§9.2　用样本估计总体考试要求　1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．知识梳理1．百分位数一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．2．平均数、中位数和众数(1)平均数：＝(x1＋x2＋…＋xn)．(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)．(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．3．方差和标准差(1)方差：s2＝(xi－)2或－2.(2)标准差：s＝.4．总体(样本)方差和总体(样本)标准差(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则总体方差S2＝(Yi－)2.(2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝i(Yi－)2.常用结论巧用三个有关的结论(1)若x1，x2，…，xn的平均数为1，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a；(2)数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变；(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．(　×　)(2)方差与标准差具有相同的单位．(　×　)(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．(　√　)(4)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．(　√　)


教材改编题1．(多选)给出一组数据：1,3,3,5,5,5，下列说法正确的是(　　)A．这组数据的极差为4B．这组数据的平均数为3C．这组数据的中位数为4D．这组数据的众数为3和5答案　AC解析　这组数据的极差为5－1＝4，A正确；平均数为＝，B错误；中位数为＝4，C正确；众数为5，D错误．2．(多选)下列说法正确的是(　　)A．众数可以准确地反映出总体的情况B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大答案　CD解析　对于A，众数体现了样本数据的最大集中点，但对其他数据信息的忽略使得无法客观反映总体特征，所以A错误；对于B，一组数的平均数不可能大于这组数据中的每一个数据，所以B错误；对于C，平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势，所以C正确；对于D，方差可以用来衡量一组数据波动的大小，方差越小，数据波动越小，方差越大，数据波动越大，所以D正确．3．一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15, 17,17,18,18，则该组数据的第75百分位数为________．答案　14.5解析　∵75%×20＝15，∴第75百分位数为＝14.5.题型一　样本的数字特征和百分位数的估计例1　(1)从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下：82,85,88,90,92,92,92,96,96,98(单位：分)，则这10名同学数学成绩的众数、第25百分位数分别为(　　)A．92,85 B．92,88C．95,88 D．96,85答案　B解析　数据92出现了3次，出现的次数最多，所以众数是92；将一组数据按照由小到大的顺序排列，计算10×25%＝2.5，取第三个数，第25百分位数是88.延伸探究　本题中，第70百分位数是多少？


好学生”称号，还要求学生在近期连续3次大型考试中，每次考试的名次都在全校前5名(每次考试无
并列名次)．现有甲、乙、丙、丁四位同学都获得了“三好学生”称号，四
位同学在近期连续3次大型考试名次的数据分别为甲
同学：平均数为3，众数为2；乙同学：中位数为3，众数为3；丙
同学：众数为3，方差小于3；丁同学：平均数为3，方差小于3.则一定
符合推荐要求的同学有(　　)A．
甲和乙 B．乙和丁C．
丙和丁 D．甲和丁答案　D解析　对于
甲次考试的成绩的名次为3，众数为2，则3同学，平均数为2,2,5，满足要求；对于
乙3，众数为3，同学，中位数为可举反例：3,3,6，不
满足要求；对于
丙3，方差小于3同学，众数为，可举特例：3,3,6，则平均数为4，方差s2＝×[2×(3－4)2＋(6－4)2]＝23，与已知条件
矛盾x1，x2，，所以x3均不大于5，满足要求．思
维升华计算一组n　个数据第p百分位数的步骤
解　10×70%＝7，第70百分位数是第7项与第8项的平均数，为＝94.(2)已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为s2，则(　　)A.＝4，s24，s24，s2>2答案　A解析　设7个数为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，则＝4，＝2，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝28，(x1－4)2＋(x2－4)2＋(x3－4)2＋(x4－4)2＋(x5－4)2＋(x6－4)2＋(x7－4)2＝14，则这8个数的平均数为＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋4)＝×(28＋4)＝4，方差为s2＝×[(x1－4)2＋(x2－4)2＋(x3－4)2＋(x4－4)2＋(x5－4)2＋(x6－4)2＋(x7－4)2＋(4－4)2]＝×(14＋0)＝0.5，所以中位数位于[70,80)内，设中位数为x，则0.35＋0.03(x－70)＝0.5，解得x＝75，所以中位数的估计值为75分，
故C正确；样本平均数的估计值为45×(10×0.005)＋55×(10×0.020)＋65×(10×0.010)＋75×(10× 0.030)＋85×(10×0.025)＋95×(10×0.010)＝73(分)，
故D错误．思
维升华　频率分布直方图的数字特征(1)众数：最高
矩形的底边中点的横坐标．(2)中位数：中位数
左边和右边的矩形的面积和应该相等．(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于
各组区间的中点值与对应频率之积踪跟的和．训练2　首
次实施新高考的日省(市)于2021年八月231统一举行了新高考适应性考试，在
联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基
计划．在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的
联考数成绩学作，为样本并按照分数，[50,70)，[70,90)段[90,110)，[110,130)，[130,150]分组，
绘制了如图所示的频率分布直方图．
A．频率分布直方图中第三组的频数为10B．


