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2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课时目标 1.掌握向量数乘的定义.2.理解向量数乘的几何意义.3.了解向量数乘的运算律.4.理解向量共线的条件．1．向量数乘运算实数λ与向量a的积是一个__________，这种运算叫做向量的__________，记作________，其长度与方向规定如下：(1)|λa|＝__________.(2)λa (a≠0)的方向；特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝________或λ0＝________.2．向量数乘的运算律(1)λ(μa)＝________.(2)(λ＋μ)a＝____________.(3)λ(a＋b)＝____________.特别地，有(－λ)a＝____________＝________；λ(a－b)＝____________.3．共线向量定理向量a (a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______________．4．向量的线性运算向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝__________________.一、选择题1．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则()A．k＝0 B．k＝1C．k＝2 D．k＝2．已知向量a、b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．B、C、D B．A、B、C C．A、B、D D．A、C、D3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且PA＋PB＋PC＝AB，则( )A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边上或其延长线上D．P在AC边上4．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m的值为( )A．2 B．3 C．4 D．55．在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且CD＝4BD＝rAB＋sAC，则r－s等于( )A．0 B. C. D．36．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|等于( )A．8 B．4 C．2 D．1题 号123456答 案二、填空题7．若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量y＝_______.8．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且OC＝xOA＋yOB，则x＋y
＝________.9. 如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD＝______.(填写正确的序号)①－BC＋BA②－BC－BA③BC－BA④BC＋BA10. 如图所示，在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝______.(用a，b表示)三、解答题11．两个非零向量a、b不共线．(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)求实数k使ka＋b与2a＋kb共线．12. 如图所示，在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝______.(用a，b表示)能力提升13．已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心14．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC＝a，BD＝b，则AF等于( )
A.a＋b B.a＋bC.a＋b D.a＋b1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量表示与向量a同向的单位向量．3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．2．2.3 向量数乘运算及其几何意义知识梳理1．向量 数乘 λa (1)|λ||a| (2)λ>0 λ<0 0 02．(1)(λμ)a (2)λa＋μa (3)λa＋λb －(λa) λ(－a) λa－λb3．b＝λa4．加 减 数乘 λμ1a±λμ2b作业设计1．D [当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2.∴n＝2m，此时，m，n共线．]2．C [∵BD＝BC＋CD＝2a＋4b＝2AB，∴A、B、D三点共线．]3．D [PA＋PB＋PC＝PB－PA，∴PC＝－2PA，∴P在AC边上．]4．B [∵MA＋MB＋MC＝0，∴点M是△ABC的重心．∴AB＋AC＝3AM，∴m＝3.]5．C [∵CD＝CB＋BD＝4BD，∴CB＝3BD.∴CD＝AD－AC＝AB＋BD－AC＝AB＋CB－AC＝AB＋(AB－AC)－AC＝AB－AC∴r＝，s＝－，r－s＝.]6．C [∵BC2＝16，∴|BC|＝4.又|AB－AC|＝|CB|＝4，∴|AB＋AC|＝4.∵M为BC中点，∴AM＝(AB＋AC)，∴|AM|＝|AB＋AC|＝2.]7.a－b＋c8．1解析 ∵A，B，C三点共线，∴∃λ∈R使AC＝λAB.∴OC－OA＝λ(OB－OA)．∴OC＝(1－λ)OA＋λOB.∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.9．①解析 －BC＋BA＝CB＋BA＝CB＋BD＝CD.10.(b－a)解析 MN＝MB＋BA＋AN＝－b－a＋AC＝－b－a＋(a＋b)
＝(b－a)．11．(1)证明 ∵AD＝AB＋BC＋CD＝a＋b＋2a＋8b＋3a－3b＝6a＋6b＝6AB，∴A、B、D三点共线．(2)解 ∵ka＋b与2a＋kb共线，∴ka＋b＝λ(2a＋kb)．∴(k－2λ)a＋(1－λk)b＝0，∴⇒k＝±.12．证明 设BA＝a，BC＝b，则由向量加法的三角形法则可知：CM＝BM－BC＝BA－BC＝a－b.又∵N在BD上且BD＝3BN，∴BN＝BD＝(BC＋CD)＝(a＋b)，∴CN＝BN－BC＝(a＋b)－b＝a－b＝，∴CN＝CM，又∵CN与CM共点为C，∴C、M、N三点共线．13．B [为AB上的单位向量，为AC上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线AD的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ的方向与＋的方向相同．而OP＝OA＋λ，∴点P在AD上移动．∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心．]14．B [如图所示，∵E是OD的中点，∴OE＝BD＝b.又∵△ABE∽△FDE，∴＝＝.∴AE＝3EF，∴AE＝AF.在△AOE中，AE＝AO＋OE＝a＋b.∴AF＝AE＝a＋b.]
