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7.3 复数的三角表示(精讲)-2022版高中数学新同步精讲精炼(必修第二册)(教师版含解析).docx
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7.3 复数的三角表示(精讲)思维导图常见考法


33i-;(2)
22i-.【答案】(1)
1111pp77pp
����
33i23-=oisincs+2i22-=cnisiso+
����
6644
��(2)��【解析】(1)
2
2
r因为与.=+-=3233
()
11p
arg33i-=,所以
()
33i-对应的点在第四象限,所以
6
1111pp
��
33i23-=oisincs+
��
66
��.(2)
22
r-==+.因为与222
()()
7p
arg22i-=,所以
()
22i-对应的点在第四象限,所以4
77pp
��
22i2=-cinsiso+
��
44
�0.【例1-2】.(2�20·全国高一课时练习)把下列复数的三角形式化成代数形式.(1)
pp
��
4cosisin+
��
33
��;(2)
55pp
��
3cosisin+
��
44
��.【答案】(1)
3232
--i
223+(2)i
22
考法一 复数的三角表示【例1-1】(2020·全国高一课时练习)把下列复数的代数形式化成三角形式.(1)


��
13
pppp
����
+=�+�=i322i44
��
4cosisin4cos4sini+==+
������
22
3333
������.(2)
����
5555223232pppp
����
icosisin3cos3sini33i3+=+=�-+�-=--
����
����
����
44442222
����
����.【举一反三】1.(2020·全国高一课时练习)画出下列复数对应的向量,并把这些复数表示成三角形式:(1)
13
)+;(2i
22
1-.【答案】(1)作图见解析;i
77pp
��
13pp
n2cossi1-=+ii
=作图见解析)(2++;iinissoc
��
44
��【解析】(1)复数
2233
13
+对应的向量如图所示,则i
22
2
2
��
131
��
r=+==1,cosq
��
��
222
��
��.因为与
��
13p
13
arg+=i
��
+对应的点在第一象限,所以i
223
��.于是
22
13pp
.+=+iinissoc
2233
【解析】(1)


1-对应的向量如图所示,则i
12
22
r=.===-+因为与1soc,2)1(q
2
2
7p
arg(1)于是-=.i
1-对应的点在第四象限,所以i
4
77pp
��
n2cossi1-=+ii
��
44
��.当然,把一个复数表示成三角形式时,辐角
pp
��
����
2cossin-+-i
����
��
44
����
q不一定取主值.例如��也是1.-的三角形式(12.(2020·全国高一课时练习)将下列各复数的三角形式转化为代数形式:)i
)3(cossin4pp+;i
(2)复数


1111pp
��
6cossin+i
��
66
��;(3)
44pp
��
32cossin+i
��
33
��;(4)
33pp
��
8cossin+i
��
22
��.【答案】(1)
3236
--(4)i
-(2)34333-(3)i
22(1)-【解析】8i
33(cossin)43(10)44pp)(2+=-+�=-.ii
��
111131pp
��
3cossin6336=-+=-iii
��
��
6622
��
��.(3)
��
44133236pp
��
32cossin32--=+=--iii
��
��
332222
��
��.(4)
33pp
��
8cossin8(0)8=-+=-iii
��
22
��.3.(2020·全国高一课时练习)将下列各复数转化为三角形式(辐角取辐角主值):(1)
232)--;(22i
i;(3)
13)-;(4i
-.【答案】(1)3
1111pp33pp55pp
������
4cossin+incos2is+i2cossin+i
������
662233
��;(2))��(3;��;(4)
3(cossin)pp+i
(2)


31
22csoq=,nsiq=-,又
r=-+=,4)2()32(
22
1111pp
��
11p
in324coss2-=+ii
q=,∴
��
qp�,∴)[0,2
66
��.(2)∵
6
os0cq=,1sinq=-,又
r=,2
3p
q=,∴
qp�,∴)[0,2
2
33pp
��
+-=issonc22ii
��
22
��.(3)∵
13
cosq=,
22sinq=-,又
r=+-=,1(3)2
22
5p
q=,∴
qp�,∴)[0,2
3
55pp
��
in32coss1-=+ii
��
33
��.(4)∵
r=,3
os1cq-=,0nsiq=,又
qp�,∴)[0,2
qp=.∴
)全国高一课时练习·020(2】-=+.考法二 复数的辅角【例2复数33()nissocppi
55pp
zi ) A=-+的辐角主值为( .socnis
1818
61.pC2.pD7p【答案】D
5pB.
18999
【解析】(1)∵