并估计本次考试及格及格率(“率”指分9得分为0及以上的学生所占比)例；(2)估计该校学生
联百分位数；80考数学成绩的第(3)估计该校学生
联考数学成绩的众数、平均数．解　(1)由频率分布直方图的
性质0可得(0.，04＋a＋0.013＋0.014＋0.016)×20＝1，解得a＝0.003.所以
及格1(0.0率为6＋0.014＋0.003)×20＝0.66＝66%.(2)得分在110分以下的学生所
占比0(0.例为04＋0.013＋0.016)×20＝0.66，得分在130分以下的学生所
占比0．66＋0.014×20＝例为0.94，所以第80百分位数位于[110,130)内，由110＋20×＝120，估计第80百分位数为120分．(3)由图可得，众数估计值为100分．平均数估计值为0.08×60＋0.26×80＋0.32×100＋0.28×120＋0.06×140＝99.6(分)．题型三　总体离散程度的估计例3　(2021·全国乙卷)某
厂研制了一种生产高精产品的设备为，验检新设备生品产产的某项指
有无标提，高用一台旧一备和设台新设备各生产件了10品产，到得各件产品项该指旧数据如下：标
设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧
设备和新设备生产产品的该项指s和s.(1)求，，标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s，s；(2)判断新设备生
产品产项的该指标的均值较旧设备是否有显著提则(如果－≥2，高认备生为新设
产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提)高．解　(1)由表
格中的数据易.＝×(－0.2＋0.3＋0＋0.2－0得1－0.2＋0＋0.1＋0.2－0.3)＋10.0＝10.0，＝×(0.1＋0.4＋0.1＋0＋0.1＋0.3＋0.6＋0.5＋0.4＋0.5)＋10.0＝10.3，s＝×[(9.7－10.0)2＋2×(9.8－10.0)2＋(9.9－10.0)2＋2×(10.0－10.0)2＋(10.1－10.0)2＋2×(10.2－10.0)2＋(10.3－10.0)2]＝0.036，
(1)求出图中a的值


而2＝＝，有显然－>2成立，所以认设新为备生产产品
该项的指均标值的较旧有设备显著提高．教师备选从某
企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质
量指[75，标值分组85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125]频数62638228(1)根
据上表补全如图所示的频率分布直方图；(2)估计这
种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根
以据上抽样查调否数据，能认为该企业生产的这质种品符合“产量指标值不低于产品5的9
至少要占全部产品的80%”的规定？解　(1)补全
后的频率分布直方图如图所示．(2)质
量指为值的样本平均数标＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质
量指s值的样本方差为标2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋02×0.38＋102×0.22＋202×0.08
s＝×[(10.0－10.3)2＋3×(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋2×(10.4－10.3)2＋2×(10.5－10.3)2＋(10.6－10.3)2]＝0.04.(2)由(1)中数据可得－＝10.3－10.0＝0.3，


种产品质量指标值的平均数约为100，方差约为104.(3)质
量指标值不低于的59产品所占比例约.0.38＋0为22＋0.08＝0.68.由于该估计值小��