§8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求　1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识梳理1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)相离相切相交图形量化方程观点Δ0几何观点d>rd＝rd r1＋ r2外切d ＝ r1＋ r2相交| r1－ r2||r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝3.(2)圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为______________，公共弦长为________．答案　x－2y＋4＝0　2解析　联立两圆的方程得两式相减


间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作
差x2，y2项得到．跟踪训练2消去　(1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)A．内切 B．相交 C．外切 D．相离答案　B解析　由题意得圆M的标
准a程为x2＋(y－方)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2，圆M，圆N的圆心距|MN|＝小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差1，故两圆相交．(2)(2022·长
沙拟)已知圆C1：x2＋y2＋4x－2模y－4＝0，圆则C2：2＋2＝，这圆的公共弦长为(　　)A．5 B．2 C．2 D．1答案　C解析　由题意知圆C1：x2＋y2＋4x－2y两－4＝0，圆C2：x2＋y2＋3x－3y－1＝0，将两圆的方程相减，得x＋y－3＝0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为x＋y－3＝0.又因为圆C1的圆心为(－2,1)，半径r＝3，所以圆C1的圆心到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝2.所以
这2＝2两圆的公共弦的弦长为＝2.公元
前3世纪，古希腊数学在阿波罗尼斯(Apoll家nius)o《平面轨迹》一书，中多的平面研究了众曾
轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之
比的等于知数动点已迹轨为直线或圆．如满，点A，B为两定点，动点P图足|PA|＝λ|PB|.则λ＝1时，动点P的
轨迹的直线为当λ>0且λ≠1时，动点P；迹轨圆为，后世为称之罗尼斯阿波
圆．证
明|AB|＝2m(：设m>0)，|PA|＝λ|PB|轴，以AB的中点为原点，直线AB为x建(标系，则A立平面直角坐－m，0)，B(m，0)．又设P(x，y)，则由|PA|＝λ|PB|得＝λ，
之


边平方并化简整2(λ理得－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2)．当λ＝1时，x＝0，
轨迹λAB的垂直平分线；当λ>0且为线段≠1时，2＋y2＝，
轨迹(1例1　为以点为圆心，为半径的圆．)已知平面直角坐标系中，A(－2,0)，B(2,0)，则满足|PA|＝2|PB|的点P的
轨迹_圆心坐标为的_______．答案　解析　设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得＝2，整
理得2＋y2＝，所以点P的
轨迹).(2的圆心坐标为已知圆O：x2＋y2＝1和点A，若定点B(b，0)和常数λ满足：对圆O上
任意一点M，都|MB|＝λ|MA有|，则λ＝________，△MAB面
积________的最大值为．答案　2　解析　设点M(x，y)，由|MB|＝λ|MA|，得(x－b)2＋y2＝λ2，整
理得x2＋y2－x＋＝0，所以解得如
图所示，S△MAB＝|AB|·|yM|，由图可知，当|yM|＝1，即M的坐标为(0,1)或(0，－1)时，S△MAB取得最大值，故△MAB的面
积的最大值为××1＝.例2　
如中，点Oxy图所示，在平面直角坐标系A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也
在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，
使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横．a的取值范围．解　(1)联立得圆心为C(3,2)坐标切线的斜率存在，设切线方程为y＝kx＋3.圆心C到切线的距离d＝＝r＝1，得k＝0或k＝－.
两


