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7.3 复数的三角表示讲义(教师版).docx
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7.3 复数的三角表示(精讲)思维导图常见考法1


22i-.【答案】(1)
1111pp77pp
����
3i233-=sisinoc+2i22-=inissoc+
����
6644
��(2)��【解析】(1)
2
2
r对应的点在第四象限,所以-=+-=.因为与33i3233
()
11p
arg33i-=,所以
()
6
1111pp
��
33i23-=oisincs+
��
66
��.(2)
22
r-==+.因为与222
()()
7p
arg22i-=,所以
()
22i-对应的点在第四象限,所以
4
77pp
��
22i2=-cnisiso+
��
44
�0.【例1-2】.(2�20·全国高一课时练习)把下列复数的三角形式化成代数形式.(1)
pp
��
4cosisin+
��
33
��;(2)
55pp
��
3cosisin+
��
44
��.【答案】(1)
3232
--2i
223+(2)i
22
考法一 复数的三角表示【例1-1】(2020·全国高一课时练习)把下列复数的代数形式化成三角形式.(1)33i-;(2)


��
13
pppp
����
+=�+�=i322i44
��
4cosisin4cos4sini+==+
������
22
3333
����.��(2)
����
5555223232pppp
����
icosisin3cos3sini33i3+=+=�-+�-=--
����
����
����
44442222
����
����.【跟踪训练】1.(2020·全国高一课时练习)画出下列复数对应的向量,并把这些复数表示成三角形式:(1)
13
+;(2)i
22
1【答案】(-.1)作图见解析;i
77pp
13pp��
n2cossi1-=+ii
)作图见解析2(+=+;iinissco
��
44
��【解析】(1)复数
2233
13
+对应的向量如图所示,则i
22
2
2
��
131
��
r=+==1,cosq
��
��
222
��
��.因为与
��
13p
13
arg+=i
��
+对应的点在第一象限,所以i
223
��.于是
22
13pp
+.+=3iinissco
2233
【解析】(1)


1-对应的向量如图所示,则i
12
22
r=.===-+因为与1soc,2)1(q
2
2
7p
arg(1)于是-=.i
1-对应的点在第四象限,所以i4
77pp
��
n2cossi1-=+ii
��
44
��.当然,把一个复数表示成三角形式时,辐角
��pp
����
2cossin-+-i
����
��
44
����
q不一定取主值.例如��也是1-的三角形式.2.(2020·全国高一课时练习)将下列各复数的三角形式转化为代数形式:(1)i
n3(cossi)4pp4+;i
(2)复数


1111pp
��
6cossin+i
��
66
��;(3)
44pp
��
32cossin+i
��
33
��;(4)
33pp
��
8cossin+i
��
22
��.【答案】(1)
3236
4--()i
2-()34333-(3)i
1-【解析】()8i
22
43(cossin)43(10)43pp)+=-+�=-.(2ii
��
111131pp
��
3cossin6336=-+=-iii
��
��
6622
��
��.(3)
��
44133236pp
��
32cossin32--=+=--iii
��
��
332222
��
��.(4)
33pp
��
8cossin8(0)8=-+=-iii
��
22
��.3.(2020·全国高一课时练习)将下列各复数转化为三角形式(辐角取辐角主值):(1)
232(-;-2)2i
i;(3)
13-;(4)i
-.【答案】(1)3
1111pp33pp55pp
������
4cossin+incos2is+i2cossin+i
������
662233
��;(2))�;(�3��;(4)
)(cossin3pp+5i
(2)


