6.1 平面向量的概念（精讲）思维导图常见考法1


B．【跟踪训练】1．（2020·全国高一课时练习）下列量不是向量的是（ ）A．力B．速度C．质量D．加速度【答案】C【解析】质量只有大小，没有方向，不是向量.故选C2．（2020·全国高一课时练习）给出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是( )A．①②③是数量，④⑤⑥是向量B．②④⑥是数量，①③⑤是向量C．①④是数量，②③⑤⑥是向量D．①②④⑤是数量，③⑥是向量【答案】D【解析】【解析】由物理知识可知，密度，路程，质量，功只有大小，没有方向，因此是数量而速度，位移既有大小又有方向，因此是向量.故选：D3．（2020·全国高一课时练习）下列说法正确的是（ ）A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C．向量的大小与方向有关D．向量的模可以比较大小【答案】D【解析】向量不能比较大小，向量的模能比较大小，显然D正确.考法二 向量的几何表示【例2】（2020·全国高一专题练习）某人从
A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向2
考法一 向量与数量的区别【例1】（2020·全国高一）下列各量中是向量的是（ ）A．时间B．速度C．面积D．长度【答案】B【解析】既有大小，又有方向的量叫做向量；时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量．而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量．故选：


102 米到达
C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．（1）作出向量
uuur，ruuu；（2）求
uuur，
BCCD
AB
uuur 的模．【答案】（1）见解析；（2）
AD
uur米【解析】（1）作出向量
AD=55
uuur，ruuu；如图所示：（2）由题意得，△
uuur，
BCCD
AB
2 米，
BCD是直角三角形，其中∠＝BDC90°，0CB＝1CD＝10米，所以
BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠，BD＝90A°AB＝5米，BD＝所以0米，1
uur米.【跟踪训练】1.（2021·江苏高一）如图的方格由若干个边长为1的小正方形组成，方格中有定点
AD=55
22
AD＝
510＝55+(米)，所以|
A，点A为小正方形的顶点，且5CC=uuuv，画出所有的向量
uuuv.3
AC
走了


uuur，∴
||5AC=
点落在以C为半径的圆上，又∵点A为圆心，以5C为小正方形的顶点，根据该条件不难找出满足条件的点
uuur，如图所示：2．（2020·全国高一课时练习）在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，用直尺和圆规画出下列向量：（1）
AC
C，解析所有的向量
uuur,点
||4OA=
A在点O正南方向；（2）
uuur,点
�方向；4
||22OB=
45
B在点O北偏西
【答案】见解析【解析】∵


uuur,点
�方向.【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析（3）作图见解析【解析】如图. 3．（2020·全国高一课时练习）如图所示，某人从点
||2OC=
30
C在点O南偏西
0出发，向西走了20A后到达mB点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了
10013m到达
0点，最后又改变方向，向东走了20C到达mD点，发现
D点在.点的正北方B（1）作出向量
uuuv（图中1个单位长度表示100
uuuv，
uuuv，
BCCD
AB
m）；（2）求向量
uuuv的模.【答案】（1）作图见解析（2）10013m【解析】（1）如图，
DA
uuuruuuruuur即为所求.5
ABBCCD,,
（3）


uuur，由题意可知，四边形
ABCD是平行四边形，∴
DA
uuuruuur.考法三 相等向量与共线向量【例3】（2020·全国）如图，四边形
DABC==||10013m
ABCD为正方形，△CEB为等腰直角三角形.（1）图中与
uuuv共线的向量有________；（2）图中与
AB
uuuv相等的向量有________；（3）图中与
AB
uuuv模相等的向量有_________________；（4）图中
AB
uuuv与
uuuv是______向量（填“相等”或“不相等”）；（5）
EC
BD
uuuv与vuuu相等吗？【答案】（1）
ABBA
uuuv，uuuv，
uuuv，
uuuv，）uuv（2uuuuv（3），uuvuuuuv（4）相等（5）不相等【解析】根据题意得，（1）图中与
CDBCCD
BEAEBEDABE
uuur、
uuur共线的向量为uuur、
uuur；6
DC
ABBEAE
（2）如图，作向量


uuur相等的向量有ruuu；（3）图中与
ABBE
uuur，uuur，
uuur模相等的向量有uuur，ruuu；（4）相等；（5）
BCCD
ABDABE
uuur与ruuu不相等；故答案为：（1）
ABBA
uuur，uuur，
uuur，uuur，
uuur，uuur（3））相等（uur（4u5）不相等【跟踪训练】1．（2020·全国高一课时练习）如图，
uuur（2）
CDBCCD
BEAEBEDABE
��是在各边的三等分点处相交的两个全等的等边三角形，设
D和ABCDABC
a的若干个向量，则（1）与向量
D的边长为ABCa，图中列出了长度均为
3
uuur相等的向量有______；（2）与向量
GH
uuur共线，且模相等的向量有______；（3）与向量
GH
uuur共线，且模相等的向量有________.【答案】
EA
uuuruuur uuruuuruuuruuuruuuru uuuruuuruuuruuuruuur 【解析】（1）与向量
�����
LBHC,BHCGECLELB,,,,BKHAHFFEKB,,,,
uuur相等的向量有uuuruuur；（2）与向量
LBHC�,
GH
uuuruuuruuuruuuruuur；7
uuur共线，且模相等的向量有
��
CHBGECLELB,,,,
GH
（2）与


