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12.3 角的平分线的性质第十二章 全等三角形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学上（RJ） 教学课件第1课时 角平分线的性质
学习目标1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.（难点）2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. （重点）
导入新课复习引入1.角平分线的概念 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.OBCA12
2.下图中能表示点P到直线l的距离的是 .线段PC的长PlABCD3.下列两图中线段AP能表示直线l1上一点P到直线l2的距离的是 .AAPPl1l2l1l2图1图2图1
讲授新课角平分线的尺规作图一 如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?ABC(E)D其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等.
1
2
ABMNNCO已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分线.仔细观察步骤 作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢!动手画一画作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.（2）分别以点MN为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.
角平分线的性质二如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P画出OA,OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.PAOBCDEPD=PE作图探究
∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.PAOBCDE证明：
∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴
∠PDO= PEO=90 °.在△∠PDO和△PEO中，∠PDO=
∠PEO，∠AOC= BOC
∠，OP= OP，
∴△PDO ≌ △PEO(AAS).∴PD=PE.
验证结论已知：如图， ∠AOC=
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.定理的作用： 证明线段相等.应用格式：∵OP 是∠AOB的平分线，∴PD = PE（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.知识要点PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC
判一判：（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BD CD×BADC
∵ 如图， DC⊥ACD，B⊥AB （已知）. ∴ = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BD CD×BADC
(2)
典例精析例 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.ABCDEF分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF.
DE⊥AB, DF⊥AC，∴ DE=DF, DEB=DFC
∠∠=90 °.在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，
∴Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).∴ EB=FC.
ABCDEF证明： ∵AD是∠BAC的角平分线，
，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= .60BFEBDFACG
∠°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .ABCD3E1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E
当堂练习2.△ABC中, C=90
∠BOC的依据是（ ）A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等ABMNNCOA
3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=
∠NOP，即OP平分∠AOB.
4.已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线，交点为P，画射线OP,则OP平分∠AOB.为什么？AOBMNP解：在△MOP和△NOP中， OM=ON， OP=OP，∴△MOP≌△NOP（HL）.∵△MOP≌△NOP，∴∠MOP=
课堂小结角平分线尺规作图属于基本作图，必须熟练掌握性质定理一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等辅助线添加过角平分线上一点向两边作垂线段
见《学练优》本课时练习课后作业
学习目标1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.（难点）2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. （重点）
导入新课复习引入1.角平分线的概念 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.OBCA12
2.下图中能表示点P到直线l的距离的是 .线段PC的长PlABCD3.下列两图中线段AP能表示直线l1上一点P到直线l2的距离的是 .AAPPl1l2l1l2图1图2图1
讲授新课角平分线的尺规作图一 如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?ABC(E)D其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等.
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ABMNNCO已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分线.仔细观察步骤 作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢!动手画一画作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.（2）分别以点MN为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.
角平分线的性质二如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P画出OA,OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.PAOBCDEPD=PE作图探究
∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.PAOBCDE证明：
∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴
∠PDO= PEO=90 °.在△∠PDO和△PEO中，∠PDO=
∠PEO，∠AOC= BOC
∠，OP= OP，
∴△PDO ≌ △PEO(AAS).∴PD=PE.
验证结论已知：如图， ∠AOC=
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.定理的作用： 证明线段相等.应用格式：∵OP 是∠AOB的平分线，∴PD = PE（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.知识要点PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC
判一判：（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BD CD×BADC
∵ 如图， DC⊥ACD，B⊥AB （已知）. ∴ = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BD CD×BADC
(2)
典例精析例 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.ABCDEF分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF.
DE⊥AB, DF⊥AC，∴ DE=DF, DEB=DFC
∠∠=90 °.在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，
∴Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).∴ EB=FC.
ABCDEF证明： ∵AD是∠BAC的角平分线，
，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= .60BFEBDFACG
∠°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .ABCD3E1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E
当堂练习2.△ABC中, C=90
∠BOC的依据是（ ）A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等ABMNNCOA
3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=
∠NOP，即OP平分∠AOB.
4.已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线，交点为P，画射线OP,则OP平分∠AOB.为什么？AOBMNP解：在△MOP和△NOP中， OM=ON， OP=OP，∴△MOP≌△NOP（HL）.∵△MOP≌△NOP，∴∠MOP=
课堂小结角平分线尺规作图属于基本作图，必须熟练掌握性质定理一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等辅助线添加过角平分线上一点向两边作垂线段
见《学练优》本课时练习课后作业
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