第十二章　系列4选讲§12.4　不等式的证明


考试要求1.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法与放 缩法.2.掌握柯西不等式的用法.


内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练


落实主干知识第一部分


知识梳理1.比较法(1)作差比较法已知a>b⇔a－b>0，ab，只要证明________即可，这种方法称为作差比较法.(2)作商比较法由a>b>0⇔ 且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明_____即可，这种方法称为作商比较法.a－b>0


知识梳理2.综合法从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，又叫顺推证法或由因导果法.3.分析法从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法.


知识梳理4.反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立.5.放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的.


知识梳理6.柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥_________，当且仅当________时，等号成立.(2)一般形式的柯西不等式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则 ≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立.(ac＋bd)2ad＝bc


知识梳理(3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立.


思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当a≥0，b≥0时， (　　)(2)用反证法证明命题“a，b，c全为0”的假设为“a，b，c全不为0”.(　　)(3)若实数x，y满足不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.(　　)(4)若m＝a＋2b，n＝a＋b2＋1，则n≥m.(　　)√×√√


教材改编题1.若a>b>1，x＝a＋ 则x与y的大小关系是A.x>y B.xb>1，得ab>1，a－b>0，即x－y>0，所以x>y.


教材改编题2.已知a，b∈R＋，a＋b＝2，则 的最小值为A.1 B.2C.4 D.8√


教材改编题因为a，b∈R＋，且a＋b＝2，


教材改编题函数的定义域为[5,6]，且f(x)>0，


探究核心题型第二部分


例1　已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f(x)0，即证(a2－4)(b2－4)>0.因为a，b∈(－2,2)，所以a20，所以原不等式成立.


思维升华用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.思维升华


跟踪训练1　已知a，b，c为正数，且满足a＋b＋c＝1.证明：因为1－a＝b＋c，即证(b＋c)2≤2(b2＋c2)，即(b－c)2≥0，(b－c)2≥0显然成立，故原式得证.




题型二放缩法证明不等式例2　(1)设a>0，|x－1|求证：|2x＋y－4|n(k＝1,2，…，n)，得…；


∴原不等式成立.


思维升华常用的放缩方法有思维升华(2)利用函数的单调性.


∴原不等式成立.跟踪训练2


柯西不等式例3　(2022·全国甲卷)已知a，b，c均为正数，且a2＋b2＋4c2＝3，证明：(1)a＋b＋2c≤3；题型三


方法一　(平方转化基本不等式证明)因为a2＋b2＋4c2＝3，所以(a＋b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2＋2(ab＋2bc＋2ac)≤3＋(a2＋b2)＋[b2＋(2c)2]＋[a2＋(2c)2]＝3＋2[a2＋b2＋(2c)2]＝9，当且仅当a＝b＝2c＝1时取等号，又a，b，c均为正数，所以a＋b＋2c≤3.


方法二　(柯西不等式证明)因为a2＋b2＋4c2＝3，所以根据柯西不等式有3×3＝(a2＋b2＋4c2)·(12＋12＋12)≥(a＋b＋2c)2，当且仅当a＝b＝2c＝1时取等号.又a，b，c均为正数，所以a＋b＋2c≤3.


因为b＝2c，所以根据(1)有a＋4c≤3，当且仅当a＝b＝2c＝1时取等号.


组、添项等方法
构造符不柯西合等式的形式及，件条再使用柯西不等式解
决柯问题.(2)利用有关西不等式求最值，实质
上就行利用柯西不等式进是放缩，放缩不当则等号可
能不不立，因此，成定一能忘记检验
等号成立的条件.思维升华
思维升华(1)利用柯西不等式证明不等式，先使用拆项重


上f(x)min，＝3，故m＝3.
跟踪训练3　(2022·咸阳模拟)已知函数f(x)＝|x＋2|＋2|x－1|(x∈R)的最小值为m.(1)求m的值；当x≤－2时，f(x)≥6；当－21时，由2x＋22(a＋b)2，只需证a2b2＋4ab＋4>2a2＋4ab＋2b2，只需证a2b2－2a2－2b2＋4>0，只需证(a2－2)(b2－2)>0，因为a2－20成立，即原不等式成立.


333
222
乙)已知a，b，卷c都是正数，且　　　　　＝1，证明：12345因为a，b，c都是正数，1＝　　　　 ≥ ＝ ，当且仅当a＝b＝c＝ 时等号成立.
abc++
333
333
3
222
222
abc++
3abc��
2
3
1
��
��
3
��
2.(2022·全国


12345


12345利用不等式的性质得


333
222
abc
++
222abcabcabc
333
222
abc++
2abc
2
3
1
��
��
3
��
12345＝ ＝ ＝ ，当且仅当a＝b＝c＝ 时等号成立.


3.(2020·全国Ⅲ)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.(1)证明：ab＋bc＋ca0，


示a，b，c的最大值，证明：max{a，b，c}≥ .12345不
妨bmax{a，设，c}＝a，由a＋b＋c＝0，abc＝1可知，a>0，b0)，且函数f(x)的最小值为5.(1)求t的值；


12345因为t>0，


单调递减(在，t，＋∞)上单调递(，所以f增x)min＝f(t)＝t＋2，由题
意5t＋2＝，得，解得t＝3.
12345则f(x)在(－∞，t)上


12345


12345由(1)知，2a＋b＋c＝3，


5.已知函数f(x)＝|2x－2|＋|2x＋3|.(1)解不等式f(x)＋|x－1|≤10；12345


12345由f(x)＋|x－1|≤10可得3|x－1|＋|2x＋3|≤10.则有3－3x－(2x＋3)＝－5x≤10，则有3－3x＋2x＋3＝6－x≤10，


上述，不等式f所(x)＋|x－1|≤10的解集为{x|－2≤x≤2}.
12345当x≥1时，则有3x－3＋2x＋3＝5x≤10，解得x≤2，此时1≤x≤2.综


(2)若f(x)的最小值为t，a＋3b＝t，求a2＋b2的最小值.12345


绝对值三角|等式可得f(x)＝不2x－2|＋|2x＋3|≥|(2x－2)－(2x＋3)|＝5，当且仅当(2x－2)(2x＋3)≤0，所以a＋3b＝5，由柯西不等式可得(12＋32)(a2＋b2)≥(a＋3b)2＝25，
12345由


12345


第
十
二
章
　
系
列




选
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