第三章　不等式§3.1　不等关系与不等式课时目标1．初步学会作差法比较两实数的大小．2．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．1．比较实数a，b的大小(1)文字叙述如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－bb⇔bb，b>c⇒a>c(传递性)；(3)a>b⇒a＋c>b＋c(可加性)；(4)a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，cb，c>d⇒a＋c>b＋d；(6)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(7)a>b>0，n∈N，n≥2⇒an>bn；(8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒>.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题1．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是(　　)A.b2C.> D．a|c|>b|c|答案　C解析　对A，若a>0>b，则>0，，∴A不成立；对B，若a＝1，b＝－2，则a2b，∴>恒成立，∴C正确；对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．2．已知a> B.>>aC.>a> D.>>a答案　D解析　取a＝－2，b＝－2，则＝1，＝－，∴>>a.3．已知a、b为非零实数，且a0时，a2b>0，ab20，∴0，∴a>b.c－a＝t3－t＝t(t2－1)＝t(t＋1)(t－1)，又∵－10，∴c>a.∴c>a>b.5．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是(　　)A．b－a>0 B．a3＋b30答案　D解析　由a>|b|得－a0，且a－b>0.∴b－a0，故B错．而a2－b2＝(a－b)(a＋b)>0，∴C错．6．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是(　　)A．ab>ac B．ac>bcC．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2答案　A解析　由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c0，b>c，∴ab>ac.故选A.二、填空题7．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．答案　[－1,6]解析　∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，∴－1≤a－b≤6.8．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是________．答案　f(x)>g(x)解析　∵f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，∴f(x)>g(x)．9．若x∈R，则与的大小关系为________．答案　≤解析　∵－＝＝≤0，∴≤.10．设n>1，n∈N，A＝－，B＝－，则A与B的大小关系为________．答案　A>B解析　A＝，B＝.∵＋B.三、解答题11．设a>b>0，试比较与的大小．解　方法一　作差法－＝＝＝∵a>b>0，∴a＋b>0，a－b>0,2ab>0.∴>0，∴>.方法二　作商法∵a>b>0，∴>0，>0.∴＝＝＝1＋>1.∴>.


12．设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．解　f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx，①当或即1＜x＜时，logx＜0，∴f(x)＜g(x)；②当＝1，即x＝时，logx＝0，即f(x)＝g(x)；③当或即0＜x＜1，或x＞时，logx＞0，即f(x)＞g(x)．综上所述，当1＜x＜时，f(x)＜g(x)；当x＝时，f(x)＝g(x)；当0＜x＜1，或x＞时，f(x)＞g(x)．能力提升13．若0>，∴最大的数应是a1b1＋a2b2.方法二　作差法．∵a1＋a2＝1＝b1＋b2且0a1，b2＝1－b1>b1，∴00，∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.∵(a1b1＋a2b2)－＝2a1b1＋－a1－b1＝b1(2a1－1)－(2a1－1)＝(2a1－1)＝2>0，∴a1b1＋a2b2>.综上可知，最大的数应为a1b1＋a2b2.14．设x，y，z∈R，试比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．解　∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x＝y＝且z＝1时取到等号．1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a

概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．