§7.1　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积考试要求　1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．知识梳理1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2.直观图


(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2π rlS圆锥侧＝π rlS圆台侧＝π( r1＋ r2) l4.柱、锥、台、球的表面积和体积　　 名称几何体　　表面积体积柱体S表＝S侧＋2S底V＝Sh锥体S表＝S侧＋S底V＝Sh台体S表＝S侧＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋)h球S表＝4π R 2V＝πR3常用结论1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．2．直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图形．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　×　)(2)用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．(　√　)(3)菱形的直观图仍是菱形．(　×　)(4)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方．(　×　)教材改编题1．如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，剩下的几何体是(　　)A．棱台 B．四棱柱


C．五棱柱 D．六棱柱答案　C2．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)A．1 cm B．2 cm C．3 cm D. cm答案　B解析　设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2.3．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．答案　1∶47解析　设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出的棱锥的体积为V1＝××a×b×c＝abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－abc＝abc，所以V1∶V2＝1∶47.题型一　基本立体图形命题点1　结构特征例1 下列命题正确的是(　　)A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线B．直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥C．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等D．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台答案　D解析　A不一定，只有当这两点的连线垂直于底面时才是母线；B不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；C错误，棱台的上、下底面相似且对应边互相平行．棱台的各侧棱延长线交于一点，但是这些侧棱的长不一定相等．


维升华　空间几何体结构特征的判断技巧(1)紧扣
结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或
增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)说明一个命题是错误的，只要
举出一个反　直观图命题点2例即可．例2　有一
块多边形的菜地的它，水平放置示平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所的)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这
块菜地2________．答案　的面积为＋解析　DC＝ABsin 45°＝，BC＝ABcos 45°＋AD＝＋1，S梯形ABCD＝(AD＋BC)·DC＝×＝＋，S＝S梯形ABCD＝2＋.教师备选(2022·益阳调研)如图，一个
水平放置图平面的形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′的面积为4，则该平面图形的面积为(　　)
教师备选(多选)下列说法错误的是(　　)A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体答案　ABC解析　选项A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，即其余各面的三角形必须有公共的顶点，故A错误；选项B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故B错误；选项C，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确．思


维升华1(　)在斜二测定法中，要确画关键点及关键平段．平行于x轴的线段线行性不变轴的线段平行长度不变；平行于y，
性不变，长度减半．(2)按照
斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝S原图形．命题点3　展开图例3　如图所示的扇形是
某个圆锥的侧面展开图，已知扇形所在圆的半径R＝，扇形弧) l＝4π，则该圆锥的表面积为(　　长A．2πB．(4＋2)πC．(3＋)πD．8π＋答案　B解析　设圆锥底面圆的半径为r，则2πr＝4π，解得r＝2，∴圆锥的表面积S表＝S底面圆＋S侧＝πr2＋lR＝π×22＋×4π×＝(4＋2)π.教师备选(2020·浙江)已知圆锥的侧面积(单
位面cm2)为2π，且它的侧：展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单
位cm)是：________．答案　1解析　如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积S侧＝πrl＝2π，∴r·l＝2.
A. B．4 C．8 D．2答案　C解析　由S原图形＝2S直观图，得S原图形＝2×4＝8.思


维升华　多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定
先观察跟踪训练1　立体图形的每一个面的形状．(1)(多选)给
出下列命题，其中真．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形(　　)A命题是B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直C．在四棱柱中，若过相对侧棱的两个截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱D．
存在每个面都是直角三角形的四面体答案　BCD解析　A不正确，
根据B正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个二面角都是直二面角；C棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；正确，因为过相对侧棱的两个截面的交线平行于侧棱，又两个截面都垂直于底面，故该四棱柱为直四棱柱；D正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形．(2)(2022·泰安模拟)已知
水平放置“△ABC按的斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么△ABC是一个(　　)A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．
钝角三角形答案　A解析　根据
斜二测画法还在直角坐标系中的图形，如图，△ABC原则BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝，AC＝AB＝＝2，所以△ABC是一个等边三角形．
又圆锥侧面展开图为半圆，∴πl2＝2π，∴l＝2，∴r＝1.思


水平地，底面圆的半径等于12面上的圆锥形物体的母线长为4，一只
小虫从出锥圆底面圆上的点P的发，绕圆锥面侧爬行一周后回处到点P，则虫爬小的行
最短路程　　(为)A．12 B．16 C．24 D．24答案　A解析　如图，设圆锥侧面展开扇形的圆
心则由题意可得θ，角为2π×4＝12θ，则θ＝，在△POP′中，OP＝OP′＝12，则
小虫爬行的最短路程PP′为＝＝12.题型二　表面积与体积命题点1　表面积例4　(1)(2022·济南调研)如图，四面体的各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，
另一个顶点是上底面的圆心　　(，则圆柱的表面积是)A. B.C. D.答案　C解析　如图所示，过点P作PE⊥平面ABC，E为垂
足点E，为等边三角形ABC的中心AE连接，并延长，交BC于点D. AE＝AD，AD＝，
(3)(2022·蚌埠模拟)如图，在


挖一个圆锥的组合体．如图，过C作CE⊥AD去交AD的延长线于E，过C作AB的垂线，垂
足siF.则∠EDC＝180°－∠ADC＝45°，EC＝CD·为n 45°＝2，ED＝CD·cos 45°＝2，CF＝AE＝4，BF＝AB－AF＝3，BC＝＝5.故圆台的上底面半径r＝2，下底面半径R