21.1 一元二次方程第二十一章 一元二次方程


一、情境导入 雷锋纪念馆前的雷锋雕像高为2m,设计者当初设计它的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比,等于下部与全部（全身）的高度比,即下部高度的平方等于上部与全部的积,如果设此雕像的下部高为xm,则其上部高为(2-x)m,由此可得到的等量关系如何？它是关于x的方程吗？如果是,你能看出它和我们以往学过的方程有什么不同吗？


二、探索新知解：依题意得：x²=2(2-x)， 即x²+2x-4=0. 显然这个方程只含有一个未知数，且x的最高次数为2.


如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50cm． 在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？探 究 1对于上述问题，你能设出未知数，列出相应的方程吗？


x 设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为(100-2x ) cm，宽为(50-2x ) cm.根据方盒的底面积为3600 cm2，得 (100-2x )(50-2x )=3600. 整理，得 4x 2-300x +1400=0. 化简，得 x2-75x +350=0.


比赛组织者应该邀请多少个队参赛？对于上述问题，你能设出未知数，列出相应的方程吗？ 探 究 2
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，


1
xx1)28(-=
2
请问： （1）这次排球赛共安排 场； （2）若设应邀请x个队参赛，则每个队与其他 个队各比赛一场，这样应共有 场比赛； （3）由此可列出的方程为 化简得 . 28x-1x(x-1)x²-x-56=0


2
xx-=+024
2
xx　次-+=　2等号两边都是整式，方程为含有一个未知数，且未知数的最高次数只．050375
2
xx-=56




　一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．


从探究问题2中可以看出，由于参赛球队的支数 x 只能是正整数，由此可列下表：x12345678910...x²-x-56-56-54-50-44-36-26-140 可以发现，当x=8时，x²-x-56=0，所以x=8是方程x²-x-56=0的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.探 究 3


三、掌握新知分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可.证明：m2-8m+17=(m-4)2+1. ∵(m-4)2≥0， ∴(m-4)2+1>0，即(m-4)2+1≠0. ∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程.


例例22 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0).因此，方程3x(x-1)=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等.解：去括号，得3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.


2
20axbxc++=
2
xxx-+=-251
()()
370x+=
5
2
30x-=
x
2
x=3
560xmx+-=
2130axx-+=A-13a≠1
()
四、巩固练习1.在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）① ，② ，③ ，④ . A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.已知方程 的一个根是 ，则m的值为__ _．3.关于x的方程 是一元二次方程，则a的取值范围是_________.


2
xx--=02100
4.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式，指出其二次项系数、一次项系数和常数项.(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x. ，其中二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-25；24250x-= ，其中二次项系数为1，一次项系数为12，常数项为-100.


、归纳小结
一
元
二
次
方
程1.本节课要掌握： （1）一元二次方程的概念； （2）一元二次方程的一般形ax2+bx+c=0(a≠0)和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用.2.通过这节课的学习，你还有哪
些收获？　五