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第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.2.借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
CONTENTS/目录CONTENTS010203/目录 知识·逐点夯实 考点·分类突破 课时·过关检测
目录01
正角 负角 零角
象限 轴线
相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍.端点
目录1.角的概念的推广（1）定义：角可以看成一条射线绕着它的 端点 旋转所成的图形；（2）分类： （3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}.提醒
有关角度与弧度的两个注意点①角度与弧度换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量必须一致，不可混用；②利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.半径长 ° ｜α｜r lr ｜α｜r2
目录2.弧度制的定义和公式（1）定义：长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示；（2）公式角α的弧度数公式｜α｜＝（弧长用l表示）角度与弧度的换算1°＝ rad；1 rad＝ ° 弧长公式l＝ ｜α｜r 扇形面积公式S＝ lr ＝ ｜α｜r2 角α的弧度数公式角度与弧度的换算弧长公式l＝ ｜α｜r 扇形面积公式提醒
目录3.任意角的三角函数（1）设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P（x，y），则sin α＝ y ，cos α＝ x ，tan α＝（x≠0）； （2）任意角的三角函数的定义（推广）：设P（x，y）是角α终边上异于顶点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝（x≠0）； （3）三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.y x
）答案：（1）×
（2）锐角是第一象限角，第一象限的角也都是锐角.（
）（3）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.（
答案：（3）√
）答案：（2）×
目录1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）小于90°的角是锐角.（
）答案：（4）×
（5）终边相同的角的同一三角函数值相等.（
）答案：（5）√
目录（4）不相等的角的终边一定不相同.（
） A.2kπ＋45°（k∈Z）B.k·360°＋（k∈Z）C.k·360°－315°（k∈Z）D.kπ＋（k∈Z）A.2kπ＋45°（k∈Z）C.k·360°－315°（k∈Z）解析：C
由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为＋2kπ或k·360°－315°（k∈Z）.
目录2.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（
）A.B.－C.D.－解析：D
sin α＝＝－，cos α＝＝，所以sin α－cos α＝－－＝－.
目录3.已知角α的终边上有一点P（1，－2），则sin α－cos α＝（
rad，它是第 象限角. 解析：－135°＝－135×rad＝－rad，∵－135°＝225°－360°，且225°角为第三象限角，故－135°角为第三象限角. 答案：－
三 5.一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为
. 解析：因为弦长等于半径，所以弦和与弦两端点相交的两半径构成等边三角形，所以弦所对圆心角为60°，即为 rad. 答案：
目录4.－135°＝
目录1.象限角与轴线角（1）象限角（2）轴线角
目录2.若α，β，γ，θ分别为第一、二、三、四象限角，则，，，的终边所在的象限如图所示.
.（用角度表示） 解析：由结论1可知， 终边落在x轴上的角的集合为A＝{α｜α＝k·180°，k∈Z}，逆时针旋转45°，可得落在第一、三象限角平分线上的角的集合为{α｜α＝45°＋k·180°，k∈Z}.答案：{α｜α＝45°＋k·180°，k∈Z}2.若角α的终边落在第三象限，则的终边落在第
象限. 解析：由结论2可知，的终边落在第二或第四象限. 答案：二或四
目录1.终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合是
目录02
） 解析：C
当k＝2n（n∈Z）时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1（n∈Z）时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样，故选C.
目录象限角与终边相同的角1.集合{α︱kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（
使｜｜θ最小的θ值是（. ） A －B.－C.D.解析：A
∵－＝－2π－，∴与－是－相同的角，且此时＝终边是最小的.
目录2.把－π表示成θ＋2kπ（k∈Z）的形式，
选）下列命题正确的是（） A.终边落在x轴的
非非的集合为{α｜α＝2kπ，k∈Z}B.终边落在的角y轴上的角的集合为{α｜α＝90°＋kπ，k∈Z}C.第三象限角的集合为{α︱π＋2kπ≤α≤＋2kπ，k∈Z}D.在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°A.终边落在x轴的负半轴负半轴的角的集合为{α｜α＝2kπ，k∈Z}B.终边落在y轴上的角的集合为{α｜α＝90°＋kπ，k∈Z}D.在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°
目录3.（多
选项A显然确.正B项，终边落在y轴上的角的集合为{α︱α＝＋kπ，k∈Z}，角度与弧度不能混用，故错误；C项，第三象限角的集合为{α︱π＋2kπ＜α＜
＋2kπ，k∈Z}，故错误；D项，所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°（k∈Z），令－720°≤45°＋k·360°≤0°（k∈Z），解得－≤k≤－（k∈Z），从而
当k＝－2时，β＝－675°；当k＝－1时，β＝－315°，故正确.
