第十四章 整式的乘法与因式分解八年级数学上（RJ） 教学课件复习课知识网络专题复习 课堂小结课堂训练


形特
络式相反变形因式分解（提公因式、公式法）相反变形知识网络知识网殊
幂
的
运
算
（平方差、完全平方公式）算乘法公式运逆互
性
质整式的乘法整式的除法


专题一 幂的运算性质【例1】计算(2a)3(b3)2÷4a3b4.【解析】幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除.【答案】原式=8a3b6 ÷4a3b4=2a3-3b6-4=2b2.专题复习专题复习


【例2】计算(-8)2016 ×(0.125)2015.【解析】此题可先用同底数幂的乘法的逆运算，将（-8）2016化为（-8） ×（-8）2015，再用积的乘方的性质的逆运算进行计算.【答案】原式=（-8）×（-8）2015 ×（0.125）2015=（-8）[（-8） ×0.125]2015=（-8）×（-1）2015=8.【点拨】运用幂的运算公式，可将问题化繁为简，负数乘方结果的符号，奇次方得负，偶次方得正.


∴20>1510.
【归纳拓展】幂的运算性质包括同底数幂的乘方、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法.这四种运算性质贯穿全章，是整式乘除及因式分解的基础.其逆向运用可以使一些计算简便，从而培养一定的计算技巧，达到学以致用的目的.【配套训练】1.下列计算不正确的是（ ）A.2a3 ÷a=2a2 B. (-a3)2=a6 C. a4 ·a3=a7 D. a2 ·a4=a82. (1)计算：0.252015 ×（-4）2015-8100 ×0.5301；（2）比较大小：420与1510.D【答案】（1）原式=[0.25 ×（-4）]2015-（23）100 ×0.5300 ×0.5 =-1-（2 ×0.5）300 ×0.5 =-1-0.5=-1.5；（2） ∵420=（42）10=1610，1610>1510, 4


22
.xy当x=1,y=3时，原式=-
33
22224
xy-=��-=13
33333
专题二 整式的运算【例3】计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)] ÷3x2y,其中x=1,y=3.【解析】在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则.【答案】原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2) ÷3x2y =(2x3y2-2x2y) ÷3x2y = .


1
2
xx--2
2
【归纳拓展】整式的乘除法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式以及单项式除以单项式、多项式除以单项式，其中单项式乘以单项式是整式乘除的基础，必须熟练掌握它们的运算法则，整式的混合运算，要按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序进行，有括号的要算括号里的.【配套训练】 (1)一个长方形的面积是a2-2ab+a,宽为a,则长方形的长为 ；（2）已知多项式2x3-4x2-1除以一个多项式A,得商为2x，余式为x-1,则这个多项式是 .a2-2b+1


专题三 整式的乘法公式的运用【例4】先化简再求值：[(x-y)2+(x+y)(x-y)] ÷2x,其中x=3,y=1.5.【解析】运用平方差公式和完全平方公式，先计算括号内的，再计算整式的除法运算.【答案】原式=(x2-2xy+y2+x2-y2) ÷2x =(2x2-2xy) ÷2x =x-y. 当x=3,y=1.5时，原式=3-1.5=1.5.


∵x2+9y2+4x-6y+5=0,
∴(x2+4x+4)+(9y2-6y+1)=0，∴(x+2)2+(3y-1)2=0.∴x+2=0,3y-1=0,解得x=-2, y= ,
12
1
xy-�==-(2).
333
【归纳拓展】整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，而完全平方公式又分为两个：两数和的完全平方公式和两数差的完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度.【配套训练】 (1)求方程(x-1)2-(x-1)(x+1)+3(1-x)=0的解；（2）已知x2+9y2+4x-6y+5=0,求xy的值.【答案】(1)原方程可化为-5x+5=0,解得x=1.(2)


专题四 分解因式【例5】判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由： (1)a2-4+3a=(a+2)(a-2)+3a; (2)(a+2)(a-5)=a2-3a-10; (3)x2-6x+9=(x-3)2 (4)3x2-2xy+x=x(3x-2y)2.【答案】(1)不是，因为最后不是做乘法运算，不是积的形式；（2）不是，因为从左边到右边是做乘法运算；（3）是；（4）不是，因为令x=2,y=1,左边=10，右边=32，不是恒等变形.这种方法叫赋值法.是一种比较好的方法，希望掌握！


【点拨】（1）多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；（2）判断过程要从左到右保持恒等变形.【归纳拓展】因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆运算，分解因式的方法主要是提公因式法和公式法，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求分解到每一个因式都不能再分解为止.


【配套训练】 (1)下列变形，是因式分解的是（ ） A. a(x+y)=ax+ay B. x2+4xy+y2-1=x(x+4y)+(y+1)(y-1) C. am2-a=a(m+1)(m-1) D. m2-9n2+3=(m+3n)(m-3n)+3.（2）分解因式：（x+y)2-4(x+y-1).解：原式=（x+y)2-4(x+y)+4 =(x+y-2)2.C


专题五 实际问题转化为数学模型【例6】如图所示，在边长为a的正方形中剪去边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证公式是 .baaaabbbbba-b


际问题转高问题，提化为数学了数学的应用性.
【解析】通过图形面积的计算，验证乘法公式，从图形中的阴影 部分可知其面积是两个正方形的面积差（a2-b2),又由于图的梯形的上底是是2b,下底是2a,高为a-b,所以梯形的面积是 （2a+2b)(a-b) ÷2=(a+b)(a-b),根据面积相等，得乘法公式a2-b2=(a+b)(a-b).【答案】a2-b2=(a+b)(a-b).【点拨】数形结合思想是一种重要的数学思想，它为验证某些公式提供了方便.【归纳拓展】通过应用公式，我们可以把实


道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积
来表示，实际上还有一个代数恒等式也可以用这种形式来表
示，例如（2a+b)(a+b)=22+3ab+b2,a就可以用图①和图②等图形的面积
表ab.aaabbab示aba2a2b2图
②
①b2a2a2abababaaabb图
【配套训练】 我们已知


请写出图③所表示的代bbaabaabab数恒等式；abababa2a2b2b2图
请画一个几何图形，使它的面积能表示（a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2.（1）
④.图
③【答案】(1) (2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2; (2)如图
④a2baababababb2b2b2
（2）


①am ·an=am+n②(am)n=amn
③(ab)n=anbn④am÷an=am-n(m,n都是正整数）整式的乘除法
①单×单②
单×多
③多×式•单÷单
与整式乘法的
区别与联系步骤一提二套三
⑤多÷单乘法公式因式分解定义搞清楚
检查(a+b)(a-b)=a2-b2(a±b)2=a2±2ab+b2课堂小结课堂小结
整式乘除与因式分解幂的运算性质


关于xy、的完全平方式，则k等于（ ）A. 3y2 B. 9y2 C. y D. 36y2B3. 如果a+ =3,那么
1
1
a2+ = .
2
a7课堂训练课后训练
a
1.已知（a+b)2=11, (a-b)2=7,则ab等于（ ）A. 1 B. -1 C. 0 D. 1或-1A2. 如果4x2+12xy+k是一个


25
b解: (a+b)2-(a-b)2 =[(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)] =2a·2b =4ab.当 ， 时，原式=4× × =2275a=
44
25
b=
44
25
22
44
75
2
.
3
4.已知 , ,求（a+b）2-(a-b)2的值. 7522a


3=5，2ｎ=3，求2ｍｍ+2ｎ的值
．解：23ｍ+2ｎ=23ｍ×22ｎ=（2ｍ）3×（2ｎ）2 =53 × 32=1125.
5.若2