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§5.1 平面向量的概念及线性运算考试要求 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度 ( 或模 )．(2)零向量：长度为0 的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1 个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法a－b＝a＋(－b)数乘|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ|b|，则a>b.( × )(3)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( × )(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．( √ )教材改编题1．(多选)下列命题中，正确的是( )A．若a与b都是单位向量，则a＝bB．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量C．若用有向线段表示的向量AM与AN不相等，则点M与N不重合D．海拔、温度、角度都不是向量答案 CD解析 A错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；B错误，由于只有方向，没有大小，故x轴、y轴不是向量；C正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；D正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量．2．下列各式化简结果正确的是( )A.AB＋AC＝BCB.AM＋MB＋BO＋OM＝AMC.AB＋BC－AC＝0D.AB－AD－DC＝BC答案 B
当λ＝0时，λa＝0λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则OF＝(OA＋OB)．3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则PA＋PB＋PC＝0⇔P为△ABC的重心，AP＝(AB＋AC)．4．若OA＝λ
3．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.答案 －解析 由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以解得题型一 向量的基本概念例1 (1)(多选)给出下列命题，不正确的有( )A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B．若A，B，C，D是不共线的四点，且AB＝DC，则四边形ABCD为平行四边形C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥bD．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线答案 ACD解析 A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B正确，因为AB＝DC，所以|AB|＝|DC|且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；C错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；D错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是( )A.AD＝BC B.AC＝BDC.PE＝PF D.EP＝PF答案 D教师备选(多选)下列命题为真命题的是( )A．若a与b为非零向量，且a∥b，则a＋b必与a或b平行B．若e为单位向量，且a∥e，则a＝|a|eC．两个非零向量a，b，若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b共线且反向D．“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件答案 ACD
∥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析 若a＋b＝0，则a＝－b，则a∥b，即充分性成立；若a∥b，则a＝－b不一定成立，即必要性不成立，即“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．题型二 平面向量的线性运算命题点1 向量加、减法的几何意义例2 (2022·济南模拟)已知单位向量e1，e2，…，e2 023，则|e1＋e2＋…＋e2 023|的最大值是________，最小值是________．答案 2 023 0解析 当单位向量e1，e2，…，e2 023方向相同时，|e1＋e2＋…＋e2 023|取得最大值，|e1＋e2＋…＋e2 023|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2 023|＝2 023；当单位向量e1，e2，…，e2 023首尾相连时，e1＋e2＋…＋e2 023＝0，所以|e1＋e2＋…＋e2 023|的最小值为0.命题点2 向量的线性运算
思维升华 平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．(4)是与a同方向的单位向量．跟踪训练1 (1)(多选)下列命题正确的是( )A．零向量是唯一没有方向的向量B．零向量的长度等于0C．若a，b都为非零向量，则使＋＝0成立的条件是a与b反向共线D．若a＝b，b＝c，则a＝c答案 BCD解析 A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；B项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；C项，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即a与b是反向共线时才成立，故C正确；D项，由向量相等的定义知D正确．(2)对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a
AB＋yAD，则x＋y等于( )A. B．－C. D．－答案 C解析 如图所示，