目录解析：AD
直合为y＝线x上，且在[－2π，2π）内的角α的集 解 . 析：如图，在
坐标系中画出直以线y＝x，可发现它与x轴的夹角是，在[0，2π）内，终边在
直[y＝x上的角有两个：，；在线－2π，0）内满足
条件的角有两个：－，－，故满足的角α构成的集合为{－，条件－，，}. 答案：{－，－，，}
目录4.终边在
判断方法（1）图象
法：在平面直角坐标系中，作角已知出并根据象限角的定义直接判断已知角是第
几（限角；象2）转化
法：先将化为知角已k·360°＋α（0°≤α＜360°，k∈Z）的形式，即
找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第
几象限角.
目录｜练后悟通｜1.象限角的2种
或nθ（n∈N*）所在象限的步骤 （1）将θ的范围用不等式（含
有k，且k∈Z）表示；（2）两边同
除以n或乘n；以（3）对k进行
讨，得到或nθ（n∈论N*）所在的象限.
目录2.求
（1）如图，曲线段AB是一段R半径为的圆弧，若圆弧的长度为，则A，B两点间的距离为（
） A.RB.RC.RD.2RA.RD.2R解析
（1）设所对的圆心角为α.则由题意，得αR＝R.所以α＝，所以AB＝2Rsin ＝2Rsin ＝2R×＝R，故选C. 答案
（1）C
目录扇形的弧长及面积公式【例1】
cm2 . 解析
（2）由已知得α＝，R＝10 cm，所以S扇形＝αR2＝××102＝（cm2）. 答案
（2）
目录（2）已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.若α＝，R＝10 cm，则扇形的面积为
技法｜弧长、扇形面积
问题的解题策略（1）明
确弧度制下弧长公式是l＝｜α｜r，扇形的面积公式是S＝lr＝｜α｜r2（其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角）； （2）求
扇形面积的关键是求形的圆心角、半径扇、弧长三个量中的任意两个量.提醒
运弧长度制下有关用弧、扇形面积的公式前提是角的度量单位为弧度制.
目录｜解题
国甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收
录了计算圆弧长度的“会圆术，.如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧”C是AB的中点，D在上，CD⊥AB.“会
圆术”给出的弧长的近似值s的计
（式：s＝AB＋.当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝算公 ） A.B.C.D.
目录1.（2022·全
由题意知，△OAB是等边三角形，所以A＝OA＝2.B连接图OC（
略），因为C是AB的中点，所以OC⊥AB，OC＝＝，又CD⊥AB，所以O，C，D三点
共以，所线CD＝OD－OC＝2－，所以s＝AB＋＝2＋＝.故选B.
目录解析：B
，圆心角 θ＝
. 解析：因为扇形的弧长为，面积为，所以＝××r，解得r＝2.由扇形的弧长为，得＝rθ＝2θ，解得θ＝. 答案：2
目录2.已知一扇形的弧长为，面积为，则其半径r＝
向1三角函数的定义 【例2】
已知角α的终边上一点P（－，m）（m≠0），且sin α＝，则cos α＝
＝ ，tan α .