＝________.9. 如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD＝______.(填写正确的序号)①－BC＋BA②－BC－BA③BC－BA④BC＋BA10. 如图所示，在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝______.(用a，b表示)三、解答题11．两个非零向量a、b不共线．(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)求实数k使ka＋b与2a＋kb共线．12. 如图所示，在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝______.(用a，b表示)能力提升13．已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心14．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC＝a，BD＝b，则AF等于( )
A.a＋b B.a＋bC.a＋b D.a＋b1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量表示与向量a同向的单位向量．3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．2．2.3 向量数乘运算及其几何意义知识梳理1．向量 数乘 λa (1)|λ||a| (2)λ>0 λ<0 0 02．(1)(λμ)a (2)λa＋μa (3)λa＋λb －(λa) λ(－a) λa－λb3．b＝λa4．加 减 数乘 λμ1a±λμ2b作业设计1．D [当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2.∴n＝2m，此时，m，n共线．]2．C [∵BD＝BC＋CD＝2a＋4b＝2AB，∴A、B、D三点共线．]3．D [PA＋PB＋PC＝PB－PA，∴PC＝－2PA，∴P在AC边上．]4．B [∵MA＋MB＋MC＝0，∴点M是△ABC的重心．∴AB＋AC＝3AM，∴m＝3.]5．C [∵CD＝CB＋BD＝4BD，∴CB＝3BD.∴CD＝AD－AC＝AB＋BD－AC＝AB＋CB－AC＝AB＋(AB－AC)－AC＝AB－AC∴r＝，s＝－，r－s＝.]6．C [∵BC2＝16，∴|BC|＝4.又|AB－AC|＝|CB|＝4，∴|AB＋AC|＝4.∵M为BC中点，∴AM＝(AB＋AC)，∴|AM|＝|AB＋AC|＝2.]7.a－b＋c8．1解析 ∵A，B，C三点共线，∴∃λ∈R使AC＝λAB.∴OC－OA＝λ(OB－OA)．∴OC＝(1－λ)OA＋λOB.∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.9．①解析 －BC＋BA＝CB＋BA＝CB＋BD＝CD.10.(b－a)解析 MN＝MB＋BA＋AN＝－b－a＋AC＝－b－a＋(a＋b)
＝(b－a)．11．(1)证明 ∵AD＝AB＋BC＋CD＝a＋b＋2a＋8b＋3a－3b＝6a＋6b＝6AB，∴A、B、D三点共线．(2)解 ∵ka＋b与2a＋kb共线，∴ka＋b＝λ(2a＋kb)．∴(k－2λ)a＋(1－λk)b＝0，∴⇒k＝±.12．证明 设BA＝a，BC＝b，则由向量加法的三角形法则可知：CM＝BM－BC＝BA－BC＝a－b.又∵N在BD上且BD＝3BN，∴BN＝BD＝(BC＋CD)＝(a＋b)，∴CN＝BN－BC＝(a＋b)－b＝a－b＝，∴CN＝CM，又∵CN与CM共点为C，∴C、M、N三点共线．13．B [为AB上的单位向量，为AC上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线AD的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ的方向与＋的方向相同．而OP＝OA＋λ，∴点P在AD上移动．∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心．]14．B [如图所示，∵E是OD的中点，∴OE＝BD＝b.又∵△ABE∽△FDE，∴＝＝.∴AE＝3EF，∴AE＝AF.在△AOE中，AE＝AO＋OE＝a＋b.∴AF＝AE＝a＋b.]
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