∥b的充要条件a＝λb(λ∈R)x1y2－ x2y1＝ 0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤
§5.3　平面向量的数量积考试要求　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．知识梳理1．向量的夹角已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠ AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．2．平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.3．平面向量数量积的几何意义设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e与b是方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cos θ e.4．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积a·b＝|a||b|cos θa·b＝x1x2＋ y1y2模|a|＝|a|＝夹角cos θ＝cos θ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋ y1y2＝ 0a


(当且仅当a∥b时等号成立)常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．有关向量夹角的两个结论已知向量a，b.(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b0，则a和b的夹角为锐角．(　×　)(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．(　√　)(4)(a·b)·c＝a·(b·c)．(　×　)教材改编题1．(多选)(2022·海南省临高二中模拟)设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论正确的是()A．0·a＝0B．a·b＝b·c，则a＝cC．a·b＝0⇒a⊥bD．(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2答案　CD2．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.答案　23．已知向量a，b满足3|a|＝2|b|＝6，且(a－2b)⊥(2a＋b)，则a，b夹角的余弦值为________．答案　－解析　设a，b的夹角为θ，依题意，(a－2b)·(2a＋b)＝0，则2a2－3a·b－2b2＝0，故2×4－3×2×3·cos θ－2×32＝0，则cos θ＝－.题型一　平面向量数量积的基本运算


例1　(1)(2021·北京)a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，则(a＋b)·c＝_________；a·b＝________.答案　0　3解析　∵a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，∴a＋b＝(4,0)，∴(a＋b)·c＝4×0＋0×1＝0，a·b＝2×2＋1×(－1)＝3.(2)(2022·广州模拟)在平面四边形ABCD中，已知AB＝DC，P为CD上一点，CP＝3PD，|AB|＝4，|AD|＝3，AB与AD的夹角为θ，且cos θ＝，则AP·PB＝________.答案　－2解析　如图所示，∵AB＝DC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵CP＝3PD，∴AP＝AD＋DP＝AB＋AD，PB＝AB－AP＝AB－AD，又∵|AB|＝4，|AD|＝3，cos θ＝，则AB·AD＝4×3×＝8，∴AP·PB＝·＝AB·AD－AD2＋AB2＝×8－9＋×42＝－2.教师备选1．(2019·全国Ⅱ)已知AB＝(2,3)，AC＝(3，t)，|BC|＝1，则AB·BC等于(　　)A．－3 B．－2 C．2 D．3答案　C解析　因为BC＝AC－AB＝(1，t－3)，所以|BC|＝＝1，解得t＝3，所以BC＝(1,0)，所以AB·BC＝2×1＋3×0＝2.2．在边长为2的正三角形ABC中，M是BC的中点，D是线段AM的中点．①若BD＝xBA＋yBC，则x＋y＝________；②BD·BM＝________.


答案　　1解析　①∵M是BC的中点，∴BM＝BC，∵D是AM的中点，∴BD＝BA＋BM＝BA＋BC，∴x＝，y＝，∴x＋y＝.②∵△ABC是边长为2的正三角形，M是BC的中点，∴AM⊥BC，且BM＝1，∴BD·BM＝|BD||BM|cos∠DBM＝|BM|2＝1.思维升华　计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．跟踪训练1　(1)(2021·新高考全国Ⅱ)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________.答案　－解析　由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，因此a·b＋b·c＋c·a＝－.(2)(2020·北京)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP＝(AB＋AC)，则|PD|＝________；PB·PD＝________.答案　　－1解析　建立如图所示的平面直角坐标系，∵AP＝(AB＋AC)，∴P为BC的中点．∴点P的坐标为(2,1)，点D的坐标为(0,2)，点B的坐标为(2,0)，∴|PD|＝，PB＝(0，－1)，PD＝(－2,1)，∴PB·PD＝－1.题型二　平面向量数量积的应用命题点1　向量的模例2　已知向量a，b满足|a|＝6，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则|a＋b|＝____________，|a－3b|＝________.