例3 (多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD，E是BC边上一点，且BC＝3EC，F是AE的中点，则下列关系式正确的是( )A.BC＝－AB＋ADB.AF＝AB＋ADC.BF＝－AB＋ADD.CF＝－AB－AD答案 ABD解析 因为BC＝BA＋AD＋DC＝－AB＋AD＋AB＝－AB＋AD，所以选项A正确；因为AF＝AE＝(AB＋BE)＝，而BC＝－AB＋AD，代入可得AF＝AB＋AD，所以选项B正确；因为BF＝AF－AB，而AF＝AB＋AD，代入得BF＝－AB＋AD，所以选项C不正确；因为CF＝CD＋DA＋AF＝－AB－AD＋AF，而AF＝AB＋AD，代入得CF＝－AB－AD，所以选项D正确．命题点3 根据向量线性运算求参数例4 (2022·青岛模拟)已知平面四边形ABCD满足AD＝BC，平面内点E满足BE＝3CE，CD与AE交于点M，若BM＝x
，调研)在△ABC中春延长BC至，M使得BC＝2CM点连接AM，点N为AM上一点且AN＝AM，若AN＝λ
AB＋μμC，则λ＋A等于( )A. B.C．－ D．－答案 A解析 由题意，知AN＝AM＝(AB＋BM)＝AB＋×BC＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC，又AN＝λ
AB＋μμC，所以λ＝－，A＝，则λ＋μ＝.思维升华 平面向量线性运算的常
见类型及解题策略
易知BC＝4AD，CE＝2AD，BM＝AM－AB＝AE－AB＝(AB＋BE)－AB＝(AB＋6AD)－AB＝－AB＋2AD，∴x＋y＝.教师备选1．(2022·太原模拟)在△ABC中，AD为BC边上的中线，若点O满足AO＝2OD，则OC等于()A.－AB＋AC B.AB－ACC.AB－AC D.－AB＋AC答案 A解析 如图所示，∵D为BC的中点，∴AD＝(AB＋AC)，∵AO＝2OD，∴AO＝AD＝AB＋AC，∴OC＝AC－AO＝AC－＝－AB＋AC.2．(2022·长
差用向量减法的几何意义．(2)求参数
问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较跟踪训练2，求参数的值． (1)点G为△ABC的重心，
设BG＝a，GC＝b，则AB等于( )A．b－2a B.a－bC.a＋b D．2a＋b答案 A解析 如图所示，由题意可知AB＋BG＝GC，故AB＝GC－2BG＝b－2a.(2)(2022·大连模拟)在△ABC中，AD＝2DB，AE＝2EC，P为线段DE上的
动点，若AP＝λ
AB＋μλC，A，μ∈R，则λ＋μ等于( )A．1 B. C. D．2答案 B解析 如图所示，由题意知，AE＝AC，AD＝AB，设DP＝x
DE，所以AP＝AD＋DP＝AD＋x
DE＝AD＋x(AE－AD)＝x
AE＋(1－x)AD＝x
AC＋(1－x)AB，所以μ＝x，λ＝(1－x)，所以λ＋μ＝x＋(1－x)＝.题型三 共线定理及其
应用例5 设
两向量a与b不共线．(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．求
证A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使：ka＋b和a＋kb共线．(1)证明 ∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB.∴AB，BD共线，
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求
公＋B，∴A，B，D三点共线．(2)解 ∵ka共点b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.教师备选1．已知P是△ABC所在平面内一点，且满足PA＋PB＋PC＝2AB，若S△ABC＝6，则△PAB的面
积( )A．2 B．为3C．4 D．8答案 A解析 ∵PA＋PB＋PC＝2AB＝2(PB－PA)，∴3PA＝PB－PC＝CB，∴PA∥CB，且两向量方向相同，∴＝＝＝3，又S△ABC＝6，∴S△PAB＝＝2.2．
设个非零向量a与b不共线，若a与b两的起点相同，且a，tb，(a＋b)的终点在同一条直线上，则实数t的值为________．答案 解析 ∵a，tb，(a＋b)的终点在同一条直线上，且a与b的起点相同，∴a－tb与a－(a＋b)共线，即a－tb与a－b共线，∴存在实数λ，使a－tb＝λ，又a，b为两个不共线的非零向量，∴解得思维升华 利
用共线向量定理解题的＝(1)a∥b⇔a策略λb(b≠0)是判断两个向量共线的
主要依2(据．)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(3)OA＝λ
OB＋μC(λ，μ为实数)，若OA，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.跟踪训练3 (1)若a��
当λ＝0时，λa＝0λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则OF＝(OA＋OB)．3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则PA＋PB＋PC＝0⇔P为△ABC的重心，AP＝(AB＋AC)．4．若OA＝λ
3．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.答案 －解析 由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以解得题型一 向量的基本概念例1 (1)(多选)给出下列命题，不正确的有( )A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B．若A，B，C，D是不共线的四点，且AB＝DC，则四边形ABCD为平行四边形C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥bD．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线答案 ACD解析 A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B正确，因为AB＝DC，所以|AB|＝|DC|且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；C错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；D错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是( )A.AD＝BC B.AC＝BDC.PE＝PF D.EP＝PF答案 D教师备选(多选)下列命题为真命题的是( )A．若a与b为非零向量，且a∥b，则a＋b必与a或b平行B．若e为单位向量，且a∥e，则a＝|a|eC．两个非零向量a，b，若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b共线且反向D．“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件答案 ACD
