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2.2.2 向量减法运算及其几何意义课时目标 1.理解向量减法的法则及其几何意义.2.能运用法则及其几何意义，正确作出两个向量的差．向量的减法(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的__________．(2)作法：在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则向量a－b＝________.如图所示．(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为________，被减向量的终点为________的向量．例如：OA－OB＝________.一、选择题1. 在如图四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b，BC＝c，则DC等于( )A．a－b＋cB．b－(a＋c)C．a＋b＋cD．b－a＋c2．化简OP－QP＋PS＋SP的结果等于( )A.QP B.OQ C.SP D.SQ3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )A.EF＝OF＋OE B.EF＝OF－OEC.EF＝－OF＋OE D.EF＝－OF－OE4．在平行四边形ABCD中，|AB＋AD|＝|AB－AD|，则有( )A. AD＝0 B. AB＝0或AD＝0C．ABCD是矩形 D．ABCD是菱形5．若|AB|＝5，|AC|＝8，则|BC|的取值范围是( )A．[3,8] B．(3,8)C．[3,13] D．(3,13)6．边长为1的正三角形ABC中，|AB－BC|的值为( )A．1 B．2 C. D.题 号123456答 案二、填空题7. 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则BA－BC－OA＋OD＋DA＝________.8．化简(AB－CD)－(AC－BD)的结果是________．9. 如图所示，已知O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为a，b，c，则OD＝
____________(用a，b，c表示)．10．已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，则 |a＋b|＝________.三、解答题11. 如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设AB＝a，DA＝b，OC＝c，求证：b＋c－a＝OA.12. 如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，AB＝a，BC＝b，AC＝c，试作出下列向量并分别求出其长度，(1)a＋b＋c； (2)a－b＋c.能力提升13．在平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，先用a，b表示向量AC和DB，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？14．如图所示，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：OH＝OA＋OB＋OC.
a－b＝a＋(－)b．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以向量AB＝
a、AD＝b为邻边作平行四边形BACD，则两条对角线的向量为AC＝a＋
b，BD＝b－a，DB＝a－(1，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．2．2.2 向量减法运算及其几何意义答案知识梳理b)相反向量 (2)BA (3)始点 终点 BA作业设计1．A 2.B 3.B4．C [AB＋AD与AB－AD分别是平行四边形ABCD的两条对角线，且|AB＋AD|＝|AB－AD|，∴ABCD是矩形．]5．C [∵|BC|＝|AC－AB|且||AC|－|AB||≤|AC－AB|≤|AC|＋|AB|.∴3≤|AC－AB|≤13.∴3≤|BC|≤13.]6．D [如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连结AD，则AB－BC＝AB＋CB＝AB＋BD＝AD.在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，易求AD＝，∴|AB－BC|＝.]7.CA
1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB＝BA就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如
8．0解析 方法一 (AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝AB＋DC＋CA＋BD＝(AB＋BD)＋(DC＋CA)＝AD＋DA＝0.方法二 (AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝(AB－AC)＋(DC－DB)＝CB＋BC＝0.9．a－b＋c解析 OD＝OA＋AD＝OA＋BC＝OA＋OC－OB＝a＋c－b＝a－b＋c.10．4解析 如图所示．设OA＝a，OB＝b，则|BA|＝|a－b|.以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则|OC|＝|a＋b|.由于(＋1)2＋(－1)2＝42.故|OA|2＋|OB|2＝|BA|2，所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以▱OACB是矩形，根据矩形的对角线相等有|OC|＝|BA|＝4，即|a＋b|＝4.11．证明 方法一 ∵b＋c＝DA＋OC＝OC＋CB＝OB，OA＋a＝OA＋AB＝OB，∴b＋c＝OA＋a，即b＋c－a＝OA.方法二 ∵c－a＝OC－AB＝OC－DC＝OD，OD＝OA＋AD＝OA－b，∴c－a＝OA－b，即b＋c－a＝OA.12．解 (1)由已知得a＋b＝AB＋BC＝AC，又AC＝c，∴延长AC到E，使|CE|＝|AC|.则a＋b＋c＝AE，且|AE|＝2.∴|a＋b＋c|＝2.(2)作BF＝AC，连接CF，则DB＋BF＝DF，而DB＝AB－AD＝a－BC＝a－b，∴a－b＋c＝DB＋BF＝DF且|DF|＝2.∴|a－b＋c|＝2.13．解 由向量加法的平行四边形法则，得AC＝a＋b，DB＝AB－AD＝a－b.则有：当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．14．证明 作直径BD，连接DA、DC，则OB＝－OD，
DA⊥AB，AH⊥BC，CH⊥AB，CD⊥BC.∴CH∥DA，AH∥DC，故四边形AHCD是平行四边形．∴AH＝DC，又DC＝OC－OD＝OC＋OB，∴OH＝OA＋AH＝OA＋DC＝OA＋OB＋OC.
