§10.4　随机事件与概率考试要求　1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算．知识梳理1．样本空间和随机事件(1)样本点和有限样本空间①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．(2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件．②表示：大写字母A，B，C，….③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．2．两个事件的关系和运算含义符号表示包含关系A发生导致B发生A ⊆ B相等关系B⊇A且A⊇BA ＝ B并事件(和事件) A与B至少一个发生A∪B或A＋B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B＝∅互为对立A与B有且仅有一个发生A ∩ B ＝ ∅，A ∪ B ＝ Ω3.频率与概率(1)频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．(2)频率稳定性的作用：可以用频率fn(A)估计概率P(A)．常用结论1．为方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形．2．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事件互斥是对立的必要不充分条件．3．随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件A发生的频率逐渐稳定于事件A发生的概率．思考辨析


判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)必然事件一定发生．(　√　)(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　√　)(3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(　×　)(4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件．(　×　)教材改编题1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是(　　)A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都不中靶答案　D解析　“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．2．把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1 000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为________．答案　0.5解析　掷一次硬币正面朝上的概率是0.5.3．先后两次抛掷同一枚硬币，若正面向上记为1；若反面向上，则记为0，则这个试验的样本空间中有________个样本点．答案　4解析　这个试验的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}，共4个样本点.题型一　随机事件与样本空间例1　(1)在1,2,3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和大于5”这一事件是(　　)A．必然事件 B．不可能事件C．随机事件 D．以上选项均有可能答案　A解析　从1,2,3，…，10这十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字和的最小值为1＋2＋3＝6，∴事件“这三个数字的和大于5”一定会发生，∴由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件．(2)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，观察摸出球的颜色，则此随机试验的样本点个数为 (　　)A．5 B．6 C．7 D．8答案　D解析　因为是有放回地随机摸3次，所以随机试验的样本空间为Ω＝{(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，红)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，


升华　确定样本空间的方法(1)必
须明确事件发生的条件．(2)根据
意，题按的一定次序出列问题的答案．特别要注是结果出现的机会意均等的，按规律去
写，要做到既不重复也不遗漏1跟踪训练．　(1)下列
说法错误的是(　　)A．任一事件的概率
总．不可能事件的概率一定为[0,1]内B在0C．必然事件的概率一定为1D．概率是随机的，在试验
前　答案　D解析不能确定任一事件的概率
总,在[01]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，概率是客观存在的，是一个确定值．(2)同时抛掷两枚完全相同的
骰(x，y)表示结果，记A子，用为“所得点数之．5”，则事件A包含的样本点的个数是(　　)A．3 B．4 C．5 D和小于6答案　D解析　事件A包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个样本点．题型
二1例2　(　事件的关系与运算)(多选)某
人打靶时连续射击两次，设有件A＝“只事一次中靶”，B＝“两次都中靶”，则下列结论正确的是(　　)A．A⊆BB．A∩B＝∅C．A∪B＝“至少一次中靶”D．A与B互为对立事件答案　BC解析　事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，所以A，B是互斥但不是对立事件，所以AD选项
错误选项正确．B，A∪B＝“至少一次中靶”，C选项正确．(2)(多选)将颜色分别为红、
绿、白、蓝4的个小球随机分给甲、乙、丙、4丁个人，每人一
黑，黑)}．共8个．教师备选一只口袋装有除颜色外，形状、大小等完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中分两次依次取两个球．(1)写出这个试验的样本空间；(2)“至少有1个白球”这一事件包含哪几个样本点？解　(1)这个试验的样本空间Ω＝{(白，白)，(黑，黑)，(红，红)，(白，黑)，(白，红)，(黑，白)，(红，白)，(黑，红)，(红，黑)}．(2)“至少有1个白球”这一事件包含以下5个样本点：(白，白)，(白，黑)，(白，红)，(黑，白)，(红，白)．思维


