7.3 二次函数与一元二次方程、不等式思维导图知识点总结 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实数根x1，x2(x1＜x2)没有实数根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅ 由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法 1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1


2.一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔典型例题分析考向一 　 一元二次不等式的解法【例】已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|α0)，则不等式cx2＋bx＋a0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是___________．考向三 一元二次不等式的恒成立问题（在给定区间上恒成立）【例】若对任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是(　　)A．(－∞，－3]B．(－∞，0]C．[1，＋∞)D．(－∞，1]【方法技巧】 在给定区间上的恒成立问题(1)若f(x)＞0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a. 考向四 一元二次不等式的恒成立问题（给定参数范围的恒成立问题）【例】(2019·天津高考)设xR


2
210xx-的解集为0
y的图象为（ ）A．B．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司4
【变式】设m为实数，若函数f(x)＝x2－mx＋2在区间(－∞，2)上是减函数，对任意的x1，x2∈，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，则m的取值范围为(　　)A．[4,6] B．(4,6)C．(4,6] D．[4,6)【方法技巧】给定参数范围求x的范围的恒成立问题1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.基础题型训练一、单选题1．一元二次不等式


3
2
20kxkx+>对任意实数x都成立，则实数+k的取值范围是（ ）A．
8
[0,3)B．(0,3)C．．0,3[D]{0}(3,)+��,．已知,4
2
A） fff，则（ ．-20,0
aba．D+=02,0
xx20>-的解集A．
()
0xxB．
{} }{20xxx或D．�14-+．已知不等式)0(065
2
xx|1
{}
(1)b>(1)求
axx+>-的解集为320
a，b的值；(2)解不等式
2
aRccxcax．15-++成立，则实数
fx，=-+xx4a()()x，均有�+�,1()()
()()
a的取值范围是（ ）A．
．-B3,11,3-C．．D-�-1,3,+�3．设一元二次不等式
()()()()
2
{|12}xx-的解集为10的值为（ba ）A．
11
1
-C．-4．已知
44D．2
-B．1
222
xbaxab．函数5++++=的根的情况为．A．有两个负根B．有两个正根C．有两个异号的实根D．无实根0)(
a、b是不全为零的实数，则关于x的方程
2
axfxax在区间=-++21上是减函数，那么实数A-�a的取值范围是（ ）．1,
()()()
．,1B0,1+�C．0,1D．0,16．关于
[)[)(]
[]
2
xaxa的解集中，恰有3-+++，xy_y的取值范围为_x________.12．若关于
23ab_的值是_____-．四、解答题13．已知方程
2
x的一元二次方程
abaxb=>的两根分别是(0)
m+与124m-，则式子
a
2
x与x，求下列各式的值：(1)
xx+=-的两根为31012
22
xx+；(2)
12
33
xx+；(3)
12
xx
21
+.14．已知
xx
12
22
axpxa405:-+，0
pq�为真，求实数
a=，且1的取值范围；x（2）若
q的必要不充分条件，求实数
p是
a的取值范围.15．若不等式
��1
xx+-205�.（1）求不等式
22
axax8学科网（北京）股份有限公司-+->的解集；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！015
A．


��
11
xxx或，求关于
��
22
32
axbxc的解集为++的解集.16．已知关于x0
a1x3+-
()
x1＜-1．（1）当a=1时，解该不等式；（2）当a＞0时，解该不等式．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司9
（2）已知二次不等式


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