____________(用a，b，c表示)．10．已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，则 |a＋b|＝________.三、解答题11. 如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设AB＝a，DA＝b，OC＝c，求证：b＋c－a＝OA.12. 如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，AB＝a，BC＝b，AC＝c，试作出下列向量并分别求出其长度，(1)a＋b＋c； (2)a－b＋c.能力提升13．在平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，先用a，b表示向量AC和DB，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？14．如图所示，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：OH＝OA＋OB＋OC.
a－b＝a＋(－)b．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以向量AB＝
a、AD＝b为邻边作平行四边形BACD，则两条对角线的向量为AC＝a＋
b，BD＝b－a，DB＝a－(1，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．2．2.2 向量减法运算及其几何意义答案知识梳理b)相反向量 (2)BA (3)始点 终点 BA作业设计1．A 2.B 3.B4．C [AB＋AD与AB－AD分别是平行四边形ABCD的两条对角线，且|AB＋AD|＝|AB－AD|，∴ABCD是矩形．]5．C [∵|BC|＝|AC－AB|且||AC|－|AB||≤|AC－AB|≤|AC|＋|AB|.∴3≤|AC－AB|≤13.∴3≤|BC|≤13.]6．D [如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连结AD，则AB－BC＝AB＋CB＝AB＋BD＝AD.在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，易求AD＝，∴|AB－BC|＝.]7.CA
1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB＝BA就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如
8．0解析 方法一 (AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝AB＋DC＋CA＋BD＝(AB＋BD)＋(DC＋CA)＝AD＋DA＝0.方法二 (AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝(AB－AC)＋(DC－DB)＝CB＋BC＝0.9．a－b＋c解析 OD＝OA＋AD＝OA＋BC＝OA＋OC－OB＝a＋c－b＝a－b＋c.10．4解析 如图所示．设OA＝a，OB＝b，则|BA|＝|a－b|.以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则|OC|＝|a＋b|.由于(＋1)2＋(－1)2＝42.故|OA|2＋|OB|2＝|BA|2，所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以▱OACB是矩形，根据矩形的对角线相等有|OC|＝|BA|＝4，即|a＋b|＝4.11．证明 方法一 ∵b＋c＝DA＋OC＝OC＋CB＝OB，OA＋a＝OA＋AB＝OB，∴b＋c＝OA＋a，即b＋c－a＝OA.方法二 ∵c－a＝OC－AB＝OC－DC＝OD，OD＝OA＋AD＝OA－b，∴c－a＝OA－b，即b＋c－a＝OA.12．解 (1)由已知得a＋b＝AB＋BC＝AC，又AC＝c，∴延长AC到E，使|CE|＝|AC|.则a＋b＋c＝AE，且|AE|＝2.∴|a＋b＋c|＝2.(2)作BF＝AC，连接CF，则DB＋BF＝DF，而DB＝AB－AD＝a－BC＝a－b，∴a－b＋c＝DB＋BF＝DF且|DF|＝2.∴|a－b＋c|＝2.13．解 由向量加法的平行四边形法则，得AC＝a＋b，DB＝AB－AD＝a－b.则有：当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．14．证明 作直径BD，连接DA、DC，则OB＝－OD，
DA⊥AB，AH⊥BC，CH⊥AB，CD⊥BC.∴CH∥DA，AH∥DC，故四边形AHCD是平行四边形．∴AH＝DC，又DC＝OC－OD＝OC＋OB，∴OH＝OA＋AH＝OA＋DC＝OA＋OB＋OC.
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