∥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析 若a＋b＝0，则a＝－b，则a∥b，即充分性成立；若a∥b，则a＝－b不一定成立，即必要性不成立，即“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．题型二 平面向量的线性运算命题点1 向量加、减法的几何意义例2 (2022·济南模拟)已知单位向量e1，e2，…，e2 023，则|e1＋e2＋…＋e2 023|的最大值是________，最小值是________．答案 2 023 0解析 当单位向量e1，e2，…，e2 023方向相同时，|e1＋e2＋…＋e2 023|取得最大值，|e1＋e2＋…＋e2 023|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2 023|＝2 023；当单位向量e1，e2，…，e2 023首尾相连时，e1＋e2＋…＋e2 023＝0，所以|e1＋e2＋…＋e2 023|的最小值为0.命题点2 向量的线性运算
思维升华 平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．(4)是与a同方向的单位向量．跟踪训练1 (1)(多选)下列命题正确的是( )A．零向量是唯一没有方向的向量B．零向量的长度等于0C．若a，b都为非零向量，则使＋＝0成立的条件是a与b反向共线D．若a＝b，b＝c，则a＝c答案 BCD解析 A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；B项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；C项，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即a与b是反向共线时才成立，故C正确；D项，由向量相等的定义知D正确．(2)对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a
AB＋yAD，则x＋y等于( )A. B．－C. D．－答案 C解析 如图所示，
例3 (多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD，E是BC边上一点，且BC＝3EC，F是AE的中点，则下列关系式正确的是( )A.BC＝－AB＋ADB.AF＝AB＋ADC.BF＝－AB＋ADD.CF＝－AB－AD答案 ABD解析 因为BC＝BA＋AD＋DC＝－AB＋AD＋AB＝－AB＋AD，所以选项A正确；因为AF＝AE＝(AB＋BE)＝，而BC＝－AB＋AD，代入可得AF＝AB＋AD，所以选项B正确；因为BF＝AF－AB，而AF＝AB＋AD，代入得BF＝－AB＋AD，所以选项C不正确；因为CF＝CD＋DA＋AF＝－AB－AD＋AF，而AF＝AB＋AD，代入得CF＝－AB－AD，所以选项D正确．命题点3 根据向量线性运算求参数例4 (2022·青岛模拟)已知平面四边形ABCD满足AD＝BC，平面内点E满足BE＝3CE，CD与AE交于点M，若BM＝x
，调研)在△ABC中春延长BC至，M使得BC＝2CM点连接AM，点N为AM上一点且AN＝AM，若AN＝λ
AB＋μμC，则λ＋A等于( )A. B.C．－ D．－答案 A解析 由题意，知AN＝AM＝(AB＋BM)＝AB＋×BC＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC，又AN＝λ
AB＋μμC，所以λ＝－，A＝，则λ＋μ＝.思维升华 平面向量线性运算的常
见类型及解题策略
易知BC＝4AD，CE＝2AD，BM＝AM－AB＝AE－AB＝(AB＋BE)－AB＝(AB＋6AD)－AB＝－AB＋2AD，∴x＋y＝.教师备选1．(2022·太原模拟)在△ABC中，AD为BC边上的中线，若点O满足AO＝2OD，则OC等于()A.－AB＋AC B.AB－ACC.AB－AC D.－AB＋AC答案 A解析 如图所示，∵D为BC的中点，∴AD＝(AB＋AC)，∵AO＝2OD，∴AO＝AD＝AB＋AC，∴OC＝AC－AO＝AC－＝－AB＋AC.2．(2022·长
差用向量减法的几何意义．(2)求参数
问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较跟踪训练2，求参数的值． (1)点G为△ABC的重心，
设BG＝a，GC＝b，则AB等于( )A．b－2a B.a－bC.a＋b D．2a＋b答案 A解析 如图所示，由题意可知AB＋BG＝GC，故AB＝GC－2BG＝b－2a.(2)(2022·大连模拟)在△ABC中，AD＝2DB，AE＝2EC，P为线段DE上的
动点，若AP＝λ
AB＋μλC，A，μ∈R，则λ＋μ等于( )A．1 B. C. D．2答案 B解析 如图所示，由题意知，AE＝AC，AD＝AB，设DP＝x
DE，所以AP＝AD＋DP＝AD＋x
DE＝AD＋x(AE－AD)＝x
AE＋(1－x)AD＝x
AC＋(1－x)AB，所以μ＝x，λ＝(1－x)，所以λ＋μ＝x＋(1－x)＝.题型三 共线定理及其
应用例5 设
两向量a与b不共线．(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．求
证A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使：ka＋b和a＋kb共线．(1)证明 ∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB.∴AB，BD共线，
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求
公＋B，∴A，B，D三点共线．(2)解 ∵ka共点b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.教师备选1．已知P是△ABC所在平面内一点，且满足PA＋PB＋PC＝2AB，若S△ABC＝6，则△PAB的面
积( )A．2 B．为3C．4 D．8答案 A解析 ∵PA＋PB＋PC＝2AB＝2(PB－PA)，∴3PA＝PB－PC＝CB，∴PA∥CB，且两向量方向相同，∴＝＝＝3，又S△ABC＝6，∴S△PAB＝＝2.2．
设个非零向量a与b不共线，若a与b两的起点相同，且a，tb，(a＋b)的终点在同一条直线上，则实数t的值为________．答案 解析 ∵a，tb，(a＋b)的终点在同一条直线上，且a与b的起点相同，∴a－tb与a－(a＋b)共线，即a－tb与a－b共线，∴存在实数λ，使a－tb＝λ，又a，b为两个不共线的非零向量，∴解得思维升华 利
用共线向量定理解题的＝(1)a∥b⇔a策略λb(b≠0)是判断两个向量共线的
主要依2(据．)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(3)OA＝λ
OB＋μC(λ，μ为实数)，若OA，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.跟踪训练3 (1)若a��
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