31
22csoq=,nsiq=-,又
r=-+=,4)2()32(
22
1111pp
��
11p
in324coss2-=+ii
q=,∴
��
pq�,∴)[0,266
6��.(2)∵
os0cq=,1sniq=-,又
r=,2
3p
q=,∴
pq�,∴)[0,2
2
33pp
��
+-=issonc22ii
��
22
��.(3)∵
13
22cosq=,nsiq=-,又
r=+-=,1(3)2
22
5p
q=,∴
pq�,∴)[0,2
3
55pp
��
in32coss1-=+ii
��
33
��.(4)∵3r=,
os1cq-=,0nsiq=,又
pq�,∴)[0,2
qp=.∴
·0202(】2-=+.考法二 复数的辅角【例全国高一课时练习)复数33()nissocppi
55pp
zi )A=-+的辐角主值为( .oscnis
1818
16pC.2.pD7p【答案】D6
5pB.
18999
【解析】(1)∵


5577pppp7跟.故选:D【p踪训练】1.(2020·全国)复数
iiz,=+-=+故复数nisoscoscnis
z的辐角主值为
1818999
p而得到.则
zz-的值为()A.
uuuur绕原点
21
arg()
z=,1z由向量OZ
121O逆时针方向旋转
32
pC.4p【答案】C【解析】
2pD.
pB.
6333
uuuuruuuur
pp13
OZOZ=+=+o)(insscii
21
z=,1+=\,zin0s0osci
113322
zz-113-2p
21
所以复数在第二象限,设幅角为\=+()i\=故选:C2.(2020·全国高一课时练习)若复数q
q,tan3q=-
22223
arg 为( z )A.
zi-=-(13
i为虚数单位),则

【解析】由C-B.120°C.240°D.210°【答案】021
1
cosq=-,所以

arg240z..故选:C=3.(2020·辽宁辽师大附中高一期末)把复数
zi-=-,得复数13z对应的点在第三象限,且
2
p和5p后,重合于向量
uuuruuur
z1与z2对应的向量
OAOB,分别按逆时针方向旋转
43
uuuur且模相等,已知
zi-=-,则复数113z的代数式和它的辐角主值分别是( )A.
OM2
3pB.
3ppp
C.-+22,i-D.-,22iB【答案】+-7,22i
,--22i4444
【解析】


pppp55
����
ziziccossinnisos+=+
12
����
4433
����,则
����
2213
iiiz--=+=--231
����()
1
����
2222
����,
--221(i)
--222
===-\=+zi22
1
111++-iii
22()()
+,可知1i
22
3B..故选:p考法三 复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义【例3】(2020·全国高一课时练习)计算下列各式:(1)
()2,2-,则它的辐角主值为
z对应的坐标为
4
pppp22
����
incossin23coss3+�+ii
����
3333
����;(2)
11
��
��
5cos15sin12+�-+i
()
��
22
��;(3)
55pp
��
��
��
2cossin2cos135sin135+�+ii
()
��
��
33
��;(4)
��
13��pp
��
-�+iiin2coss
��
����
��
2233
��
��
��.【答案】(1)
623131+-26
3-+;()i-+)4;(i1--【解析】()i
-;(2)6
222244
pppp22
����
ncossin23cossi3+�+ii
����
3333
����
��pppp22
����
-+++==+=)ossinc66(nisiosc6ppi
������
3333
����
��.(2)
��11
��
5cos15sin12+�-+ii
()
��
22
��8
【解析】由题可知


pppp332
����
+=+�sncosiinsosc2ii
����
1212244
����
��pppp33
����
=+++2incosis
����
��
124124
����
��
��
5531pp
��
+�=+=-22inssocii
��
��
��
6622
��
��
62
=-+.(3)i
22
55pp
��
��
��
2cossin2cos135sin135+�+ii
()
��
��
33
��
5533pppp��
����
+=+�sn2cosiinsosc2ii
������
3344
����
��
25353������pppp
=-+-ncossii
������
3434
2����
��
1111pp
��
=+2csinosi
��
1212
��
pp
��
=�-+2cnossii
��
1212
��
��
6262+-
=�-+2i
��
��
44
��
3131+-
=-+.(4)i
22
��
13��pp
��
-�+iiin2coss
��
����
��
2233
��
��
��
55pppp��
����
+=+�s2cosninisoscii
������
3333
����
��9