目录三角函数的定义及应用考
设P（x，y），由题设知x＝－，y＝m，所以r2＝｜OP｜2＝（－）2＋m2（O为原点），即r＝，所以sin α＝＝＝，所以r＝＝2，即3＋m2＝8，解得m＝±.当m＝时，r＝2，x＝－，y＝，所以cos α＝＝－，tan α＝－；当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，所以cos α＝＝－，tan α＝. 答案
－ ±
目录解析
技法｜利用三角函数的定义解
决问题的已知（1）策略角α终边上一点P的
坐标，可求α角的三角函数值.先求点P到原点的距离，再
用三角函数的定义求；（解2）已知角α��
1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.2.借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
CONTENTS/目录CONTENTS010203/目录 知识·逐点夯实 考点·分类突破 课时·过关检测
目录01
正角 负角 零角
象限 轴线
相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍.端点
目录1.角的概念的推广（1）定义：角可以看成一条射线绕着它的 端点 旋转所成的图形；（2）分类： （3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}.提醒
有关角度与弧度的两个注意点①角度与弧度换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量必须一致，不可混用；②利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.半径长 ° ｜α｜r lr ｜α｜r2
目录2.弧度制的定义和公式（1）定义：长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示；（2）公式角α的弧度数公式｜α｜＝（弧长用l表示）角度与弧度的换算1°＝ rad；1 rad＝ ° 弧长公式l＝ ｜α｜r 扇形面积公式S＝ lr ＝ ｜α｜r2 角α的弧度数公式角度与弧度的换算弧长公式l＝ ｜α｜r 扇形面积公式提醒
目录3.任意角的三角函数（1）设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P（x，y），则sin α＝ y ，cos α＝ x ，tan α＝（x≠0）； （2）任意角的三角函数的定义（推广）：设P（x，y）是角α终边上异于顶点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝（x≠0）； （3）三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.y x
）答案：（1）×
（2）锐角是第一象限角，第一象限的角也都是锐角.（
）（3）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.（
答案：（3）√
）答案：（2）×
目录1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）小于90°的角是锐角.（
）答案：（4）×
（5）终边相同的角的同一三角函数值相等.（
）答案：（5）√
目录（4）不相等的角的终边一定不相同.（
） A.2kπ＋45°（k∈Z）B.k·360°＋（k∈Z）C.k·360°－315°（k∈Z）D.kπ＋（k∈Z）A.2kπ＋45°（k∈Z）C.k·360°－315°（k∈Z）解析：C
由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为＋2kπ或k·360°－315°（k∈Z）.
目录2.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（
）A.B.－C.D.－解析：D
sin α＝＝－，cos α＝＝，所以sin α－cos α＝－－＝－.
目录3.已知角α的终边上有一点P（1，－2），则sin α－cos α＝（
rad，它是第 象限角. 解析：－135°＝－135×rad＝－rad，∵－135°＝225°－360°，且225°角为第三象限角，故－135°角为第三象限角. 答案：－
三 5.一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为
. 解析：因为弦长等于半径，所以弦和与弦两端点相交的两半径构成等边三角形，所以弦所对圆心角为60°，即为 rad. 答案：
目录4.－135°＝
目录1.象限角与轴线角（1）象限角（2）轴线角
目录2.若α，β，γ，θ分别为第一、二、三、四象限角，则，，，的终边所在的象限如图所示.
.（用角度表示） 解析：由结论1可知， 终边落在x轴上的角的集合为A＝{α｜α＝k·180°，k∈Z}，逆时针旋转45°，可得落在第一、三象限角平分线上的角的集合为{α｜α＝45°＋k·180°，k∈Z}.答案：{α｜α＝45°＋k·180°，k∈Z}2.若角α的终边落在第三象限，则的终边落在第
象限. 解析：由结论2可知，的终边落在第二或第四象限. 答案：二或四
目录1.终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合是
目录02
） 解析：C
当k＝2n（n∈Z）时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1（n∈Z）时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样，故选C.
目录象限角与终边相同的角1.集合{α︱kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（
使｜｜θ最小的θ值是（. ） A －B.－C.D.解析：A
∵－＝－2π－，∴与－是－相同的角，且此时＝终边是最小的.
目录2.把－π表示成θ＋2kπ（k∈Z）的形式，
选）下列命题正确的是（） A.终边落在x轴的
非非的集合为{α｜α＝2kπ，k∈Z}B.终边落在的角y轴上的角的集合为{α｜α＝90°＋kπ，k∈Z}C.第三象限角的集合为{α︱π＋2kπ≤α≤＋2kπ，k∈Z}D.在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°A.终边落在x轴的负半轴负半轴的角的集合为{α｜α＝2kπ，k∈Z}B.终边落在y轴上的角的集合为{α｜α＝90°＋kπ，k∈Z}D.在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°
目录3.（多
选项A显然确.正B项，终边落在y轴上的角的集合为{α︱α＝＋kπ，k∈Z}，角度与弧度不能混用，故错误；C项，第三象限角的集合为{α︱π＋2kπ＜α＜
＋2kπ，k∈Z}，故错误；D项，所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°（k∈Z），令－720°≤45°＋k·360°≤0°（k∈Z），解得－≤k≤－（k∈Z），从而
当k＝－2时，β＝－675°；当k＝－1时，β＝－315°，故正确.
