§4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念考试要求　1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．知识梳理1．角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．(2)分类(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－ α.(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．(2)公式角α的弧度数公式|α|＝(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝ rad；1 rad＝°弧长公式弧长l＝| α | r扇形面积公式S＝lr＝| α | r 23.任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．(2)任意角的三角函数的定义(推广)：设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．


思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．(　×　)(2)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是.(　×　)(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．(　×　)(4)若sin α>0，则α的终边落在第一或第二象限．(　×　)教材改编题1．若sin α0，则α是(　　)A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案　C2．已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．答案　12π解析　∵α＝30°＝，l＝αr，∴r＝＝12，∴扇形面积S＝lr＝×2π×12＝12π.3．若角α的终边过点(1，－3)，则sin α＝________，cos α＝________.答案　－　题型一　角及其表示例1　(1)(多选)下列命题正确的是(　　)A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}B．终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}C．第三象限角的集合为D．在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°答案　AD解析　B项，终边落在y轴上的角的集合为，角度与弧度不能混用，故错误；C项，第三象限角的集合为，故错误；D项，所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°，k∈Z，令－720°≤45°＋k·360°≤0°(k∈Z)，解得－≤k≤－(k∈Z)，从而当k＝－2时，β＝－675°；


当k＝－1时，β＝－315°，故正确．(2)已知α为第三象限角，则是第______象限角，2α是________的角．答案　二、四　第一、二象限或y轴的非负半轴上解析　∵α是第三象限角，即2kπ＋π0，L＝2r＋单
调递增r＝，所以当2时，扇形的周长取得最小l值．此时＝＝4，故扇形的圆心角α＝＝＝2.思维升华　应
用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要
注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积
最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解
决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地)跟踪训练2　(1利用圆心角所在的三角形．(2022·莆田模拟)《掷铁饼者》
取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健
的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满
弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为米，整个肩宽约为米．“弓”所在圆的半径约为1.25米
．则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：≈1.414，≈1.73)(　　)A．1.612米
B．1.768米C．1.868米
D．2.045米答案　B解析　由
题意得，“弓”所在的弧长为l＝＋＋＝，R＝1.25＝，∴其所对的圆心角α＝＝＝，∴两
手之间＝＝d的距离×1.25≈1.768.(2)一个扇形的面积是1 cm2，它的
周_是4 cm，则圆心角为_____长__弧度，弧长为________cm.
∴l＝|α|·r＝×4＝π(cm)．2．已知扇形的面积是4 cm2，当扇形


由 解得所以弧长l＝αr＝2，所以扇形的圆心角为2弧度，弧长为2题意得cm.题型三　三角函数的概念例3　(1)若sin θ·cos θ0，则角θ是(　　)A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案　D解析　由>0，得>0，所以cos θ>0.又sin θ·cos θ0，cos α>0
tan α＝.课


为－2π0，cos α>0.5．(多选)下列
说法正确的有(　　)A．
经30分钟，钟表的分针转过π过弧度B．1°＝ radC．若sin θ>0，cos θ0，可得θ为第一、第二象限及y轴正半轴上的角；由cos θ0，cos α0D．sin α0，所以α是第四象限角．(2)因
为|OM|＝1，所以2＋m2＝1，解得m＝±.又α为第四象限角，故m0.(1)求角α的集合；(2)求的终边所在的象限；(3)试判断tan sin cos 的符号．解　(1)由sin α0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，其集合为.(2)由(1)知2kπ＋π0，cos 0，当在第四象限时，tan 0，所以tan sin cos >0，综
上，tan sin cos 的符号为正．
则sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，故sin α＋cos α＝－＝.8．已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形面积为________．答案　3π解析　∵120°＝，l＝αr，∴r＝＝＝3，∴S＝lr＝×2π×3＝3π.9．已知＝－，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．解　(1)由


是(　　)A．M∩N＝∅ B．MNC．NM D．M＝N答案　C解析　M＝{α|α＝45°＋2k·45°，k∈Z}＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}，N＝{α|α＝2×45°＋k·45°，k∈Z}＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}，∵2k＋1表示所有奇数，k＋2表示所有
整∴N数，M.12．已知角α(0≤α<2π)终边上一点的坐标为，则α等于(　　)A. B. C. D.答案　D解析　因
为sin ＝，cos ＝－，所以角α(0≤α<2π)终边上一点的坐标为，故角α的终边在第四象限，且tan α＝－，
又0≤α<2π，所以α＝.13.(2022·佛山模拟)《九章
算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出弧了田(由圆弧和其所对弦所围成)面积的
计算公式：弧田面积＝(弦×矢＋指2)．公式矢“弦”中圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的
最高离到弦的距点．如图，弧田是BA由和其所对弦AB围成的图形，若弧
田用AB长为，弧所在的圆的半径为4的，则利九章《算术》弧中的田面积公式
计算出来的面积与实际面积之差为__________．答案　8＋2－解析　设AB所对圆心角的弧度为α，由
题意可知α×4＝，解得α＝.故扇形AOB的面积为××4＝π，△AOB的面积为×sin ×42＝4，故弧
田实际O4.作的面积为－D⊥AB分
别AB，交AB于点D，C，则AB＝4，OD＝2，CD＝2，所以利用
《九章算术》中的弧田面积公式计＋×(4×2算出来的面积为22)＝4＋2，则所求
差值为(4＋2)－
11．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系


发，P沿向着直线l右运动，Q沿着圆
周按逆向以时针方相同的速度运动，当Q运动也点到A时，点P停止运动，连接连Q，O
接OP交圆O于点B(如图)，则阴影部分的面积S1，S2的大小关系__是______．答案　S1＝S2解析　设点P，Q的
运动速度为v，运动时间t，圆O的半径为r，则AQ＝AP＝为t切线的性，根据v
质，OA⊥AP知∴S1＝t
v·r－S扇形AOB，S2＝t
v·r－S扇形AOB，∴S1＝S2.15．若角α的终边落在直线y＝x上，角β的终边与单位圆交于点，且sin α·cos β<0，则cosα·sin β＝________.答案　±解析　由
，β的终边与单位圆交于点角得cos β＝，si由又n α·cos β<，知，sin α<00因y角α的终边落在直线为＝x上，所以角α只
能是第三象限角．记P为角α的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x<0，y<0)，则|OP|＝1(O为坐标原点)，即x2＋y2＝1，
又由y＝x得x＝－，y＝－，所以cos α＝x＝－，
因2＋m为点在单位圆上，所以2＝1，解得m＝±，所以sin β＝±，所以cos α·sin β＝±.16．在一
块1顶角为20°、腰长为2的等腰三角形用钢板废料OAB中，厚电焊切割现扇形，成
有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？解　因
、△AOB是顶角为120°为腰长为2的等腰所以A＝B＝30°＝，AM＝BN＝1，三角形，AD＝2，所以方案一中扇形的弧长＝2×＝；方案二中扇形的弧长＝1×＝；方案一中扇形的面积＝×2×2×＝，方案二中扇形的面积＝×1×1×＝.由
此可见，两种方案中可利用废料的面积相等，方案一中切割时间短．因此方案一最优．
＝8＋2－.14．已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出