155��pppp
����
=-+-incosis
����
��
23333
����
��
244pp
��
=+sincosi
��
233
��
��
213
=�--i
��
��
222
��
26
全国高一课时练习)=--.【跟踪训练】1.(2020·i
44
����pppp
cosisin3cosisin+�+=
����
2266
����( )A.
333333333333
+B.i-C.i-.D+iC--【答案】【解析】i
22222222
pppppppp��
��������
nosisin3cosisin3cosisic+�+==+++
��������
��
22662626
��������
��
22333pp
��
+-=+=niisiosc3
��
3322
��.故选:C2.(2020·全国高一课时练习)
9cos3isin33cos2isin2pppp+�+=( )A.3B.
()()
3iD.【解析】-【答案】B3i
-C.3
9cos3isin33cos2isin2933pppp+�+=-�=-.故选:B3.(2020·全国高一课时练习)
()()
1
5os30sin302cos60sin603cos45sin4c10)�+���+���+�=( iii
()()()
2


3232323232323232
+B.i-C.i-.D+iC--【答案】【解析】i
22222222
1
(snsicos3060in302cos06��+���+�ii)()
3cos45sin45�+�i
()
2
1
��+�+�+�+���=+006345nis540603soc32i
��()()
��
2
��=+n35si1135soc3i
()
��
22
=-+3i
��
��
22
��
3232
)=-+.故选:C.4.(2020·全国高一课时练习)计算下列各式,并作出几何解释:(1i
22
22pppp
����
ncossin22cossi2+�+ii
����
3333
����(2)
11
��
��
5cos75sin72+�-ii
()
��
22
��(3)
��33pp
��
��
ncos300sin3002cossi4+�+ii
()
����
44
��
��(4)
��
13��pp
��
+�+-iinissoc2
��
��
��
��
2233
��
��
��.【答案】(1)-4,几何解释见解析 (2)
62
+,几何解释见解析 (3)i
4( 几何解释见解析 ,-++-)1)13()3(i
22
13
1+,几何解释见解析1i
44
A.


几何解释:设-=+-�=+��=.24)01(4)nissco(22ppi
22pppp
����
iziz+=+=sco2sin2,inssoc2
12����
3333
����,作与
uuuuruuuur,然后把向量
uuur绕原点
OZOZ,
zz对应的向量,
1212OZ1
p,再将其长度伸长为原来的
O按逆时针方向旋转
3
22倍,得到一个长度为4,辐角为
π的向量
uuur,则uuur即为积
zz)原式�=-所对应的向量.(24
OZOZ12
��
222
��
-=+�75sin75soc2ii
()��
��
222
��
2
����
+�+=s5sin75co7315sin315soc2
()()
2
��
3162
��
+=+=�+=0in39s2093soc2iii
()��
��
2222
��.几何解释:设
112
����
zizi==-++=,作与i315ssn315oc,57nis57soc2
()()
12
222
uuuuruuuur,然后把向量
uuur绕原点
zz对应的向量,OZOZ,
1212OZ1
O按逆时针方向旋转315°,再将其长度缩短为原来的
2
p 的向量
2、辐角为6
2,得到一个长度为
62
uuur,则uuur即为积
zzi=+所对应的向量�.(3)原式
12
OZOZ22
5533pppp��
����
+=+�sn2cosiinsosc4ii
������
3344
����
��12
【解析】(1)原式


1111pppp
����
+=+=�-s22coinsinssoc22ii
����
12121212
����
��
6262+-
-+-=+-�=+2)13()13(2ii
��
��
44
��.几何解释:设
55pp33pp
����
��
iiz++==sin3004cossin03soc04zi=+2incoss
()
1��2��
3344
��,��作与
uuuuruuuur,然后把向量
zz对应的向量,OZOZ,
12
12
3p,再将其长度缩短为原来的12,得到一个长度为
OZ绕原点0按顺时针方向旋转
14
11p的向量
uuur,则
22,辐角为OZ
12
z
1
4(.所对应的�
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夹子盘