目录解析：AD
直合为y＝线x上，且在[－2π，2π）内的角α的集 解 . 析：如图，在
坐标系中画出直以线y＝x，可发现它与x轴的夹角是，在[0，2π）内，终边在
直[y＝x上的角有两个：，；在线－2π，0）内满足
条件的角有两个：－，－，故满足的角α构成的集合为{－，条件－，，}. 答案：{－，－，，}
目录4.终边在
判断方法（1）图象
法：在平面直角坐标系中，作角已知出并根据象限角的定义直接判断已知角是第
几（限角；象2）转化
法：先将化为知角已k·360°＋α（0°≤α＜360°，k∈Z）的形式，即
找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第
几象限角.
目录｜练后悟通｜1.象限角的2种
或nθ（n∈N*）所在象限的步骤 （1）将θ的范围用不等式（含
有k，且k∈Z）表示；（2）两边同
除以n或乘n；以（3）对k进行
讨，得到或nθ（n∈论N*）所在的象限.
目录2.求
（1）如图，曲线段AB是一段R半径为的圆弧，若圆弧的长度为，则A，B两点间的距离为（
） A.RB.RC.RD.2RA.RD.2R解析
（1）设所对的圆心角为α.则由题意，得αR＝R.所以α＝，所以AB＝2Rsin ＝2Rsin ＝2R×＝R，故选C. 答案
（1）C
目录扇形的弧长及面积公式【例1】
cm2 . 解析
（2）由已知得α＝，R＝10 cm，所以S扇形＝αR2＝××102＝（cm2）. 答案
（2）
目录（2）已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.若α＝，R＝10 cm，则扇形的面积为
技法｜弧长、扇形面积
问题的解题策略（1）明
确弧度制下弧长公式是l＝｜α｜r，扇形的面积公式是S＝lr＝｜α｜r2（其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角）； （2）求
扇形面积的关键是求形的圆心角、半径扇、弧长三个量中的任意两个量.提醒
运弧长度制下有关用弧、扇形面积的公式前提是角的度量单位为弧度制.
目录｜解题
国甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收
录了计算圆弧长度的“会圆术，.如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧”C是AB的中点，D在上，CD⊥AB.“会
圆术”给出的弧长的近似值s的计
（式：s＝AB＋.当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝算公 ） A.B.C.D.
目录1.（2022·全
由题意知，△OAB是等边三角形，所以A＝OA＝2.B连接图OC（
略），因为C是AB的中点，所以OC⊥AB，OC＝＝，又CD⊥AB，所以O，C，D三点
共以，所线CD＝OD－OC＝2－，所以s＝AB＋＝2＋＝.故选B.
目录解析：B
，圆心角 θ＝
. 解析：因为扇形的弧长为，面积为，所以＝××r，解得r＝2.由扇形的弧长为，得＝rθ＝2θ，解得θ＝. 答案：2
目录2.已知一扇形的弧长为，面积为，则其半径r＝
向1三角函数的定义 【例2】
已知角α的终边上一点P（－，m）（m≠0），且sin α＝，则cos α＝
＝ ，tan α .
目录三角函数的定义及应用考
设P（x，y），由题设知x＝－，y＝m，所以r2＝｜OP｜2＝（－）2＋m2（O为原点），即r＝，所以sin α＝＝＝，所以r＝＝2，即3＋m2＝8，解得m＝±.当m＝时，r＝2，x＝－，y＝，所以cos α＝＝－，tan α＝－；当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，所以cos α＝＝－，tan α＝. 答案
－ ±
目录解析
技法｜利用三角函数的定义解
决问题的已知（1）策略角α终边上一点P的
坐标，可求α角的三角函数值.先求点P到原点的距离，再
用三角函数的定义求；（解2）已知角α��
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