答案　2　6解析　因为|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝6×4×＝12，(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝36＋24＋16＝76，(a－3b)2＝a2－6a·b＋9b2＝36－72＋144＝108，所以|a＋b|＝2，|a－3b|＝6.命题点2　向量的夹角例3　(2020·全国Ⅲ)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉等于()A．－ B．－ C. D.答案　D解析　∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，∴cos〈a，a＋b〉＝＝＝＝.命题点3　向量的垂直例4　(2021·全国乙卷)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.答案　解析　方法一　a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，∵(a－λb)⊥b，∴(a－λb)·b＝0，即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0，∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝.方法二　由(a－λb)⊥b可知，(a－λb)·b＝0，即a·b－λb2＝0，从而λ＝＝＝＝.教师备选1．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)A. B. C. D.答案　B解析　设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cos α＝，∵α∈[0，π]，∴α＝.


2．已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋e2|＝，则|e1－e2|＝________.答案　1解析　由|e1＋e2|＝，两边平方，得e＋2e1·e2＋e＝3.又e1，e2是单位向量，所以2e1·e2＝1，所以|e1－e2|2＝e－2e1·e2＋e＝1，所以|e1－e2|＝1.思维升华　(1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解．(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．跟踪训练2　(1)已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝a＋b，则sin〈a，c〉等于(　　)A. B. C. D.答案　B解析　方法一　设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则c＝(，)，∴cos〈a，c〉＝＝，∴sin〈a，c〉＝.方法二　a·c＝a·(a＋b)＝a2＋a·b＝，|c|＝＝＝＝3，∴cos〈a，c〉＝＝＝，∴sin〈a，c〉＝.(2)(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sinβ)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则(　　)A．|OP1|＝|OP2|B．|AP1|＝|AP2|C.OA·OP3＝OP1·OP2D.OA·OP1＝OP2·OP3答案　AC


提一个行李包的(况情如图所示)．
假设行李包所受的重力所为G，受的两个拉力＝别为F1，F2，若|F1|分|F2|，且F1与F2的夹角为θ，则以下结论正确的是(　　)A．|F1|的
最小|G|B．θ的范围为[0，π]C．当θ＝时，|F1|值为＝|G|D．当θ＝时，|F1|＝|G|答案　ACD解析　由题意知，F1＋F2＋G＝0，可得F1＋F2＝－G，两边同时平方得|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos θ＝2|F1|2＋2|F1|2cos θ，所以|F1|2＝.当θ＝0时，|F1|min＝|G|；当θ＝时，|F1|＝|G|；当θ＝时，|F1|＝|G|，故A，C，D正确；
解析　由题意可知，|OP1|＝＝1，|OP2|＝＝1，所以|OP1|＝|OP2|，故A正确；取α＝，则P1，取β＝，则P2，则|AP1|≠|AP2|，故B错误；因为OA·OP3＝cos(α＋β)，OP1·OP2＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，所以OA·OP3＝OP1·OP2，故C正确；因为OA·OP1＝cos α，OP2·OP3＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β)＝cos(α＋2β)，取α＝，β＝，则OA·OP1＝，OP2·OP3＝cos ＝－，所以OA·OP1≠OP2·OP3，故D错误．题型三　平面向量的实际应用例5　(多选)(2022·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共


竖直方向上没有分力与重力平衡，不θ∈[0成立，所以，π)，故B错误．教师备选若平面上的三个
力F1，F2，F，3作用于一点且处于平衡状态 已知|F1|＝1，N，|F2|＝ N，F1与F2的夹角为45°，求：(1)F3的
大小3(2)F；与F1夹角的
大小(解　．1)∵三个
力平衡0∴F1＋F2＋F3＝，，∴|F3|＝|F1＋F2|＝＝＝＝1＋.(2)方法一　设F3与F1的夹角为θ，则|F2|＝，即＝，解得cos θ＝－，∵θ∈[0，π]，∴θ＝.方法二　设F3与F1的夹角为θ，由余弦定理得cos(π－θ)＝＝，∵θ∈[0，π]，∴θ＝.思维升华　用向量方法解决实际问题的
步骤跟踪训练3　(2022·沈阳
河中模拟)渭二某处南北两岸某行，平图所示，如艘游船从南岸码头A出
发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|ν1|＝10，km/h 水流速度的大小|为ν2|＝6 km/h.设ν1与ν2的夹角为120°，北
岸的点A′在，头A的码北方向正那么该游船航行到北
岸的位置(　　)应A．在A′东
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