5577pppp
7】.故选:D【举一反三p1.(2020·全国)复数
izi,=+-=+故复数nisosccosnis
z的辐角主值为
1818999
p而得到.则zz的值为-( )A.
uuuur绕原点
21
arg()
z=,1z由向量OZ
121O逆时针方向旋转32
pC.4p【答案】C【解析】
pB.2pD.
6333
uuuuruuuur
pp13
OZOZ=+=+s)cniso(ii
21
z=,1+=\,zi0is0cosn
113322
zz-113-2p
21
所以复数在第二象限,设幅角为\=+()i\=故选:C2.(2020·全国高一课时练习)若复数q
tan3q=-
2222q,3
arg 为( z )A.
zi-=-(13
i为虚数单位),则

【解析】由C-B.120°C.240°D.210°【答案】021
1
cosq=-,所以

arg240z3.故选:C.=.(2020·辽宁辽师大附中高一期末)把复数
zi-=-,得复数13z对应的点在第三象限,且
2
p和5p后,重合于向量
uuuruuur
z1与z2对应的向量
OAOB,分别按逆时针方向旋转
43
uuuur且模相等,已知
zi-=-,则复数13的代数式和它的辐角主值分别是z( )A.
OM21
3pB.3ppp
C.-+,22i.D--,22iB【答案】-+,22i
,--22i
4444
【解析】


pppp55
����
zizicncossinisso+=+
12����
4433
����,则
����
2213
iiiz--=+=--231
����()
1
����
2222
����,
--221i
--222()
===-\=+zi22
1
111++-iii
22()()
+,可知i
22
3B..故选:p考法三 复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义【例3】(2020·全国高一课时练习)计算下列各式:(1)
-,则它的辐角主值为2,2
()
z对应的坐标为
14
pppp22
����
ncossin23cossi3+�+ii
����
3333
����;(2)
11
��
��
5cos15sin12+�-+i
()
��
22
��;(3)
55pp
��
��
��
2cossin2cos135sin135+�+ii
()
��
��
33
��;(4)
��
13��pp
��
-�+iin2cossi
��
����
��
2233
��
��
��.【答案】(1)
623131+-26
(3-+;)i(4-+);i(1--【解析】)i
)-;(26222244
pppp22
����
ncossin23cossi3+�+ii
����
3333
����
��pppp22
����
-+++==+=)ossinc66(nisiosc6ppi
������
3333
����
��.(2)
11
��
��
5cos15sin12+�-+ii
()
��
22
��
【解析】由题可知


pppp332
����
+=+�sncosiinsosc2ii
����
1212244
����
��pppp33
����
=+++2incosis
����
��
124124
����
��
��
5531pp
��
+�=+=-22nisoscii
��
��
��
6622
��
��
62
=-+.(3)i
22
55pp
��
��
��
2cossin2cos135sin135+�+ii
()
��
��
33
��
5533pppp��
����
+=+�sn2cosiinsosc2ii
������
3344
����
��
25353��pppp
����
=-+-cnossii
����
��
3434
2
����
��
1111pp
��
=+2csinosi
��
1212
��
pp
��
=�-+2incossi
��
1212
��
��
6262+-
=�-+2i
��
��
44
��
3131+-
=-+.(4)i
22
��
13����pp
-�+iin2cossi
��
����
��
2233
��
��
��
55pppp��
����
+=+�s2cosninisoscii
����
��
3333
����
��


155��pppp
����
=-+-cinosis
����
��
3333
2
����
��
244pp
��
=+csinosi
��
233
��
��
213
=�--i
��
��
222
��
26
)=--.【举一反三】1.(2020·全国高一课时练习i
44
pppp
����
cosisin3cosisin+�+=
����
2266
����( )A.
333333333333
+B.i-C.i-.D+iC--【答案】【解析】i
22222222
pppppppp��
��������
nosisin3cosisin3cosisic+�+==+++
��������
��
22662626
��������
��
22333pp
��
+-=+=niisiosc3
��
3322
��.故选:C2.(2020·全国高一课时练习)
2nii9cos3issn33cos2i(pppp.B+�+=( )A.3)()
3iD.【解析】-【答案】B3i
-C.3
9cos3isin33cos2isin2933pppp�++=-�=-.故选:B3.(2020·全国高一课时练习)
()()
1
cos30sin302cos60sin603cos45sin45� �+ ��+���+�=( )iii
()()()
2


3232323232323232
+B.i-C.i-.D+iC--【答案】【解析】i
22222222
1
0os30sin302cos60sin6c�+�+����ii
()()
3cos45sin45�+�i
()
2
1
�+�+�+�+�+���=2604530nis540603soc3��i
()()
��
2
��=+n35si1135soc3i
()
��
22
=-+3i
��
��
22
��
3232
)=-+.故选:C.4.(2020·全国高一课时练习)计算下列各式,并作出几何解释:(1i
22
����22pppp
incossin22coss2+�+ii
����
3333
����(2)
11
��
��
5cos75sin72+�-ii
()
��
22
��(3)
��33pp
��
��
ncos300sin3002cossi4+�+ii
()
��
��
44
��
��(4)
��
13��pp
��
+�+-iinissoc2
��
��
��
��
2233
����
��.【答案】(1)-4,几何解释见解析 (2)
62
(3+,几何解释见解析 )i
+(4 见解析 ,几何解释--+)1)13()3(i
22
13
+,几何解释见解析i
44
A.


几何解释:设-=+-�=+��=.24)01(4)nissco(22ppi
22pppp
����
iziz+=+=sco2sin2,inssoc2
12����
3333
����,作与
uuuuruuuur,然后把向量
uuur绕原点
zz对应的向量,OZOZ,
1212OZ
1
p,再将其长度伸长为原来的
O按逆时针方向旋转
3
22倍,得到一个长度为4,辐角为
π的向量
uuur,则uuur即为积
zz原式�=-所对应的向量.(2)4
OZOZ12
��
222
��
-=+�7ins575osc2ii
()��
��
222
��
2
����
+�+=s5sin75co7315sin315soc2
()()
2
��
3162
��
+=+=�+=2390nis039osc2iii
()��
��
2222
��.几何解释:设
112
����
zizi==-++=,作与i315ssn315oc,57nis57soc2
()()
12
222
uuuuruuuur,然后把向量
uuur绕原点
zz对应的向量,OZOZ,
1212OZ
1
O按逆时针方向旋转315°,再将其长度缩短为原来的
2
p 的向量
2,得到一个长度为2、辐角为6
62
uuur,则uuur即为积
zzi所对应的向量=+�.(3)原式
12
OZOZ22
5533pppp��
����
+=+�sn2cosiinsosc4ii
����
��
3344
����
��
【解析】(1)原式


1111pppp
����
+=+=�-s22coinsinssoc22ii
����
12121212
����
��
6262+-
-+-=+-�=+2)13()13(2ii
��
��
44
��.几何解释:设
55pp33pp
����
��
iiz++==sin3004cossin03soc04zi=+2incoss
()
12
����
3344
��,��作与
uuuuruuuur,然后把向量
zz对应的向量,OZOZ,
1212
3p,再将其长度缩短为原来的
OZ绕原点0按顺时针方向旋转
14
1
11p的向量
uuur,则
2,得到一个长度为
22,辐角为12OZ
z
1
-)(4.所对应的向量=-++原式1)13()3(i
uuur即为
z
OZ2
22pppp��
����
+=+�s2cosninisoscii
����
��
3333
����
��
��
111313pp
��
+�=+==+cnisosiii
��
��
��
23322244
��
��.几何解释:设
1322pppp
��
iziiz+==+=+-nissoc2,nisosc
1��
223333
��,作与
uuuuruuuur,然后把向量
uuur绕原点
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