分得红球”与事件“乙”分得白球是互斥不对立事件B．事件“甲
分得红球”与事件“乙”分得红球是互斥不对立事件C．事件“甲
分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁D”分得红球．当事件“甲
分得红球”的对立事件发生时，事件“乙发生的概率是”分得红球答案　BD解析　事件“甲
分得红球”与事件“乙错误”分得白球可以同时发生，不是互斥事件，A；事件“甲
分得红球”与事件“乙分得红球”不能同时发生，是互斥事件，除了甲分得红球或者乙
分得红球以外，丙或者丁B也可以分得红球，正确；事件“甲
分得绿球，乙分得蓝球”与事件“丙分得白球，丁可以同时发生，不是”分得红球对立事件，C错误
；事件“甲
分得红球”的对立事件是“甲没有分得红球”，因此乙、丙、丁三人中有一个人分得红球，事件“乙
分得红球”发生的概率是，D正确．教师备选1．抛掷一
颗质地均匀的骰“Ci＝子，有如下随机事件：点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6；D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，D3＝“点数大于5”；E＝“点数为
奇F”，数＝“点数为偶下列结论正确的是”．数(　　)A．C1与C2对立 B．D1与D2互斥C．D3⊆F D．E⊇(D1∩D2)答案　C解析　对于A，C1＝“点数为1”，C2＝“点数为2”，C1与C2互斥但不对立，
故对于项A不正确；选B，D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，当出现的点是2时，D1与D2同时发生，所以D1与D2不互斥，
故B不正确；对于C，D3＝“选项点数大于5”表示出现6点，F＝“点数为
偶”，所以D3发生F数一定发生，所以D3⊆F，
故C正确；选项对于D，D1∩D2表示两个事件同时发生，即出现2点，E＝“点数为
奇，”数所以D1∩D2发生，事件E不发生，所以E⊇(D1∩D2)不正确，
故)D不正确．2．(多选选项从1至9这9个
自然数中任取两个，有如下随机事件：A＝“恰
有一个偶”；数B＝“恰有一个奇C”；数＝“至少有一个是
奇D”；数＝“两个数都是偶数”；E＝“至多有一个
奇　　”．下列结论正确的有(数)A．A＝B B．B⊆CC．D∩E＝∅ D．C∩D＝∅，C∪D＝Ω
个，则(　　)A．事件“甲


奇一偶，A故正确；至少有一个奇一，指两个数是数奇一偶，或是两个
奇数，所以，⊆CB故B正确；至多有一个奇数指一奇一偶，或是两偶此，时事件D，E有
公共事件，故C错误DC，D是对立事件，所以C∩；此时＝∅，C∪D＝Ω.思维
升华　事件的关系运算(1)策略互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生．(2)进行
要件的运算时，一是事紧扣运算的定义，二考是全面要虑验一条件下的试同可能出现的全
部全结果，必时可列出要部的试验结果进行可分．也析类比运合的关系和集用Venn图
分析事件．跟踪训练2　(1)(2022·长春模拟)口袋中装有3个红球和4个黑球，每个球编有不同的号
码现从中取出3，个球，则互斥而不对立的事件是(　　)A．至少有1个红球与至少有1个黑球B．至少有1个红球与都是黑球C．至少有1个红球与至多有1个黑球D．
恰有1个红球与恰对2个红球答案　D解析　有于A，不互斥，如取出2个红球和1个黑球，与至少有1个黑球不是互斥事件，所以A不符合题意；对于B，至少有1个红球与都是黑球不能同时发生，且必有其中1个发生．所以为互斥事件，且为对立事件，所以B不符合题意；对于C，不互斥．如取出2个红球和1个黑球，与至多有1个黑球不是互斥事件，所以C不符合题意；对于D，
恰个红有1球与恰如2个红球不能同时发生，所以为互斥事件，但有立，不对还3个红球．(2)有抛掷一枚质地均匀的
骰机，有如下随子事件：Ai��