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北师大版八年级数学上册知识点
第一章勾股定理
1.勾股定理
222
直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即cba
2.
勾股定理的逆定理
222
如果三角形的三边长a，b，c有关系cab，那么这个三角形是直角三角形。
222
3.勾股数：满足cba的三个正整数，称为勾股数。
第二章实数
一、实数的概念及分类
1.
实数的分类
正有理数
有理数零有限小数和无限循环小数
实数负有理数
正无理数
无理数无限不循环小数
负无理数
2.无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
3
(1)开方开不尽的数，如2,7等；@简单初中生
π
(2)ππ+8
有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有的数，如等；
3
(3)有特定结构的数，如0.1010010001…等；
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o
(4)sin60
某些三角函数值，如等
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1.相反数
实数与它的相反数时一对数(不有符号只同的两个数叫做互为相反数，零的相反
数是零)两从数轴上看，互为相反数的，个数所对应的点关于原点对称，如果a
ba+b=0a=—b
与互为相反数，则有，，反之亦成立。
2.绝对值
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。(|a|≥0)。零的
绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若aa|=-|，则a≤0。
3.倒数
abab=11-1
如果与互为倒数，则有，反之亦成立。倒数等于本身的数是和。零
没有倒数。
4.数轴
数轴定了原点、正方向和单位长度的直线叫做规(画数轴时，要注意上述规定的
三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵
活运用。
5.估算
三、平方根、算数平方根和立方根
2
1.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x=a，那么这个正数
xa00
就叫做的算术平方根。特别地，的算术平方根是。
表示方法：记作“a”，读作根号a。
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性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2
2.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x=a，那么这个数x就叫做
a的平方根(或二次方根)。
表示方法：正数a的平方根记做“a”，读作“正、负根号a”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平
方根。
开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
a0
注意a的双重非负性：
a0
3.
立方根
3
如果一个数一般地，x的立方等于a即，xa=那么这个数x就叫做a的立方根(或
3
三次方根)。表示方法：记作a
性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是
零。
33
注意：aa，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
四、实数大小的比较
1.实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个
点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
2.实数大小比较的几种常用方法
(1)
数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
(2)求差比较：设a、b是实数，
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baba,0
baba,0
0abab
aaa
(3)求商比较法：设a、b是两正实数，baabab;1;1;1
bbb
4)(绝对值比较法：设a、b是两负实数，则baba。
22
5)(平方法：设a、b是两负实数，则baba。
五、算术平方根有关计算(二次根式)
1.含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。
2.性质：
2
(1)aaa()0()
aa)0(
2
(2)aa
aa0()
(3)aababb(0,0)(aabbab)(0,0)
aaaa
(4)ba()0,0(ba()0,0)
bb
bb
3.运算结果若含有“a”形式，必须满足：(1)因数开方数的被是整数，因式是整
式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
六、实数的运算
(1)六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方
(2)实数的运算顺序
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
(3)运算律
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加法交换律bbaa
加法结合律bacbac()()
乘法交换律baab
乘法结合律acabcb)()(
乘法对加法的分配律)(ccaabab
第三章位置与坐标
一、在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。
二、平面直角坐标系及有关概念
1.平面直角坐标系
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水
xy
平的数轴叫做轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做轴或纵轴，取向
上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；
建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
2.为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个
部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
xy()
注意：轴和轴上的点坐标轴上的点，不属于任何一个象限。
3.点的坐标的概念
对于平面内任意一点P，过点P分别x轴、y上向作垂线，垂足轴在x轴、y轴
对应的数a，b分别叫做点P对横坐标、的坐标，有序数纵(a，b)叫做点P的坐
标。
(ab)“”
点的坐标用，在前，，其顺序是横坐标表示纵坐标在后，中间有，分开，
横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当ba时，(a，b)
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(ba)
和，是两个不同点的坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。
4.不同位置的点的坐标的特征
(1)各象限内点的坐标的特征
点Px(，)y在第一象限yx0,0
点Px(，)y在第二象限yx0,0
点Px(，)y在第三象限yx0,0
点Px(，)y在第四象限yx0,0
(2)坐标轴上的点的特征
点P(x，y)在x轴上y0，x为任意实数
P(xy)yy
点，在轴上x0，为任意实数
点P(x，y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为(0，0)即原
点
(3)两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x，y)在第一、三象限夹角平分线(直线)=xy上x与y相等
P(xy)xy
点，在第二、四象限夹角平分线上与互为相反数
(4)和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
(5)关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
PP’xP(xy)
点与点关于轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点，关于
x轴的对称点为P’(x，-y)
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PP’yP(xy)
点与点关于轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点，关于
y轴的对称点为P’(-x，y)
点P与点P’关于原点对称即点横、数，纵坐标均互为相反P(x，y)关于原点的
对称点为P’(-x，-y)
(6)点到坐标轴及原点的距离
P(xy)
点，到坐标轴及原点的距离：
P(xy)xy
①点，到轴的距离等于
②点P(x，y)到y轴的距离等于x
22
③点P(x，y)到原点的距离等于yx
三、坐标变化与图形变化的规律：
坐标(x，y)的变化图形的变化
x×a或y×a被横向或纵向拉长(压缩)为原来的a倍
x×a，y×a放大(缩小)为原来的a倍
×(-1)x或)y×-1(关于y轴或x轴对称
x×(-1)，y×(-1)关于原点成中心对称
x+a或y+a沿x轴或y轴平移a个单位
x+a，y+a沿x轴平移a个单位，再沿y轴平移a个单位
第四章一次函数
一、函数：
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确
定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
二、自变量取值范围
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式(取
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)(0)()
全体实数，分式分母不为、二次根式被开方数为非负数、实际意义几方面
考虑。
k的符b的符函数图像
图像特征
号号
y
图像经过一、二、三象限，
b>0
0xy随x的增大而增大。
k>0
y
图像经过一、三、四象限，
b0
y随x的增大而减小
x
K0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
(2)当k0yx
当时，随的增大而增大
(2)当k<0时，y随x的增大而减小
6.正比例函数和一次函数解析式的确定
式定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义确kxy(k0)中的常数k。
式确定一个一次函数，需要确定一次函数定义kxybk(0)中的常数k和b。
解这类问题的一般方法是待定系数法。
7.一次函数与一元一次方程的关系：
任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0(k、b为常数，k≠0)的形式。而一次
函数解析式形式正是y=kx+b(k、b，常数为k≠0)。当函数值为0时，即kx+b=0
就与一元一次方程完全相同。
kx+b=0(kbk≠0)
结论：由于任何一元一次方程都可转化为、为常数，的形式。所
以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值。
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值。