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八年级数学教案：轴对称与轴对称图形 1、知识目标： (1)使学生理解轴对称的概念; (2)了解轴对称的性质及其应用; (3)知道轴对称图形与轴对称的区别. 2、能力目标： (1)通过轴对称和轴对称图形的学习，提高学生的观察辨析图形的能力和画图能力; (2)通过实际问题的练习，提高学生解决实际问题的能力. 3、情感目标： (1)通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受; (2)通过轴对称图形的学习，体现数学中的美，感受数学中的美. 教学重点：轴对称和轴对称图形的概念，轴对称的性质及判定 教学难点 ：区分轴对称和轴对称图形的概念 教学用具：直尺，微机 教学方法：观察实验 教学过程 ： 1、概念：(阅读教材，回答问题) (1)对称轴 (2)轴对称 第 1 页
(3)轴对称图形 学生动手实验，说明上述概念.最后总结轴对称及轴对称图形这两个概念的区别： 轴对称涉及两个图形，是两个图形的位置关系.轴对称图形只是针对一个图形而言. 轴对称和轴对称图形都有对称轴，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形;如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线对称. 2、定理的获得 (投影)：观察轴对称的两个图形是否为全等形 定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形 由此得出： 定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线. 启发学生，写出此定理的逆命题，并判断是否为真命题?由此得到： 逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称. 学生继续观察得到 定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上. 第 2 页
说明：上述定理2可以看成是轴对称图形的性质定理，逆定理则是判定定理. 上述问题的获得，都是由定理1引发、变换、延伸得到的.教师应充分抓住这次机会，培养学生变式问题的研究. 2、常见的轴对称图形 图形对称轴 点A过点A的任意直线 直线m直线m,m的垂线 线段AB直线AB，线段AB的中垂线 角角平分线所在的直线 等腰三角形底边上的中线 3、应用 例1 如图，已知：△ABC，直线MN，求作△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于MN对称. 分析：按照轴对称的概念，只要分别过A、B、C向直线MN作垂线，并将垂线段延长一倍即可得到点A、B、C关于直线MN的对称点，连结所得到的这三个点. 作法：(1)作AD⊥MN于D，延长AD至A1使A1D=AD， 得点A的对称点A1 (2)同法作点B、C关于MN的对称点B1、、C1 (3)顺次连结A1、B1、C1 第 3 页
∴△A1B1C1即为所求 例2 如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD， 且AC=BD，若A到河岸CD的中点的距离为500cm.问： (1)牧童从A处牧牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短? (2)最短路程是多少? 解：问题可转化为已知直线CD和CD同侧两点A、B， 在CD上作一点M，使AM+BM最小， 先作点A关于CD的对称点A1， 再连结A1B，交CD于点M， 则点M为所求的点. 证明：(1)在CD上任取一点M1，连结A1 M1、A M1 B M1、AM ∵直线CD是A、A1的对称轴，M、M1在CD上 ∴AM=A1M，AM1=A1M1 ∴AM+BM=AM1+BM=A1B 在△A1 M1B中 ∵A1 M1+BM1>AM+BN即AM+BM最小 (2)由(1)可得AM=AM1，A1C=AC=BD ∴△A1CM≌△BDM 第 4 页
原轴成轴对称，反之 称的图形全二为一，则它就是一个轴对称图形.，把两个成轴对第 5 页
∴A1M=BM，CM=DM 即M为CD中点，且A1B=2AM ∵AM=500m ∴最简路程A1B=AM+BM=2AM=1000m 例3 已知：如图，△ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA到E，使AE=BD，连结CE、DE 求证：CE=DE 证明：延长BD至F，使DF=BC，连结EF ∵AE=BD， △ABC为等边三角形 ∴BF=BE， ∠B= ∴△BEF为等边三角形 ∴△BEC≌△FED ∴CE=DE 5、课堂小结： (1)轴对称和轴对称图形的区别和联系 区别：轴对称是说两个图形的位置关系，轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形;轴对称涉及两个图形，轴对称图形只对一个图形而言 联系：这两个定义中都涉及一条直线，都沿其折叠而能够重合;二者都具有相对性：即若把轴对称图形沿轴一分为二，则这两个图形就关于