uuuruuuruuuruuuruuur.故答案为：
uuur共线，且模相等的向量有
��
BKKHEFFBHA,,,,
EA
uuuruuur；uuuruuuruuuruuuruuur；uuuruuuruuuruuuruuur2．（2020·全国高一）在如图所示的向量
LBHC�,BHBGECLELC��,,,,AKKHEBFBHF,,,,��
rrrurr中（小正方形的边长为1），判断是否存在下列关系的向量：（1）是共线向量的有______；（2）方向相反的向量有______；（3）模相等的向量有______.【答案】
cdeab,,,,
rrur 【解析】（1）
和r，ur r r和ur，r和
r和r
acd,,
adebadbe
rurr和r和r是共线向量.（2）
ur，
adr，eb∥r∥，故adeb
r和r和是方向相反的向量r.（3）由勾股定理可得，模相等的向量有
ur，
d
abe
rrur.故答案为：（1）
acd,,
rrur.3．（2020·全国高一专题练习）如图所示，
r和r和r；（2）和rr和r；（3）
ur，ur，
acd,,
adebadbe
uuur＝r，uuur＝r，
OAaOBb
O是正六边形ABCDEF的中心，且
uuur＝r.8
OCc
（3）与向量


r的长度相等、方向相反的向量有哪些？（2）与
a
r共线的向量有哪些？（3）请一一列出与
a
r，r，.相等的向量．【答案】（r1）ODuuur，
abc
uuur，uuur，
uuur .（2）
BCAOFE
uru，uuuruuur，
，uur，ODuuuruuuur，uuur，ruuu.（3）与
uuur，
BCCB，DOAO
EFFEDAAD
相等的向量有r，uuuruurr 相等的向量有uuur，uuur，r 相等的向量有
uuur，uuur；与
aDOCB；与bDCEOc
EFFA
uuur，
uuur，uur.【解析】（u1）因为正六边形中各线段长度都相等，且方向相反的有：ODuuur，
FO
EDAB
uuur，
uuur，
uuur .（2）由共线向量定理得：
BCAO
FE
uru，uuuruuur，r共线.（3）由相等向量的定义得：与
，uur，ODuuuruuuur，
uur，u，uuuruuur.与
BCCB，DOAOa
EFFEDAAD
r 相等的向量有uuur，uur相等的向量有r uuur，uuur，
uuur；与
uuur，
aDOCB；与bDCEOFA
EF
r 相等的向量有uuur，
uuur，uuur.考法四 平面向量概念的区分【例4】（2020·天津静海区·高一学业考试）下列关于向量的结论：（1）任一向量与它的相反向量不相等；（2）向量
cFOEDAB
r平行，则r的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是9
r与r与
abab
（1）与


r
r同向，且r
r，则
r与 .其中正确的序号为（ r ）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（3）【答案】D【解析】零向量与它的相反向量相等，故（1）错误；当向量
||||ab>
abab>
r的方向相同或相反，故（2）错误；相等向量是方向相同且模相等的向量，故（3）正确；向量是既有大小又有方向的量，向量只能相等，不能比较大小，故（4）错误.故选：D.【跟踪训练】1．（2020·全国高一课时练习）下列命题中，正确的个数是（ ）①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若
r为零向量时，其方向是任意的，不能说r与
aab
��
，��满足ab且>�与�同向，则
��
ababab；>④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；⑤若
��∥
∥��，则�∥． A．0个B．1个�C．2个D．3个【答案】A【解析】解：对于①，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，故①错误；对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；对于④，向量是可以自由平移的
bb,
acbc
矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误；对于⑤，
����
���与�不一定平行．综
abbc∥，∥，则
b=时，若0ac
上，以上正确的命题个数是0．故选：A．2．（2020·安徽
六安市·六安一中高一期末）下列说法不正确的是（ ）10
相等向量；（4）若向量


非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合C．若
r
a
r是一个与
r为r同向的单位向量D．两个有共同起点且模相等的向量，其终点
非零向量，则a
aa
必【解析】由于任一组平行向量都可以平移到一条直线上，则平行向量也叫共线向量，【答案】D相同A正确；两
非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合，由共线向量的定义可知，B正确；
rr
a1a
>0
r的模长为r，则r是一个与
r同向的单位向量，C正确；从同一点出发的两个相反向量，有共同的起点且模长相等，但终点不同，D错误；故选：D2．（2021·甘肃兰州市
aaa
a
1，
）下列命题中正确的个数为（ ）①两个有共同
始点且相等的向量，其终点可能不同；②若
uuuv共线，则
uuuv与
CDD、C四点共线；③若
ABA、B、
非零向量
v与v共线，则
v
v；④四边形
abab