln x在区间上单调递增，在区间（1，2]上单调递减，所以h（x）max＝h（1）＝1， 所以a≥1，即实数a的取值范围是[1，＋


｜解题技法｜双参数不等式问题的求解方法一般采用等价转化法：（1）∀x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，使f（x1）＞g（x2）⇔f（x）min＞g（x）max；（2）∃x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，使f（x1）＞g（x2）⇔f（x）max＞g（x）min；（3）∀x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，使f（x1）＞g（x2）⇔f（x）min＞g（x）min；（4）∃x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，使f（x1）＞g（x2）⇔f（x）max＞g（x）max.


1.设g（x）＝x3－x2－3，如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）－g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M.解：存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）－g（x2）≥M成立，等价于[g（x1）－g（x2）]max≥M成立.g'（x）＝3x2－2x＝x（3x－2），令g'（x）＝0，得x＝0或x＝，∵g＝－， 


又g（0）＝－3，g（2）＝1，∴当x∈[0，2]时，g（x）max＝g（2）＝1，g（x）min＝g＝－，∴M≤1－＝，∴满足条件的最大整数M为4. 


∞，0）和（3，＋
∞）. 
2.已知函数f（x）＝（x∈R），a为正实数. （1）求函数f（x）的单调区间；解：（1）因为f（x）＝（x∈R），所以f'（x）＝（x∈R），因为a＞0，所以令f'（x）＞0，得0＜x＜3；令f'（x）＜0，得x＜0或x＞3.所以f（x）的单调递增区间为（0，3），单调递减区间为（－


（2）若∀x1，x2∈[0，4]，不等式｜f（x1）－f（x2）｜＜1恒成立，求实数a的取值范围.解：（2）由（1）知f（x）在[0，3）上单调递增，在（3，4]上单调递减，所以f（x）在[0，4]上的最大值是f（3）＝.又f（0）＝－a＜0，f（4）＝11ae－4＞0，所以f（0）＜f（4），所以f（x）在[0，4]上的最小值为f（0）＝－a.若∀x1，x2∈[0，4]，不等式｜f（x1）－f（x2）｜＜1恒成立，则需f（x）max－f（x）min＜1在x∈[0，4]上恒成立，即f（3）－f（0）＜1，即＋a＜1，解得a＜. 又a＞0，所以0＜a＜.故实数a的取值范围为. 


∞）.由f'（x）＝－＋1＝＝，可得函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋
∞）上单调递增.所以f（x）min＝f（1）＝e＋1－a.又f（x）≥0，所以e＋1－a≥0，解得a≤e＋1，所以a的取值范围为（－
∞，e＋1]. 
1.（2022·全国甲卷·节选）已知函数f（x）＝－ln x＋x－a，若f（x）≥0，求a的取值范围. 解：由题意知函数f（x）的定义域为（0，＋


∞），使不等式f（x）－g（x）＋ex≤0成立，求a的取值范围. 解：因为∃x∈（0，＋
∞），使不等式f（x）－g（x）＋ex≤0成立，所以ax≤，即a≤，则问题转化为a≤.设h（x）＝，由h'（x）＝，令h'（x）＝0，得x＝. 
2.已知函数f（x）＝ax－ex（a∈R），g（x）＝，若∃x∈（0，＋


∞）内变化时，h'（x），h（x）随x变化的变化情况如下表：x（0，）（，＋
∞）h'（x）＋0－h（x）↗极大值↘xh'（x）＋0－h（x）↗↘由上表可知，当x＝时，函数h（x）有极大值，即最大值为，所以a≤.故a的取值范围是. 
当x在区间（0，＋


3.已知函数f（x）＝exsin x.（1）求函数f（x）的单调递增区间；解：（1）∵f（x）＝exsin x，x∈R，∴f'（x）＝exsin x＋excos x＝exsin，令f'（x）＞0，则sin＞0，解得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z. 


∞）上恒成立.设g（x）＝ex－x2，x＞0，则g'（x）＝ex－2x，令h（x）＝ex－2x，x＞0，则h'（x）＝ex－2，由h'（x）＝0，得x＝ln 2，∴g'（x）在（0，ln 2）上单调递减，在（ln 2，＋
∞）上单调递增，∴当x＝ln 2时，g'（x）min＝h（x）min＝eln 2－2ln 2＝2（1－ln 2）＞0，∴g'（x）＞0，∴g（x）在（0，＋
∞）上单调递增，∴g（x）＞g（0）＝1，∴a2－a－1≤1，解得－1≤a≤2，∴实数a的取值范围为[－1，2].
（2）当x＞0时，f（x）＞ex（sin x－1）＋x2＋a2－a－1恒成立，求实数a的取值范围.解：（2）由已知，当x＞0时，exsin x＞ex（sin x－