对称点) 二是关于实际应用问题
“求最短路程”. 6、
布置作业 ：
书面作业P120#6 、8、9
板书设计 ： 探
究活动 两个全等的三角
板，可以拼出各种不同的图形，如图已画出其中一个三角形，
请你分别补出另一个与其全等的三角形，使
每个图形分成不同的轴对称图形(所画三角形可与三角形有重叠部分原)第 6 页
(2)解题方法：一是如何画关于某条直线的对称图形(找
(3)轴对称图形 学生动手实验，说明上述概念.最后总结轴对称及轴对称图形这两个概念的区别： 轴对称涉及两个图形，是两个图形的位置关系.轴对称图形只是针对一个图形而言. 轴对称和轴对称图形都有对称轴，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形;如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线对称. 2、定理的获得 (投影)：观察轴对称的两个图形是否为全等形 定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形 由此得出： 定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线. 启发学生，写出此定理的逆命题，并判断是否为真命题?由此得到： 逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称. 学生继续观察得到 定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上. 第 2 页
说明：上述定理2可以看成是轴对称图形的性质定理，逆定理则是判定定理. 上述问题的获得，都是由定理1引发、变换、延伸得到的.教师应充分抓住这次机会，培养学生变式问题的研究. 2、常见的轴对称图形 图形对称轴 点A过点A的任意直线 直线m直线m,m的垂线 线段AB直线AB，线段AB的中垂线 角角平分线所在的直线 等腰三角形底边上的中线 3、应用 例1 如图，已知：△ABC，直线MN，求作△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于MN对称. 分析：按照轴对称的概念，只要分别过A、B、C向直线MN作垂线，并将垂线段延长一倍即可得到点A、B、C关于直线MN的对称点，连结所得到的这三个点. 作法：(1)作AD⊥MN于D，延长AD至A1使A1D=AD， 得点A的对称点A1 (2)同法作点B、C关于MN的对称点B1、、C1 (3)顺次连结A1、B1、C1 第 3 页
∴△A1B1C1即为所求 例2 如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD， 且AC=BD，若A到河岸CD的中点的距离为500cm.问： (1)牧童从A处牧牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短? (2)最短路程是多少? 解：问题可转化为已知直线CD和CD同侧两点A、B， 在CD上作一点M，使AM+BM最小， 先作点A关于CD的对称点A1， 再连结A1B，交CD于点M， 则点M为所求的点. 证明：(1)在CD上任取一点M1，连结A1 M1、A M1 B M1、AM ∵直线CD是A、A1的对称轴，M、M1在CD上 ∴AM=A1M，AM1=A1M1 ∴AM+BM=AM1+BM=A1B 在△A1 M1B中 ∵A1 M1+BM1>AM+BN即AM+BM最小 (2)由(1)可得AM=AM1，A1C=AC=BD ∴△A1CM≌△BDM 第 4 页
原轴成轴对称，反之 称的图形全二为一，则它就是一个轴对称图形.，把两个成轴对第 5 页
∴A1M=BM，CM=DM 即M为CD中点，且A1B=2AM ∵AM=500m ∴最简路程A1B=AM+BM=2AM=1000m 例3 已知：如图，△ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA到E，使AE=BD，连结CE、DE 求证：CE=DE 证明：延长BD至F，使DF=BC，连结EF ∵AE=BD， △ABC为等边三角形 ∴BF=BE， ∠B= ∴△BEF为等边三角形 ∴△BEC≌△FED ∴CE=DE 5、课堂小结： (1)轴对称和轴对称图形的区别和联系 区别：轴对称是说两个图形的位置关系，轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形;轴对称涉及两个图形，轴对称图形只对一个图形而言 联系：这两个定义中都涉及一条直线，都沿其折叠而能够重合;二者都具有相对性：即若把轴对称图形沿轴一分为二，则这两个图形就关于
对称点) 二是关于实际应用问题
“求最短路程”. 6、
布置作业 ：
书面作业P120#6 、8、9
板书设计 ： 探
究活动 两个全等的三角
板，可以拼出各种不同的图形，如图已画出其中一个三角形，
请你分别补出另一个与其全等的三角形，使
每个图形分成不同的轴对称图形(所画三角形可与三角形有重叠部分原)第 6 页
(2)解题方法：一是如何画关于某条直线的对称图形(找
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