轨迹)(0，－1为以为圆心，2为半径的圆，可
记为圆D.又因为点M也
在圆C上，故圆C与圆D的关系为相交或相切．故1≤|CD|≤3，其中|CD|＝.解得0≤a≤.即圆心C的
横坐标a的取值范围是.课
时精1．圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x－3)2＋(y－2)练2＝4的公切线的条数是(　　)A．1 B．2 C．3 D．4答案　C解析　圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为C1(－1,2)，半径为2，圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的圆心为C2(3,2)，半径为2，两圆的圆心距|C1C2|＝＝4＝2＋2，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，故两圆外切，故公切线的条数为3.2．过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为(　　)A．3x＋4y－4＝0B．4x－3y＋4＝0C．x＝2或4x－3y＋4＝0D．y＝4或3x＋4y－4＝0答案　C解析　当斜率不存在时，直线x＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，则＝1，解得k＝，得切线方程为4x－3y＋4＝0.综上，得切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.3．(2022·沧州
模拟)若圆C：x2＋16x＋y2＋m＝0被直线3x＋4y＋4＝0截得的弦长为6，则m等于(　　)A．26 B．31 C．39 D．43答案　C解析　将圆化为(x＋8)2＋y2＝64－m(m1”是
曲线C表示圆的充要条．当B件m＝3时，直线l与
曲C表示的圆相交所得的弦长为1C．“线m＝－3”是直线l与
曲线C表示的圆相切的充分不必要条D件．当m＝－2时，
曲C与圆x2＋y2＝线1有两个公共点答案　C解析　对于A，
曲，C：x2＋y2线＋4x＋2my＋5＝0⇒(x＋2)2＋(y＋m)2＝m2－1曲表C要线示圆，则m2－1>0⇒m1，所以“m>1”是
曲线C表示圆的充分不必要条件3A错误；对于B，m＝，故时，直线l：x＋y＋1＝0，曲
线C：(x＋2)2＋(y＋3)2＝26，圆心到直线l的距离d＝＝5，所以弦长＝2＝2＝2，故B错误；对于C，若直线l与圆相切，则圆心到直线l的距离d＝＝⇒m＝±3，所以“m＝－3”是直线l与
曲线C表示的圆相切的充分不必要条件C正确；，对于D，当m＝－2时，
曲C：线(x＋2)2＋(y－2)2＝3，其圆心坐标为(－2,2)，r＝，
所以圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝＝4，该距离与弦长的一半及半径组成直角三角形，所以42＋32＝64－m，解得m＝39.4．(2022·广州


，故两圆相离，不C与圆x2＋y2＝1的圆心距为＝2>＋1线会D错误．6．(有两个公共点，多选)(2022·海口
模拟)已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则(　　)A．圆O1和圆O2有两条公切线B．直线AB的方程为x－y＋1＝0C．圆O2上存在两点P和Q使
得|PQ|>|AB|D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋答案　ABD解析　对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故A正确；对于B，将两圆方程作
差得－2x可＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程为x－y＋1＝0，故B正确；对于C，直线AB经
过圆O2的圆心(0,1)，所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在yAB长的弦，故C错误；对于D，圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径为2，圆心到直线AB：x－比＋1＝0的距离为＝，所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋，D正确．7．(2021·天津)若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2＋(y－1)2＝1相切于点B，则|AB|＝________.答案　解析　设直线AB的方程为y＝x＋b，则点A(0，b)，由于直线AB与圆x2＋(y－1)2＝1相切，且圆心为C(0,1)，半径为1，则＝1，解得b＝－1或b＝3，所以|AC|＝2，因为|BC|＝1，故|AB|＝＝.8．若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________．答案　8解析　圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，所以|C1C2|＝5.又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，所以线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8.9．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．解　(1)根据题意，圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，则圆C的标
准2x方程为＋(y－4)2＝4，其圆心为(0,4)，半径r＝2，
曲


轨迹|(2)当|OP|＝方程；OM|时，求l的方程及△POM的面
积解　(1)圆C的方程可化为x2＋(y－．4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则CM＝(x，y－4)，MP＝(2－x，2－y)．由题设知CM·MP＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的
轨迹x(方程是－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由(1)可知M的
轨迹点N(1,3)为圆心，为半径的圆．由于|是以OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，故l的方程为x＋3y－8＝0.又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，所以|PM|＝，S△POM＝××＝，故△POM的面
积为.11．
如上圆C：(x－a)2果＋(y－a)2＝8总到在两个点存原点的距离均(，则实数a的取值范围是(　　)A．为－3，－1)∪(1,3) B．(－3,3)C．[－1,1] D．(－3，－1]∪[1,3)答案　A解析　到原点的距离为的点的
轨迹圆C1方程为：x2＋y2＝2，因此圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上
总存在两个点到原点的距离均为，转
化为圆C1：x2＋y2＝2与圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8有两个交点，
若直线l与圆C相切，则有＝2，解得a＝－.(2)设圆心C到直线l的距离为d，则2＋d2＝r2，即2＋d2＝4，解得d＝，则有d＝＝，解得a＝－1或a＝－7，则直线l的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0.10．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的


四到直线l：x－y＋b＝0的距离等于2个点，则实数b的取值范围是(　　)A．(－∞，1－5)∪(1＋5，＋∞)B．(1－5，1＋5)C．(－∞，1－)∪(1＋，＋∞)D．(1－，1＋)答案　D解析　由C：(x－1)2＋(y－2)2＝9知圆心C(1,2)，半径为3，若圆C：(x－1)2��